中心极限定理的Matlab演示

内容简介：中心极限定理的Matlab演示

中心极限定理的Matlab演示

实验要求

用Matlab验证中心极限定理

实验原理

中心极限定理是概率论中的一组定理。中心极限定理说明，大量相互独立的随机变量，其均值的分布以正态分布为极限。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从正态分布的条件。如果一个随机变量能够分解为独立同分布的随机变量序列之和，则可以直接利用中心极限定理进行解决。总之，恰当地使用中心极限定理解决实际问题有着极其重要意义。

中心极限定理有许多不同的表现形式

一）辛钦中心极限定理

设随机变量$x_1,x_2\cdots,x_n$相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量$\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}$，在n无限增大时，服从参数为a和 $\frac{\sigma^2}{n} $ 的正态分布即n→∞时，

$\bar{x} \to N(a,\frac{\sigma^2}{n})$

将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。

三）林德贝尔格定理

设$x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots$是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差 满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有

$P\begin{Bmatrix}\frac{1}{B_n}\sum_{k=1}^n(x_k-a_k)<x\end{Bmatrix}\to\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{t^2}{2}}dt$。

四）李亚普洛夫中心极限定理

设$x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots$是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差：$\alpha_k=E(X_k),b_k^2=D(X_k)(k=1,2,\Lambda,n\Lambda)$ 。 记$B_n^2=\sum_{k=1}^n b_k^2$，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，$\frac{1}{B_n2+ \delta}\sum_{k=1}^nE|x_k-a_k|^{2+\delta}$，则对任意的x有：

$P\begin{Bmatrix}\frac{1}{B_n}\sum_{k=1}^n(x_k-a_k)<x\end{Bmatrix}\to\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{t^2}{2}}dt$

该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。

实验操作

下面通过实验进行验证。定义5个相同长度的数列，依次取均匀分布、高斯分布、指数分布和卡方分布，并叠加，画出直方图。可以看出随着叠加变量数的增多，分布曲线越来越趋近于钟形曲线。

h_a = 1 ; h_b = 0 ;h_c = 1 ;h_d = 1 ;

再次多次重复，结果如下，当变量数足够大时，均可实现符合高斯分布。 证明了大量随机变量之和近似服从正态分布

ai	ci	di
5	187	164
3	194	72
3	412	57
3	360	286
2	523	255
4	495	144
4	176	67

查看实验源代码

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