[译] JavaScript 线性代数:向量
栏目: JavaScript · 发布时间: 5年前
内容简介:本文是“JavaScript 线性代数”教程的一部分。向量是用于精确表示空间中方向的方法。向量由一系列数值构成,每维数值都是向量的一个我们可以为 2 维空间的向量创建一个
本文是“JavaScript 线性代数”教程的一部分。
向量是用于精确表示空间中方向的方法。向量由一系列数值构成,每维数值都是向量的一个 分量 。在下图中,你可以看到一个由两个分量组成的、在 2 维空间内的向量。在 3 维空间内,向量会由 3 个分量组成。
我们可以为 2 维空间的向量创建一个 Vector2D 类,然后为 3 维空间的向量创建一个 Vector3D 类。但是这么做有一个问题:向量并不仅用于表示物理空间中的方向。比如,我们可能需要将颜色(RGBA)表示为向量,那么它会有 4 个分量:红色、绿色、蓝色和 alpha 通道。或者,我们要用向量来表示有不同占比的 n 种选择(比如表示 5 匹马赛马,每匹马赢得比赛的概率的向量)。因此,我们会创建一个不指定维度的类,并像这样使用它:
class Vector { constructor(...components) { this.components = components } } const direction2d = new Vector(1, 2) const direction3d = new Vector(1, 2, 3) const color = new Vector(0.5, 0.4, 0.7, 0.15) const probabilities = new Vector(0.1, 0.3, 0.15, 0.25, 0.2) 复制代码
向量运算
考虑有两个向量的情况,可以对它们定义以下运算:
其中, α ∈ R 为任意常数。
我们对除了叉积之外的运算进行了可视化,你可以在此处找到相关示例。 此 GitHub 仓库 里有用来创建这些可视化示例的 React 项目和相关的库。如果你想知道如何使用 React 和 SVG 来制作这些二维可视化示例,请参考本文。
加法与减法
与数值运算类似,你可以对向量进行加法与减法运算。对向量进行算术运算时,可以直接对向量各自的分量进行数值运算得到结果:
加法函数接收另一个向量作为参数,并将对应的向量分量相加,返回得出的新向量。减法函数与之类似,不过会将加法换成减法:
class Vector { constructor(...components) { this.components = components } add({ components }) { return new Vector( ...components.map((component, index) => this.components[index] + component) ) } subtract({ components }) { return new Vector( ...components.map((component, index) => this.components[index] - component) ) } } const one = new Vector(2, 3) const other = new Vector(2, 1) console.log(one.add(other)) // Vector { components: [ 4, 4 ] } console.log(one.subtract(other)) // Vector { components: [ 0, 2 ] } 复制代码
缩放
我们可以对一个向量进行缩放,缩放比例可为任意数值 α ∈ R 。缩放时,对所有向量分量都乘以缩放因子 α 。当 α > 1 时,向量会变得更长;当 0 ≤ α < 1 时,向量会变得更短。如果 α 是负数,缩放后的向量将会指向原向量的反方向。
在 scaleBy 方法中,我们对所有的向量分量都乘上传入参数的数值,得到新的向量并返回:
class Vector { constructor(...components) { this.components = components } // ... scaleBy(number) { return new Vector( ...this.components.map(component => component * number) ) } } const vector = new Vector(1, 2) console.log(vector.scaleBy(2)) // Vector { components: [ 2, 4 ] } console.log(vector.scaleBy(0.5)) // Vector { components: [ 0.5, 1 ] } console.log(vector.scaleBy(-1)) // Vector { components: [ -1, -2 ] } 复制代码
长度
向量长度可由勾股定理导出:
由于在 JavaScript 内置的 Math 对象中有现成的函数,因此计算长度的方法非常简单:
class Vector { constructor(...components) { this.components = components } // ... length() { return Math.hypot(...this.components) } } const vector = new Vector(2, 3) console.log(vector.length()) // 3.6055512754639896 复制代码
点积
点积可以计算出两个向量的相似程度。点积方法接收两个向量作为输入,并输出一个数值。两个向量的点积等于它们各自对应分量的乘积之和。
在 dotProduct 方法中,接收另一个向量作为参数,通过 reduce 方法来计算对应分量的乘积之和:
class Vector { constructor(...components) { this.components = components } // ... dotProduct({ components }) { return components.reduce((acc, component, index) => acc + component * this.components[index], 0) } } const one = new Vector(1, 4) const other = new Vector(2, 2) console.log(one.dotProduct(other)) // 10 复制代码
在我们观察几个向量间的方向关系前,需要先实现一种将向量长度归一化为 1 的方法。这种归一化后的向量在许多情景中都会用到。比如说当我们需要在空间中指定一个方向时,就需要用一个归一化后的向量来表示这个方向。
class Vector { constructor(...components) { this.components = components } // ... normalize() { return this.scaleBy(1 / this.length()) } } const vector = new Vector(2, 4) const normalized = vector.normalize() console.log(normalized) // Vector { components: [ 0.4472135954999579, 0.8944271909999159 ] } console.log(normalized.length()) // 1 复制代码
如果两个归一化后的向量的点积结果等于 1,则意味着这两个向量的方向相同。我们创建了 areEqual 函数用来比较两个浮点数:
const EPSILON = 0.00000001 const areEqual = (one, other, epsilon = EPSILON) => Math.abs(one - other) < epsilon class Vector { constructor(...components) { this.components = components } // ... haveSameDirectionWith(other) { const dotProduct = this.normalize().dotProduct(other.normalize()) return areEqual(dotProduct, 1) } } const one = new Vector(2, 4) const other = new Vector(4, 8) console.log(one.haveSameDirectionWith(other)) // true 复制代码
如果两个归一化后的向量点积结果等于 -1,则表示它们的方向完全相反:
class Vector { constructor(...components) { this.components = components } // ... haveOppositeDirectionTo(other) { const dotProduct = this.normalize().dotProduct(other.normalize()) return areEqual(dotProduct, -1) } } const one = new Vector(2, 4) const other = new Vector(-4, -8) console.log(one.haveOppositeDirectionTo(other)) // true 复制代码
如果两个归一化后的向量的点积结果为 0,则表示这两个向量是相互垂直的:
class Vector { constructor(...components) { this.components = components } // ... isPerpendicularTo(other) { const dotProduct = this.normalize().dotProduct(other.normalize()) return areEqual(dotProduct, 0) } } const one = new Vector(-2, 2) const other = new Vector(2, 2) console.log(one.isPerpendicularTo(other)) // true 复制代码
叉积
叉积仅对三维向量适用,它会产生垂直于两个输入向量的向量:
我们实现叉积时,假定它只用于计算三维空间内的向量。
class Vector { constructor(...components) { this.components = components } // ... // 只适用于 3 维向量 crossProduct({ components }) { return new Vector( this.components[1] * components[2] - this.components[2] * components[1], this.components[2] * components[0] - this.components[0] * components[2], this.components[0] * components[1] - this.components[1] * components[0] ) } } const one = new Vector(2, 1, 1) const other = new Vector(1, 2, 2) console.log(one.crossProduct(other)) // Vector { components: [ 0, -3, 3 ] } console.log(other.crossProduct(one)) // Vector { components: [ 0, 3, -3 ] } 复制代码
其它常用方法
在现实生活的应用中,上述方法是远远不够的。比如说,我们有时需要找到两个向量的夹角、将一个向量反向,或者计算一个向量在另一个向量上的投影等。
在开始编写上面说的方法前,需要先写下面两个函数,用于在角度与弧度间相互转换:
const toDegrees = radians => (radians * 180) / Math.PI const toRadians = degrees => (degrees * Math.PI) / 180 复制代码
夹角
class Vector { constructor(...components) { this.components = components } // ... angleBetween(other) { return toDegrees( Math.acos( this.dotProduct(other) / (this.length() * other.length()) ) ) } } const one = new Vector(0, 4) const other = new Vector(4, 4) console.log(one.angleBetween(other)) // 45.00000000000001 复制代码
反向
当需要将一个向量的方向指向反向时,我们可以对这个向量进行 -1 缩放:
class Vector { constructor(...components) { this.components = components } // ... negate() { return this.scaleBy(-1) } } const vector = new Vector(2, 2) console.log(vector.negate()) // Vector { components: [ -2, -2 ] } 复制代码
投影
class Vector { constructor(...components) { this.components = components } // ... projectOn(other) { const normalized = other.normalize() return normalized.scaleBy(this.dotProduct(normalized)) } } const one = new Vector(8, 4) const other = new Vector(4, 7) console.log(other.projectOn(one)) // Vector { components: [ 6, 3 ] } 复制代码
设定长度
当需要给向量指定一个长度时,可以使用如下方法:
class Vector { constructor(...components) { this.components = components } // ... withLength(newLength) { return this.normalize().scaleBy(newLength) } } const one = new Vector(2, 3) console.log(one.length()) // 3.6055512754639896 const modified = one.withLength(10) // 10 console.log(modified.length()) 复制代码
判断相等
为了判断两个向量是否相等,可以对它们对应的分量使用 areEqual 函数:
class Vector { constructor(...components) { this.components = components } // ... equalTo({ components }) { return components.every((component, index) => areEqual(component, this.components[index])) } } const one = new Vector(1, 2) const other = new Vector(1, 2) console.log(one.equalTo(other)) // true const another = new Vector(2, 1) console.log(one.equalTo(another)) // false 复制代码
单位向量与基底
我们可以将一个向量看做是“在 x 轴上走 的距离、在 y 轴上走 的距离、在 z 轴上走 的距离”。我们可以使用 、 和 分别乘上一个值更清晰地表示上述内容。下图分别是 、 、 轴上的 单位向量 :
任何数值乘以 向量,都可以得到一个第一维分量等于该数值的向量。例如:
向量中最重要的一个概念是 基底 。设有一个 3 维向量 ,它的基底是一组向量: ,这组向量也可以作为 的坐标系统。如果 是一组基底,则可以将任何向量 表示为该基底的系数 :
向量 是通过在 方向上测量 的距离、在 方向上测量 的距离、在 方向上测量 的距离得出的。
在不知道一个向量的基底前,向量的系数三元组并没有什么意义。只有知道向量的基底,才能将类似于 三元组的数学对象转化为现实世界中的概念(比如颜色、概率、位置等)。
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