OpenGL入门第三课--矩阵变换与坐标系统

矩阵

矩阵就是一个矩形的数学表达式阵列，矩阵中每一项叫做矩阵的元素(Element)。下面是一个2×3矩阵的例子：

矩阵可以通过(i, j)进行索引，i是行，j是列，这就是上面的矩阵叫做2×3矩阵的原因。

矩阵的加减法

矩阵与标量之间的加减定义如下：

矩阵与标量的减法也相似：

矩阵与矩阵之间的加减就是两个矩阵对应元素的加减运算，所以总体的规则和与标量运算是差不多的，只不过在相同索引下的元素才能进行运算。这也就是说加法和减法只对同维度的矩阵才是有定义的。一个3×2矩阵和一个2×3矩阵（或一个3×3矩阵与4×4矩阵）是不能进行加减的。我们看看两个2×2矩阵是怎样相加的：

同样的法则也适用于减法：

矩阵的数乘

和矩阵与标量的加减一样，矩阵与标量之间的乘法也是矩阵的每一个元素分别乘以该标量。下面的例子展示了乘法的过程：

矩阵相乘

矩阵之间的乘法不见得有多复杂，但的确很难让人适应。矩阵乘法基本上意味着遵照规定好的法则进行相乘。当然，相乘还有一些限制：

• 只有当左侧矩阵的列数与右侧矩阵的行数相等，两个矩阵才能相乘；
• 矩阵相乘不遵守交换律(Commutative)，也就是说 A⋅B≠B⋅A；

我们先看一个两个2×2矩阵相乘的例子：

可以看到，矩阵相乘非常繁琐而容易出错，不够不要紧，在我们OpenGL中是不会让大家自己去计算这些的，都有相应API来完成，这里只是希望大家了解一下矩阵相乘的原理。

矩阵与向量相乘

现在我们已经相当了解向量了。在OpenGL中可以用向量来表示位置，表示颜色，甚至是纹理坐标。与矩阵类比一下，它其实就是一个 N×1 矩阵，N表示向量分量的个数（也叫N维(N-dimensional)向量）。仔细想一下，其实向量和矩阵一样都是一个数字序列，但它只有1列。那么，这个新的定义对我们有什么帮助呢？如果我们有一个 M×N 矩阵，我们可以用这个矩阵乘以我们的 N×1 向量，因为这个矩阵的列数等于向量的行数，所以它们就能相乘。

但是为什么我们会关心矩阵能否乘以一个向量？好吧，正巧，很多有趣的2D/3D变换都可以放在一个矩阵中，用这个矩阵乘以我们的向量将 变换 (Transform)这个向量。如果你仍然有些困惑，我们来看一些例子，你很快就能明白了。

单位矩阵

在OpenGL中，由于某些原因我们通常使用 4×4 的变换矩阵，而其中最重要的原因就是大部分的向量都是4分量的。我们能想到的最简单的变换矩阵就是单位矩阵(Identity Matrix)。单位矩阵是一个除了对左角线是1以外其他都是0的 N×N 矩阵。在下式中可以看到，这种变换矩阵使一个向量完全不变：

你可能会奇怪一个没变换的变换矩阵有什么用？单位矩阵通常是生成其他变换矩阵的起点，如果我们深挖线性代数，这还是一个对证明定理、解线性方程非常有用的矩阵。

缩放

下面会构造一个变换矩阵来为我们提供缩放功能。我们从单位矩阵了解到，每个对角线元素会分别与向量的对应元素相乘。如果我们把1变为3会怎样？这样子的话，我们就把向量的每个元素乘以3了，这事实上就把向量缩放3倍。如果我们把缩放变量表示为 (S1,S2,S3) 我们可以为任意向量 (x,y,z) 定义一个缩放矩阵：

注意，第四个缩放向量仍然是1，因为在3D空间中缩放w分量是无意义的。w分量另有其他用途。

位移

位移(Translation)是在原始向量的基础上加上另一个向量从而获得一个在不同位置的新向量的过程，从而在位移向量基础上 移动 了原始向量。我们已经讨论了向量加法，所以这应该不会太陌生。 和缩放矩阵一样，在4×4矩阵上有几个特别的位置用来执行特定的操作，对于位移来说它们是第四列最上面的3个值。如果我们把位移向量表示为 (Tx,Ty,Tz) ，我们就能把位移矩阵定义为：

有了位移矩阵我们就可以在3个方向(x、y、z)上移动物体，它是我们的变换 工具 箱中非常有用的一个变换矩阵。

旋转

在3D空间中旋转需要定义一个角和 一个旋转轴(Rotation Axis)。物体会沿着给定的旋转轴旋转特定角度。当2D向量在3D空间中旋转时，我们把旋转轴设为z轴。

使用三角学，给定一个角度，可以把一个向量变换为一个经过旋转的新向量。这通常是使用一系列正弦和余弦函数（一般简称sin和cos）各种巧妙的组合得到的。

旋转矩阵在3D空间中每个单位轴都有不同定义，旋转角度用 θ 表示：

沿x轴旋转：

沿y轴旋转：

沿z轴旋转：

利用旋转矩阵我们可以把任意位置向量沿一个单位旋转轴进行旋转。也可以将多个矩阵复合，比如先沿着x轴旋转再沿着y轴旋转。

是不是感觉旋转看起来好复杂，这些旋转矩阵都是怎么计算出来的，其实这些都不需要太过在意，只有理解旋转也是通过一个特定的矩阵相乘完成的就可以了。

矩阵的组合

使用矩阵进行变换的真正力量在于，根据矩阵之间的乘法，我们可以把多个变换组合到一个矩阵中。让我们看看我们是否能生成一个变换矩阵，让它组合多个变换。假设我们有一个顶点(x, y, z)，我们希望将其缩放2倍，然后位移(1, 2, 3)个单位。我们需要一个位移和缩放矩阵来完成这些变换。结果的变换矩阵看起来像这样：

注意，当矩阵相乘时我们先写位移再写缩放变换的。矩阵乘法是不遵守交换律的，这意味着它们的顺序很重要。当矩阵相乘时，在最右边的矩阵是第一个与向量相乘的，所以你应该从右向左读这个乘法。建议您在组合矩阵时，先进行缩放操作，然后是旋转，最后才是位移，否则它们会（消极地）互相影响。比如，如果你先位移再缩放，位移的向量也会同样被缩放（译注：比如向某方向移动2米，2米也许会被缩放成1米）！

用最终的变换矩阵左乘我们的向量会得到以下结果：

不错！向量先缩放2倍，然后位移了(1, 2, 3)个单位。

OpenGL中的坐标系

OpenGL中顶点着色后，我们的可见顶点都为标准化设备坐标(Normailzed Device Coordinate,NDC)。也就是每个顶点的x,y,z都应该在-1到1直接，否则对我们都是不可见的。

一个顶点在被转化为片段之前需要依次经历一下几个重要的坐标系：

int main(int argc, char* argv[]){   
 gltSetWorkingDirectory(argv[0]);   
 glutInit(&argc, argv);   
 glutInitDisplayMode(GLUT_DOUBLE | GLUT_RGBA | GLUT_DEPTH | GLUT_SINGLE);   
 glutInitWindowSize(800, 600);   
 glutCreateWindow("矩阵变换Demo");   
 glutReshapeFunc(ChangeSize);   
 glutDisplayFunc(RenderScene);   
 GLenum error = glewInit();    
 if(GLEW_OK != error) {        
   fprintf(stderr,"GLEW Error: %s\n",glewGetErrorString(error));      
   return 1;  
  }   
 setupRC();   
 glutMainLoop();   
 return 0;
}复制代码

这里有三个方法比较重要 第一个 setupRC,主要完成一些绘图前的准备工作：

void setupRC () {
    glClearColor(0.8, 0.8, 0.8, 1.0f); //设置清屏颜色  
    shaderManager.InitializeStockShaders();//初始化固定管线
    glEnable(GL_DEPTH_TEST);//开启深度测试   
    gltMakeSphere(torusBatch, 0.4, 10, 20);//形成一个球    
    glPolygonMode(GL_FRONT_AND_BACK, GL_LINE);//设置多边形填充模式
}复制代码