动态规划简单介绍及Swift代码实现

本文一共分三部分：

• 什么是动态规划？
• 平时编程过程中，哪些场景适用于适用动态规划？
• 动态规划代码怎么写？

什么是动态规划？

动态规划( dynamic programming ，简称 DP ), 是求解决策过程最优化的数学方法，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题。动态规划是一种利用空间换时间来求解最优解的的方法，一般在编程中的时间复杂度会少于常规解法（如暴力解法，回溯算法）。

适用情况

动态规划只能应用于有最优子结构的问题。最优子结构的意思是局部最优解能解决全局最优解。

1. 最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子机构性质（即满足最优化原理）。最优子结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。
2. 无后效性。即子问题的解一旦确定，就不再改变，不受在这之后、包含它的更大问题的求解决策影响。
3. 子问题重叠性质。子问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次，动态规划算法正是利用了这些子问题的重叠性质，对每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时，只是在表格中简单的查看一下结果，从而获得较高的效率。

动态规划代码怎么写？

下面看几个例子>

爬楼梯问题

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。 每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

解法一：暴力解法

在暴力解法中，我们将会把所有可能爬的楼梯阶数进行组合，也就是1和2. 而在每一步中我们都会递归调用原函数模拟爬1阶和2阶的情形，并返回两个函数的返回值之和。

// 其中i定义了当前阶数，n定义的是目标阶数
climbStairs(i, n) = climbStairs(i+1, n) + climbStairs(i+2, n)
复制代码

// Swift实现算法
func climbStairs(_ n: Int) -> Int {
    
    return climbStairs(0, n: n)
}

func climbStairs(_ i: Int, n: Int) -> Int {
    if i > n {
        return 0
    }
    if i == n {
        return 1
    }
    return climbStairs(i + 1, n: n) + climbStairs(i + 2, n: n)
}
复制代码

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(2^n)。树形递归的大小为2^n

  n = 5时，递归树是这样的

• 空间复杂度：O(n)。递归树的深度可以达到n。

解法二：记忆化递归

使用暴力法求解，每一步计算结果都出现了冗余。另一种思路是，我们可以把每一步的结果存储在memo数组之中，每当函数再次调用，我们就直接从memo数组返回结果。 在memo数组的帮助下，我们得到一个修复的递归树，其大小减小到n。

func climbStairs(_ n: Int) -> Int {
    var memo = Array(repeating: 0, count: n)
    return climbStairs(0, n: n, memo: &memo)
}

func climbStairs(_ i: Int, n: Int, memo: inout Array<Int>) -> Int {
    if i > n {
        return 0
    }
    if i == n {
        return 1
    }
    if memo[i] > 0 {
        return memo[i]
    }
    memo[i] = climbStairs(i + 1, n: n, memo: &memo) + climbStairs(i + 2, n: n, memo: &memo);
    return memo[i]
}
复制代码

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(n)。树形递归的大小减小到n
• 空间复杂度：O(n)。递归树的深度达到n

解法三：动态规划

不难发现，这问题可以被分解成一些包含最优子结构的子问题，即它的最优解可以从其子问题的最优解来有效的构建，我们可以使用动态规划来解决这一问题。

第i阶可以由以下两种方法得到：

1. 在第 (i-1) 阶向后爬一阶。
2. 在第 (i-2) 阶向后爬二阶。 所以，到达第i阶的方法总数就是 (i-1) 阶和 (i-2) 阶方法数之和。

令dp[i]表示能到达第i阶的方法总数： dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

func climbStairs(_ n: Int) -> Int {
    if n == 1 {
        return 1
    }
    var dp = Array(repeating: 0, count: n+1)
    dp[1] = 1
    dp[2] = 2
    for i in 3...n {
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    }
    return dp[n]
}
复制代码

通过这个例子，我们可以总结以下，动态规划的思考过程： 动态规划的思考过程可以总结为： 大事化小，小事化了 。

大事化小

一个较大的问题，通过找到与子问题的重叠，把复杂的问题划分为多个小问题，也成为状态转移。

小事化了

小问题的解决通常是通过初始化，直接计算结果得到；

具体的步骤：

1. 将大问题分解为子问题
2. 确定状态表示
3. 确定状态转移
4. 考虑初始状态和边界情况

一些动态规划的例子

零钱凑整

如果我们有面值为1元、3元和5元的硬币若干枚，如何用最少的硬币凑够11元？

1. 将大问题分解为子问题：因为由1、3、5元硬币组成11元情况比较多，用暴力法穷举出所有情况比较复杂，我们可以把这个问题分解成若干个子问题，用dp[i]表示凑够i元钱所需的硬币数量，dp[i] = min{dp[i-1]+1, dp[i-3]+1, dp[1-5]+1}
2. 状态表示：dp[i]
3. 状态转移方程：伪代码表示

if i < 3 dp[i] = dp[i-1] + 1
else
if i >= 5 dp[i] = min{dp[i-1]+1, dp[i-3]+1, dp[1-5]+1}
else dp[i] = min{dp[i-1]+1, dp[i-3]+1}
复制代码

4. 考虑初始状态和边界情况 当 i = 0 时，0个硬币即可 当 i = 1, i = 3, i = 5 时，只需要1个硬币即是最优解

代码如下：

func countMoney(_ n: Int) -> Int {
    if n == 0 {
        return 0
    }
    var dp = Array(repeating: 0, count: n+1)
    dp[1] = 1
    dp[3] = 1
    dp[5] = 1
    for i in 1...n {
        if i < 3 {
            dp[i] = dp[i-1] + 1
        } else
        if i >= 5 {
            dp[i] = min(dp[i-1] + 1, dp[i-3]+1, dp[i-5]+1)
        } else
        {
            dp[i] = min(dp[i-1] + 1, dp[i-3] + 1)
        }
    }
    return dp[n]
}
复制代码

接下来，我们再看一到题

背包问题

话说有一哥们去森林里玩发现了一堆宝石，他数了数，一共有n个。 但他身上能装宝石的就只有一个背包，背包的容量为C。这哥们把n个宝石排成一排并编上号： 0,1,2,…,n-1。第i个宝石对应的体积和价值分别为 V[i] ( V 代表 volume )和 W[i] ( W 代表 worth )。排好后这哥们开始思考： 背包总共也就只能装下体积为C的东西，那我要装下哪些宝石才能让我获得最大的利益呢？

按照上面的步骤对问题进行分析： 我们定义一个函数 F(i, j) ，表示能够装的宝石的最大价值， i 表示有的宝石的，是一个数组 (0, 1, 2,..., i) ， j 表示背包的容量，假设，我们这里一共有6和宝石，体积分别为 V = [2, 2, 6, 5, 4, 3] ，对应的价值分别是 W = [6, 3, 5, 4, 6, 2] 。

当背包容量 C = 1 时，则 F(0, 1) = 0; F(1, 1) = 0; ... ; F(5, 1) = 0 ;

当背包容量 C = 2 时，则 F(0, 2) = 6; F(1, 2) = 6; ...; F(5, 2) = 6 ;

当背包容量 C = 3 时，则 F(0, 3) = 6; F(1, 3) = 6; ...; F(5, 3) = 6 ;

由此，我们可以得出结论，背包能装的宝石的最大价值和宝石数量及背包容量有关。

我们目的是求怎么样把n个宝石，最大价值的装到背包里。

我们做个假设： 先把下标从1开始计算。n个宝石的下标分别是1,2,3,...,n

1. 第n个宝石，不是我们想要的宝石，那么 1,2,3,...,n-1 ，就能求出我们所需的最大价值，用上面的函数表达式表示为： F(n-1, C) ;
2. 假设第 n 个宝石是我们想要的宝石，那么背包要把第n个宝石的空间减出来，剩余空间来装其他宝石，那么能装的最大价值的宝石函数表达式为： F(n-1, C-V[n]) ; 则空间为C的背包能装的最大价值是 F(n-1, C-V[n])+W[n]

这里只有这两种情况，所以，我们把这两种情况综合一下，最大值就是我们要求解的函数的最终值。 F(n, C) = MAX(F(n-1, C), F(n-1, C-V[n])+W[n])

那么，就是说 n 个宝石的最大价值和 n-1 个宝石的最大价值有关。

按照我们上面所说的步骤来求解：

F(n, C)
F(n, C) = MAX(F(n-1, C), F(n-1, C-V[n])+W[n])
F(0, 0) = 0

代码实现如下：

struct Diamond {
    var id: String
    var volume: Int
    var value: Int
    var isSelected = false
    
    
    init(_ volume: Int, value: Int, id: String) {
        self.volume = volume
        self.value = value
        self.id = id
    }
}

class Knapsack {
    var number: Int     // 物品数量
    var C: Int          // 背包最大体积或最大重量
    
    var diamonds = Array<Diamond>()
    var V = Array<Array<Int>>()
    
    init(number: Int, C: Int) {
        self.C = C
        self.number = number
        // 初始化一个二维数组
        self.V = initializeArray()
        
        // 初始化宝石对象
        setDiamonds()
        // 打印现有的宝石
        printDiamonds()
    }
    // 初始宝石数组
    func setDiamonds() {
        for i in 0...number {
            if i == 0 {
                diamonds.append(Diamond(0, value: 0, id: "0"))
            } else {
                diamonds.append(Diamond(i + 1, value: i + 2, id: String(i)))
            }
        }
    }
    // 打印所有宝石
    func printDiamonds() {
        for diamond in diamonds {
            print("id:\(diamond.id), value:\(diamond.value), volume:\(diamond.volume)")
        }
    }
    // 打印选中/未选中宝石
    func printDiamonds(_ selected: Bool) {
        if selected {
            print("被选中的宝石：")
        } else {
            print("未被选中的宝石：")
        }
        for diamond in diamonds {
            if diamond.isSelected == selected && diamond.volume != 0 {
                print("id:\(diamond.id), value:\(diamond.value), volume:\(diamond.volume)")
            }
        }
    }
    // 初始化dp数组
    func initializeArray() -> [[Int]] {
        var myArr = Array<Array<Int>>()
        for _ in 0...number {
            myArr.append(Array(repeating: 0, count: C+1))
        }
        return myArr
    }
    
    func findOptimalSolution() -> Int {
        // i = 0, j = 0为边界条件，初始化的时候，初始化为0
        // 填充二维数组
        for i in 1...number {
            for j in 1...C {
                if j < diamonds[i].volume {
                    // 当剩余的空间不够装这个宝石的时候，当前数组元素值与上个元素值相同
                    V[i][j] = V[i-1][j]
                } else {
                    // 当剩余空间够装的下该宝石的时候，则动态规划该宝石是否要选中该宝石
                    V[i][j] = max(V[i-1][j], V[i-1][j-diamonds[i].volume] + diamonds[i].value)
                }
            }
        }
        // 二维数组最后一个元素就是最大价值
        return V[number][C]
    }
    
    // 查找哪些宝石被选中
    func findSelectedDiamonds(i: Int, j: Int) {
        if i > 0 {
            if V[i][j] == V[i-1][j] {
                diamonds[i].isSelected = false
                findSelectedDiamonds(i: i-1, j: j)
            } else {
                if j - diamonds[i].volume >= 0 && V[i][j] == V[i-1][j-diamonds[i].volume] + diamonds[i].value {
                    diamonds[i].isSelected = true
                    findSelectedDiamonds(i: i - 1, j: j - diamonds[i].volume)
                }
            }
        }
    }
}
复制代码

用表格表示如下：

最长上升子序列( longest increasing subsequence )

一个序列有 N 个数： A[1],A[2],…,A[N] ，求出最长非降子序列的长度。

分析这个问题： 我们定义一个数组 dp ， dp[i] 表示 0...i 之间序列的最大上升子序列，其中 i<N 。 拿个简单的输入举个例子：假设输入是： [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101]

dp[0] = 1, ([10])
dp[1] = 1, ([10, 9])
dp[2] = 2, ([10, 9, 2])
dp[3] = 2, ([10, 9, 2, 5])
dp[4] = 2, ([10, 9, 2, 5, 3])
dp[5] = 3, ([10, 9, 2, 5, 3, 7])
dp[6] = 6, ([10, 9, 2, 5, 3, 7, 101])
复制代码

想要求 dp(i) ，就把i前面的各个子序列中，最后一个数不大于 A[i] 的序列长度加1，然后取出最大的长度即为 dp(i) 。

按照上面的步骤求解：

dp[i]
dp[i] = max(dp[j])+1, ∀0≤j<i
dp[0] = 1

代码如下：

func lengthOfLIS(_ nums: [Int]) -> Int {
    if nums.count == 0 {
        return 0
    }
    var dp = Array(repeating: 0, count: nums.count)
    dp[0] = 1
    var maxAns = 1
    for i in 1..<dp.count {
        var maxVal = 0
        for j in 0..<i {
            if nums[i] > nums[j] {
                maxVal = max(maxVal, dp[j])
            }
        }
        dp[i] = maxVal + 1
        maxAns = max(maxAns, dp[i])
    }
    return maxAns
}
复制代码

二维动态规划问题

平面上有 N*M 个格子，每个格子中放着一定数量的苹果。你从左上角的格子开始，每一步只能向下走或是向右走，每次走到一个格子上就把格子里的苹果收集起来， 这样下去，你最多能收集到多少个苹果。

i 表示行， j 表示列 按照上面的步骤求解：

1. 将大问题分解为子问题： dp[i][j] 则和 dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 有关，
2. 确定状态表示: dp[i][j]
3. 确定状态转移: dp[i][j] = A[i][j] + max(dp[i-1][j], if i > 0; dp[i][j-1], if j > 0)
4. 考虑初始状态和边界情况: dp[0][0] = A[0][0]

伪代码实现：

int[][] dp
for i = 0; i < N - 1; i++
    for j = 0; j < M - 1; j++
        if i == 0 dp[i][j] = dp[i][j-1] + A[i][j]
        if j == 0 dp[i][j] = dp[i-1][j] + A[i][j]
        else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
 return dp[N-1][M-1]
复制代码

参考链接：

1. 漫画：什么是动态规划？
2. 动态规划：从新手到专家
3. 动态规划之背包问题（一）