一篇文章学会二叉树和二叉查找树

树是计算机科学中经常用到的一种数据结构。树是一种非线性的数据结构，以分层的方式存储数据。

树被用来存储具有层级关系的数据，比如文件系统中的文件。

树还可以用来存储有序列表。

树的定义

树是由一组以边连接的节点组成。公司的组织结构图就是一个树的例子。

组织结构图就是一种树

一棵树最上面的节点成为根节点。如果一个节点下面连接着多个节点，那么该节点称为父节点，它下面的节点称为子节点。一个节点可以有0个，1个或者多个子节点。没有任何子节点的节点称为叶子节点。下图展示了一些树的术语。

沿着一组特定的边，可以从一个节点走到另外一个与它不直接相连的节点。从一个节点到另一个节点的这一组边称为路径。以特定的顺序访问树中所有的节点称为树的遍历。

树可以分为几个层次，根节点是第0层，它的子节点是第1层，子节点的子节点是第2层，以此类推。树中任何一层的节点都可以看成是子树的根，该子树包含根节点的子节点，子节点的子节点等。我们定义树的层数就是树的深度。

节点的高度：节点到叶子节点的最长路径（边树）。

节点的深度：根节点到这个节点所经历的边的个数。

节点的层数：节点的深度+1。

节点的高度：根节点的高度。

下面举个例子来看：

每一个节点都有一个与之关联的值，该值有时被称为键。

二叉树是一种特殊的树。它的子节点不超过2个。二叉树具有一些特殊的计算性质，使得在它之上的一些操作异常高效。

二叉树和二叉查找树

一个父节点的两个子节点分别称为左节点和右节点。左节点包含一组特定的值，右节点包含一组特定的值。

下图展示了一颗二叉树：

当考虑某种特殊的二叉树，比如二叉查找树时，确定子节点非常重要。二叉查找树是一种特殊的二叉树，相对较小的值保存在左节点中，较大的值保存在右节点中。这一特性使得查找的效率很高，对于数值和非数值的数据，比如单词和字符串，也是如此。

我们来看下图中的树：

编号2的二叉树中，叶子节点全在最底层，除了叶子节点以外的每个节点都有左右两个子节点，这种二叉树叫做 满二叉树 。

编号3的二叉树中，叶子节点都在最底下两层，最后一层的叶子节点都靠左排列，并且除了最后一层，其它层的节点个数都达到最大，这种二叉树叫做 完全二叉树 。

实现二叉查找树（BST）

定义 Node 对象。

function node(data, left, right) {
    this.data = data;
    this.left = left;
    this.right = right;
    this.show = show;

    function show() {
        return this.data;
    }
}

现在可以创建一个 BST 类来表示二叉查找树。我们让类只包含一个数据成员：一个表示二叉查找树根节点的 Node 对象。该类的构造函数将根节点初始化为 null ，以此创建一个空节点。

BST 首先要有一个 insert() 方法，用来向树中插入新节点。首先要创建一个 Node 对象，将数据传入该对象保存。

其次，检查 BST 是否有根节点，如果没有，则这是棵新树，该节点就是根节点，这个方法到此也就结束了；否则，进入下一步。

如果待插入节点不是根节点，那么就准备遍历 BST ，找到插入的适当位置。该过程类似遍历链表。用一个节点保存当前节点，一层层地遍历 BST 。

进入 BST 以后，下一步就需要确定将该节点放在什么位置。找到正确的插入点时，会跳出循环。

查找正确的插入点的算法如下：

1. 设根节点为当前节点；
2. 如果待插入的节点小于当前节点，则设新的当前节点为原节点的左节点；反之，执行第四步；
3. 如果当前节点的左节点为 null ，就将新的节点插入这个位置，退出循环；反之，继续执行下一次循环；
4. 设新的当前节点为原节点的右节点；
5. 如果当前节点的右节点为 null ，就将新的节点插入该位置，退出循环；反之，继续执行下一次循环。

function BST() {
    this.root = null;
    this.insert = insert;
  
    function insert(data) {
        var n = new Node(data, null, null);
        if(this.root == null) {
            this.root = n;
        }else {
            var currentNode = this.root;
            var parent;
            while(true) {
                parent = currentNode;
                if(data < currentNode.data) {
                    currentNode = currentNode.left;
                    if(currentNode == null) {
                        parent.left = n;
                        break;
                    }
                }else {
                    currentNode = currentNode.right;
                    if(currentNode.data == null) {
                        parent.right = n;
                        break;
                    }
                }
            }
        }
    }
  
}

另外一个写法，其实思路是一样的，但是上面的稍微简洁一些。（代码思路来自王争老师的《数据结构与算法之美 》）

function insert(data) {
        var node = new Node(data, null, null);
        if(this.root == null) {
            this.root = node;
        }else {
            p = this.root;
            while(p !== null) {
                if(data < p.data) {
                    if(p.left == null) {
                        p.left = node;
                        return;
                    }
                    p = p.left;
                }else {
                    if(p.right == null) {
                        p.right = node;
                        return;
                    }
                    p = p.right;
                }
            }
        }
    }

遍历二叉查找树

有三种遍历二叉树的方法：中序、先序、后序。

中序遍历按照节点上的键值，以升序访问 BST 上的所有节点。

先序遍历先访问根节点，然后以同样的方式访问左子树和右子树。

后序遍历先访问叶子节点，从左子树到右子树，再到根节点。

先序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后在打印它的左子树，最后打印它的右子树。

中序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后打印它自己，最后打印它的右子树。

后序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后打印它的右子树，最后打印它自己。

中序遍历的代码如下：

function inOrder(node) {
        if(!(node == null)) {
            this.inOrder(node.left);
            console.log(node.show());
            this.inOrder(node.right);
        }
    }

var bst = new BST();
bst.insert(17)
bst.insert(19)
bst.insert(16)
bst.insert(34)
bst.insert(35)
bst.insert(36)
bst.inOrder(bst.root); // 16 17 19 34 35 36

下图展示中序遍历的访问路径：

先序遍历的代码如下：

function perOrder(node) {
        if(!(node == null)) {
            console.log(node.show());
            this.perOrder(node.left);
            this.perOrder(node.right);
        }
}

var bst = new BST();
bst.insert(17)
bst.insert(19)
bst.insert(16)
bst.insert(34)
bst.insert(35)
bst.insert(36)
console.log('先序遍历');
bst.perOrder(bst.root); // 17 16 19 34 35 36

下图展示先序遍历的访问路径：

后序遍历的代码：

var bst = new BST();
bst.insert(17)
bst.insert(19)
bst.insert(16)
bst.insert(34)
bst.insert(35)
bst.insert(36)

console.log('后序遍历');
bst.postOrder(bst.root); // 16 36 35 34 19 17

下图展示后序遍历的访问路径：

在二叉树上进行查找

对 BST 通常有以下三种类型的查找：

• 查找给定值
• 查找最大值
• 查找最小值

查找最小值和最大值

因为较小的值总在左节点上，在 BST 上查找最小值，只需要遍历左子树，知道找到最后一个节点即可。

function getMin() {
        let currentNode = this.root;
        while(currentNode.left != null) {
            currentNode = currentNode.left;
        }
        return currentNode.data;
    }

在BST 上查找最大值，只需要遍历右子树，知道找到最后一个节点即可。

function getMax() {
        let currentNode = this.root;
        while(currentNode.right != null) {
            currentNode = currentNode.right;
        }
        return currentNode.data;
    }

查找给定值

在 BST 上查找给定的值，需要比较该值和当前节点值的大小。通过比较，就能确定如果给定值不在当前节点上，该向左遍历还是向右遍历。

function find(data) {
        var currentNode = this.root;
        while(currentNode != null) {
            if(currentNode.data == data) {
                return currentNode;
            }else if(currentNode.data < data) {
                currentNode = currentNode.right;
            }else {
                currentNode = currentNode.left;
            }
        }
        return null;
    }

如果找到给定值，该方法返回保存该值的方法；如果没找到，该方法返回 null。

从二叉树上删除节点

从 BST 上删除节点的操作最复杂，其复杂程度取决于删除哪个节点。如果删除没有子节点的节点，那么非常简单。如果节点只有一个子节点，就变得稍微复杂了。如果节点有两个子节点，是最复杂的。

分三种情况来处理：

• 如果要删除的节点没有子节点，我们只需要将父节点中，指向要删除的节点的指针置为 null。比如图中删除节点55。
• 如果要删除的节点只有一个子节点（左子节点或者右子节点），我们只需要更新父节点中，指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了。比如图中删除节点13。
• 如果要删除的节点有两个子节点，我们需要找到这个节点右子树中的最小节点，把它替换到要删除节点上，然后再删除这个最小节点，因为最小节点中肯定没有左子节点，我们可以用这两个规则来进行删除操作，比如图中删除节点18。

function deleteNode(data) {
        var p = this.root; // p指向删除的节点，初始化为根节点
        var pp = null; // pp记录P的父节点
        while(p != null && p.data != data) {
            pp = p;
            if(data > p.data) {
                p = p.right;
            }else {
                p = p.left;
            }
        }
        if(p == null) return; // 没有找到

        if(p.left != null && p.right != null) { // 要删除的节点有两个子节点
            // 查找右子树中的最小节点
            var minP = p.right;
            var minPP = p; // minPP表示minP的父节点
            while(minP.left != null) {
                pnode = minP;
                minP = p.left;
            }
            p.data = minP.data; // 将minP的数据替换到p中
            p = minP; //下面就变成删除minP了
            pp = minP;

        }
        // 删除节点是叶子节点或者只有一个子节点
        var childNode = null;
        if(p.left != null) {
            childNode = p.left;
        }else if(p.right != null) {
            childNode = p.right;
        }else {
            chiildNode = null;
        }
        if(pp == null) {
            p = chiildNode; // 删除的是根节点
        }else if(pp.left == p) {
            pp.left = childNode;
        }else {
            pp.right = childNode;
        }
    }

实际上，关于二叉树的删除操作，还有个非常简单、取巧的方法，就是单纯地将已删除的节点标记为“已删除”，但并不是真正的删除。这样原本要删除的元素还存储在内存中，比较浪费内存空间，但是删除操作简单了很多，也没有增加插入和查找的代码实现的难度。

其他

二叉查找树还有一个重要的特性，就是中序遍历二叉查找树，可以输入有序的数据序列，时间复杂度是 O(n)，非常高效 。因此二叉查找树也被叫做二叉 排序 树。