内容简介:本文主要总结了动态规划的几种经典题型,分别为经典01背包、最少硬币、最大正方形、最大加号标志。背包容量capacity=5,有三个物品(value, weight),分别是(3,2),(4,3),(5,4)求出其搭配组合,使得背包内总价最大,且最大价值为多少?首先理清思路列出表格:
本文主要总结了动态规划的几种经典题型,分别为经典01背包、最少硬币、最大正方形、最大加号标志。
一、经典01背包
1. 题目
背包容量capacity=5,有三个物品(value, weight),分别是(3,2),(4,3),(5,4)求出其搭配组合,使得背包内总价最大,且最大价值为多少?
2.思路
首先理清思路列出表格:
如果背包总容量为0,那么很显然地,任何物品都无法装进背包,那么背包内总价值必然是0。所以第一步先填满 j=0 的情况。
接下来将从上到下,从左往右地填写这个表格。分析第i行时,它的物品组合仅能是小于等于i的情况。所以现在把注意力定位到 i =0, j = 1 的空格上。
i=0 j=1 : 背包总容量为1,但是物品0 的重量为 2,无法装下去,所以这一格应该填 0。
i=0 j=2 : 背包总容量为2,刚好可以装下物品0 ,由于物品0 的价值为3,因此这一格填 3。
后面同理。
i=1 j=1 : 背包总容量为1,但是物品0 的重量为 2,物品1重量为3,背包无法装下任何物品,所以填 0。
val | weight | j=0 | j=1 | j=2 | j=3 | j=4 | j=5 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
i=0 | 3 | 2 | 0 | 0 | 3 | 3 | 3 | 3 |
i=1 | 4 | 3 | 0 | 0 | 3 | 4 | 4 | 7 |
i=2 | 5 | 4 | 0 | 0 | 3 | 4 | 5 | 7 |
伪代码:
if(j>w[i]){ T[i][j] = T[i-1][j] }else{ T[i][j] = max(T[i-1][j-w[i]]+val[i], T[i-1][j]) }
3.代码
function backpack(w,val,capacity,n){ var T = [] for(let i = 0;i < n;i++){ T[i] = []; for(let j=0;j <= capacity;j++){ if(j === 0){ //容量为0 T[i][j] = 0; continue; } if(j < w[i]){ //容量小于物品重量,本行hold不住 if(i === 0){ T[i][j] = 0; // i = 0时,不存在i-1,所以T[i][j]取0 }else{ T[i][j] = T[i-1][j]; //容量小于物品重量,参照上一行 } continue; } if(i === 0){ T[i][j] = val[i]; //第0行,不存在 i-1, 最多只能放这一行的那一个物品 }else{ T[i][j] = Math.max(val[i] + T[i-1][j-w[i]],T[i-1][j]); } } } findValue(w,val,capacity,n,T); return T; } //找到需要的物品 function findValue(w,val,capacity,n,T){ var i = n-1, j = capacity; while ( i > 0 && j > 0 ){ if(T[i][j] != T[i-1][j]){ console.log('选择物品'+i+',重量:'+ w[i] +',价值:' + values[i]); j = j- w[i]; i--; }else{ i--; //如果相等,那么就到 i-1 行 } } if(i == 0 ){ if(T[i][j] != 0){ //那么第一行的物品也可以取 console.log('选择物品'+i+',重量:'+ w[i] +',价值:' + values[i]); } } } var values = [3,4,5], weights = [2,3,4], capacity = 5, n = values.length; console.log(backpack(weights,values,capacity,n));
二、最少硬币
1. 题目
4种硬币 1分、2分、5分、6分
总共需要11分,求最少的硬币数以及组合
2.思路
首先理清思路列出表格:
与经典背包相同,填写第i行表示只能用i和比i小的硬币。硬币数组coins[],需要的钱数j。
当我们只能使用面额为1分的硬币时,根据上面的规则,那么很显然,总额为几分,就需要几个硬币。
当我们有1分和2分两种面额时,那么组合方式就相对多了点。
i=1 j = 1:总额为1时,只能使用1分的面额。即填1。
i=1 j = 2:总额为2时,可以使用2个1分的,也可以使用1个2分的。
因为我们要求最少硬币,所以使用1个2分的。表格里填1。
以此类推:
j=0 | j=1 | j=2 | j=3 | j=4 | j=5 | j=6 | j=7 | j=8 | j=9 | j=10 | j=11 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
i=0 1分 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
i=1 2分 | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 5 | 5 | 6 |
i=2 5分 | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 2 | 3 |
i=3 6分 | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 2 |
伪代码:
if(j<coins[i]){ T[i][j] = T[i-1][j] }else{ T[i][j] = min(T[i-1][j], T[i][j-coins[i]]+1) }
3.代码
/** * @param {number[]} coins * @param {number} amount * @return {number} */ var coinChange = function(coins, amount) { coins.sort((a,b)=>(a-b)); var T = []; for(let i=0; i<coins.length; i++){ T[i] = []; for(let j=0; j<=amount; j++){ T[i][j] = 0; } } for(let i=0; i<T.length; i++){ for(let j=0; j<T[i].length; j++){ if(j==0){ T[i][j] = 0; continue; } if(i==0){ if(Number.isInteger(j/coins[i])){ T[i][j] = j/coins[i]; }else{ T[i][j] = Infinity; } }else{ if(j<coins[i]){ T[i][j] = T[i-1][j]; }else{ T[i][j] = Math.min(T[i-1][j], T[i][j-coins[i]]+1); } } } } return T[T.length-1][T[0].length-1]===Infinity?-1:T[T.length-1][T[0].length-1]; };
三、最大正方形
1. 题目
在一个由 0 和 1 组成的二维矩阵内,找到只包含 1 的最大正方形,并返回其面积。
示例:
输入:
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0
输出: 4
2.思路
首先用例中不一定会给正方形,也可能是长方形,所以必须分别求长和宽。
其次如果此点的值是0,则直接将结果设为0;如果此点的值为1,则它等于它左方、上方、左上方三者的最小值+1。
最后是需要一个变量max,在遍历的过程中不断修改自身获取dp中的最大值。
3.代码
/** * @param {character[][]} matrix * @return {number} */ var maximalSquare = function(matrix) { let len1 = matrix.length, len2; var dp = new Array(len1);//设置长度 let max = 0;//记录矩阵中最大值 for(let i=0; i<len1; i++){ len2 = matrix[i].length; dp[i] = new Array(len2); } for(let i=0; i<len1; i++){ for(let j=0; j<len2; j++){ if(i==0 || j==0){ dp[i][j] = matrix[i][j] == '1'?1:0; }else{ dp[i][j] = matrix[i][j] == '1'? (Math.min(dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][j-1])+1):0; } max = Math.max(max, dp[i][j]); } } return max*max; };
四、最大加号标志
1. 题目
在一个大小在 (0, 0) 到 (N-1, N-1) 的2D网格 grid 中,除了在 mines 中给出的单元为 0,其他每个单元都是 1。网格中包含 1 的最大的轴对齐加号标志是多少阶?返回加号标志的阶数。如果未找到加号标志,则返回 0。
一个 k” 阶由 1 组成的“轴对称”加号标志具有中心网格 grid[x][y] = 1 ,以及4个从中心向上、向下、向左、向右延伸,长度为 k-1,由 1 组成的臂。下面给出 k” 阶“轴对称”加号标志的示例。注意,只有加号标志的所有网格要求为 1,别的网格可能为 0 也可能为 1。
k 阶轴对称加号标志示例:
阶 1:
000
010
000
阶 2:
00000
00100
01110
00100
00000
阶 3:
0000000
0001000
0001000
0111110
0001000
0001000
0000000
示例 1:
输入: N = 5, mines = [[4, 2]]
输出: 2
解释:
11111
11111
11111
11111
11011
在上面的网格中,最大加号标志的阶只能是2。一个标志已在图中标出。
示例 2:
输入: N = 2, mines = []
输出: 1
解释:
11
11
没有 2 阶加号标志,有 1 阶加号标志。
示例 3:
输入: N = 1, mines = [[0, 0]]
输出: 0
解释:
0
没有加号标志,返回 0 。
2.思路
首先要给所有位置设置最大值即边长N。
let dp = [...Array(N)].map(() => Array(N).fill(N));
循环遍历所有行,从四个方向更新dp。
for(let i=0; i<N; i++){ for(let l=0, left=0; l<N; l++){ dp[i][l] = Math.min(dp[i][l], left = (dp[i][l] == 0 ? 0: left+1)); } for(let r=N-1, right=0; r>=0; r--){ dp[i][r] = Math.min(dp[i][r], right = (dp[i][r] == 0 ? 0: right+1)); } for(let u=0, up=0; u<N; u++){ dp[u][i] = Math.min(dp[u][i], up = (dp[u][i] == 0 ? 0: up+1)); } for(let d=N-1, down=0; d>=0; d--){ dp[d][i] = Math.min(dp[d][i], down = (dp[d][i] == 0 ? 0: down+1)); } }
left right up down注意每遍历一行都要更新为0。
3.代码
/** * @param {number} N * @param {number[][]} mines * @return {number} */ var orderOfLargestPlusSign = function(N, mines) { let dp = [...Array(N)].map(() => Array(N).fill(N)); for(let i=0; i<mines.length; i++){ dp[mines[i][0]][mines[i][1]] = 0; } let left, right, up, down; for(let i=0; i<N; i++){ for(let l=0, left=0; l<N; l++){ dp[i][l] = Math.min(dp[i][l], left = (dp[i][l] == 0 ? 0: left+1)); } for(let r=N-1, right=0; r>=0; r--){ dp[i][r] = Math.min(dp[i][r], right = (dp[i][r] == 0 ? 0: right+1)); } for(let u=0, up=0; u<N; u++){ dp[u][i] = Math.min(dp[u][i], up = (dp[u][i] == 0 ? 0: up+1)); } for(let d=N-1, down=0; d>=0; d--){ dp[d][i] = Math.min(dp[d][i], down = (dp[d][i] == 0 ? 0: down+1)); } } var max = 0; for(let i=0; i<N; i++){ for(let j=0; j<N; j++){ max = Math.max(max, dp[i][j]); } } return max; };
总结:
本文主要对动态规划几种经典题做了简单介绍,希望对大家对算法方面的学习有所帮助,总结不到位的地方还请大家批评指正。
友情参考链接:
https://juejin.im/post/5affed3951882567161ad511
https://juejin.im/post/5b0a8e0f51882538b2592963
https://leetcode-cn.com/problemset/all/以上就是本文的全部内容,希望本文的内容对大家的学习或者工作能带来一定的帮助,也希望大家多多支持 码农网
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