特征值分解和奇异值分解

特征向量：就是变换以后仍然保持相同方向的向量

一般来说，理解矩阵变换可以有两种方式，一种是矩阵的列看出变换后的基向量来表示：

第二种是脱离固定坐标系，以特征值和特征向量的方式来理解它：

求解特征值和特征向量

1. 特征向量的代数上含义是：将矩阵乘法转换为数乘操作；

2. 特征向量的几何含义是：特征向量通过方阵A变换只进行伸缩，而保持特征向量的方向不变。

其中 λ 可以由常数值转化为矩阵形式 所以式子变为： 代入具体例子

当v为零向量时，等式一定成立，但我们需要求非零解v。假设为为下图的黄线：

当 行列式为0时，空间被压缩成一条直线时

假设 所以求解步骤为：

求得λ代入到式子中可以得到特征向量。

特征基和对角矩阵

现在讨论基向量和特征向量完全相同时的情况：

这样的矩阵叫做对角矩阵，且对角线的值就是特征值：

这种矩阵有一个优势，就是计算十分简便：

一般来说对角矩阵实际情况中很难出现，所以我们需要构造这样的矩阵，假设矩阵有好多个特征向量，可以构成特征空间。 然后使用基变换矩阵

这种新的特征矩阵，对角线就是特征值，且一定是对角矩阵。

特征值分解

特征值分解可以得到特征值与特征向量，特征值表示的是这个特征到底有多重要，而特征向量表示这个特征是什么

在机器学习特征提取中，意思就是最大特征值对应的特征向量方向上包含最多的信息量，如果某几个特征值很小，说明这几个方向信息量很小，可以用来降维，也就是删除小特征值对应方向的数据，只保留大特征值方向对应的数据，这样做以后数据量减小，但有用信息量变化不大，PCA降维就是基于这种思路。

奇异值

特征值及特征值分解都是针对方阵而言，现实世界中，我们看到的大部分矩阵不是方阵，比如每道数据有M个点，一共采集了N道数据，这样就形成了一个N*M的矩阵，那么怎样才能像方阵一样提取出它的特征，以及特征的重要性。

奇异值分解就是来干这个事情的。奇异值相当于方阵中的特征值，奇异值分解相当于方阵中的特征值分解。

奇异值分解SVD

U 矩阵（左奇异矩阵）的列向量分别是u1,u2（ 的特征向量）；

Σ是除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值

V矩阵（右奇异矩阵）的列向量分别是v1,v2（ 的特征向量）。

V表示了原始域的标准正交基，U表示经过M 变换后的co-domain的标准正交基，Σ表示了V 中的向量与u中相对应向量之间的关系,即协方差，位于对角线上的元素被称为奇异值。