作者小灰, 本文经授权转载自 程序员 小灰(ID:chengxuyuanxiaohui)。
在《 漫画:图的 “最短路径” 问题 》一文中小灰介绍了单源最短路径算法 Dijkstra。当时 漫画中我们遗留了一个问题: 如何求得最短路径的详细节点,而不仅仅是距离? —— 在本篇中,我们将会给与解答。
我们仍然以下面这个带权图为例,找出从顶点A到顶点G的最短距离。
详细过程如下:
第1步,创建距离表和前置顶点表。
距离表的Key是顶点名称,Value是从起点A到对应顶点的已知最短距离,默认为无穷大;前置顶点表的Key是 顶点名称,Value是从起点A到对应顶点的已知最短路径的前置定点。
第2步,遍历起点A,找到起点A的邻接顶点B和C。从A到B的距离是5,从A到C的距离是2。把这一信息刷新到距离表当中。
同时,顶点B、C的前置顶点都是A,顶点A在邻接表中下标是0,所以把前置顶点表的B、C值更新为0:
第3步,从距离表中找到从A出发距离最短的点,也就是顶点C。
第4步,遍历顶点C,找到顶点C的邻接顶点D和F(A已经遍历过,不需要考虑)。从C到D的距离是6,所以A到D的距离是2+6=8;从C到F的距离是8,所以从A到F的距离是2+8=10。把这一信息刷新到表中。
同时,顶点D、F的前置顶点都是C,顶点C在邻接表中下标是2,所以把前置顶点表的D、F值更新为2:
接下来重复第3步、第4步所做的操作:
第5步,也就是第3步的重复,从距离表中找到从A出发距离最短的点(C已经遍历过,不需要考虑),也就是顶点B。
第6步,也就是第4步的重复,遍历顶点B,找到顶点B的邻接顶点D和E(A已经遍历过,不需要考虑)。从B到D的距离是1,所以A到D的距离是5+1=6, 小于距离表中的8 ;从B到E的距离是6,所以从A到E的距离是5+6=11。把这一信息刷新到表中。
同时,顶点D、E的前置顶点都是B,顶点B在邻接表中下标是1,所以把前置顶点表的D、E值更新为1:
第7步,从距离表中找到从A出发距离最短的点(B和C不用考虑),也就是顶点D。
第8步,遍历顶点D,找到顶点D的邻接顶点E和F。从D到E的距离是1,所以A到E的距离是6+1=7, 小于距离表中的11 ;从D到F的距离是2,所以从A到F的距离是6+2=8, 小于距离表中的10 。把这一信息刷新到表中。
同时,顶点E、F的前置顶点都是D,顶点D在邻接表中下标是3,所以把前置顶点表的E、F值更新为3:
第9步,从距离表中找到从A出发距离最短的点,也就是顶点E。
第10步,遍历顶点E,找到顶点E的邻接顶点G。从E到G的距离是7,所以A到G的距离是7+7=14。把这一信息刷新到表中。
同时,顶点G的前置顶点是E,顶点E在邻接表中下标是4,所以把前置顶点表的G值更新为4:
第11步,从距离表中找到从A出发距离最短的点,也就是顶点F。
第12步,遍历顶点F,找到顶点F的邻接顶点G。从F到G的距离是3,所以A到G的距离是8+3=11, 小于距离表中的14 。把这一信息刷新到表中:
就这样,除终点以外的全部顶点都已经遍历完毕,距离表中存储的是从起点A到所有顶点的最短距离,而前置定点存储的是从起点A到所有顶点最短路径的前置顶点。
如何把前置顶点表“翻译”成图的最短路径呢? 我们可以使用回溯法,自后向前回溯:
第1步,找到图的终点G,它是最短路径的终点:
第2步,通过前置定点表找到顶点G对应的前置下标5,在顶点数组中找到下标5对应的顶点F,它是顶点G的前置顶点:
第3步,通过前置定点表找到顶点F对应的前置下标3,在顶点数组中找到下标3对应的顶点D,它是顶点F的前置顶点:
第4步,通过前置定点表找到顶点D对应的前置下标1,在顶点数组中找到下标1对应的顶点B,它是顶点D的前置顶点:
第5步,通过前置定点表找到顶点B对应的前置下标0,在顶点数组中找到下标0对应的顶点A,它是顶点B的前置顶点:
如此一来,我们把前置顶点表(0,0,1,3,3,5)转化成了最短路径(A-B-D-F-G)。
代码中,距离表和前置顶点表都是采用数组存储,这样比较方便。
输出最短路径的时候,代码中采用了递归的方式进行回溯。
作为码一代,想教码二代却无从下手:
听说少儿编程很火,可它有哪些好处呢?
孩子多大开始学习比较好呢?又该如何学习呢?
最新的编程教育政策又有哪些呢?
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