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支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一个经典两类分类算法，其找到的分割超平面具有更好的鲁棒性，因此广泛使用在很多任务上，并表现出了很强优势。。
”
介绍
给定一个两分类数据集D={(x^n, y^n)}，n属于N，其中y_n 属于{+1,-1}，如果两类样本是线性可分的，即存在一个超平面（公式-1）
将两类样本分开，那么对于每个样本都有
数据集D中的每个样本x^n 到分隔超平面的距离为：
我们定义整个数据集D中所有样本到分隔超平面的最短距离为间隔（Margin）（公式-2）
如果间隔 gamma越大，其分隔超平面对两个数据集的划分越稳定，不容易受噪声等因素影响，支持向量机的目的是找到一个超平面(w^* , b^ *)使得gamma最大，即（公式-3）
令
则（公式-3）等价于（公式-4）
数据集中所有满足 y^n (w^T x^n +b) =1 的样本点，都称为支持向量（support vertor）
对于一个线性可分数据集，其分隔的超平面有多个，但是间隔最大的超平面是唯一的。下图给定了支持最大间隔分隔超平面的示例，其红色样本点为支持向量。
参数学习
凸函数 & 凹函数
关于凹凸函数的定义和性质可以参考下图：
为了找到最大间隔分割超平面，将公式-4改写为凸优化问题（公式-5）：
使用拉格朗日乘数法，公式-5的拉格朗日函数为（公式-6）：
其中
为拉格朗日乘数。计算公式-6关于w和b的导数，并令其等于0得到（公式-7）
和（公式-8）
将公式-7代入公式-6，并利用公式-8，得到拉格朗日对偶函数（公式-9）：
支持向量机的主优化问题为凸优化问题，满足强对偶性，即主优化问题可以通过最大化对偶函数
对偶函数 Gamma(lambda)是一个凹函数，因此最大化对偶数是一个凸优化问题，可以通过多种凸优化方法进行求解，得到拉格朗日乘数的最优值 lambda^* 。但由于其约束条件的数量为训练样本数量，一般的优化方法代价比较高，因此在实践中通常采样比较高效的优化方法，比如SMO(Sequential Minimal Optimization)算法等。
根据KKT条件中的互补松弛条件，最优解满足(公式-10)
如果样本x^n 不在约束边界上，(lambda_n)^ ，其约束失效；如果样本x^n在约束边界上，(lambda_n)^* >=0。这些在约束边界上的样本点称为支持向量（support vector），即离决策平面距离最近的点。
再计算出 lambda^ 后，根据公式-7计算出最优权重w^ ，最优偏置b^*可以通过任选一个支持向量(x,y)计算得到（公式-11）
最优参数的支持向量机的决策函数为（公式-12）
支持向量机的决策函数只依赖 lambda_n^*>0的样本点，即支持向量。
支持向量机的目标函数可以通过SMO等优化方法得到全局最优解，因此比其他分类器的学习效率更高。此外，支持向量机的决策函数只依赖与支持向量。与训练样本总数无关，分类速度比较快。
核函数
支持向量机还有一个重要的优点是可以使用核函数(kernal)隐式的将样本从原始特征空间映射到更高维的空间，并解决原始特征空间中的线性不可分问题。比如在一个变换后的特征空间中，支持向量机的决策函数为（公式-13）
其中
为核函数，通常不需要显式的给出φ(x)的具体形式，可以通过核技巧(kernel trick)来构造。比如以x,z属于R^2为例，我们可以构造一个核函数（公式-14）
来隐式的计算x,z在特征空间φ中的内积，其中:
软间隔
在支持向量机的优化问题中，约束条件比较严格。如果训练集中的样本在特征空间中不是线性可分的，就无法找到最优解。为了能够容忍部分不满足约束的样本，我们可以引入松弛变量，将优化问题变为（公式-15）：
其中参数C>0用来控制间隔和松弛变量惩罚的平衡，引入松弛变量的间隔称为软间隔（soft margin）。公式-15也可以表示为经验风险+正则化项的形式（公式-16）。
其中
称为hinge损失函数，1/C可以看作是正则化系数。软间隔支持向量机的参数学习和原始支持向量机类似，其最终决策函数也只和支持向量有关，即满足
的样本。
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