Rabin–Karp算法

一：背景

Rabin-Karp算法（也可以叫Karp-Rabin算法），由Richard M. Karp和Michael O. Rabin在1987年发表，它也是用来解决多模式串匹配问题的。

它的实现方式有点与众不同，首先是计算两个字符串的哈希值，然后通过比较这两个哈希值的大小来判断是否出现匹配。

二：算法分析与实现

选择一个合适的哈希函数很重要。假设文本串为 t[0, n) ，模式串为 p[0, m) ，其中$0<m<n$，$Hash(t[i,j])$代表字符串 t[i, j] 的哈希值。

当$Hash(t[0, m-1])!=Hash(p[0,m-1])$时，我们很自然的会把$Hash(t[1, m])$拿过来继续比较。在这个过程中，若我们重新计算字符串 t[1, m] 的哈希值，还需要$O(n)$的时间复杂度，不划算。观察到字符串 t[0, m-1] 与 t[1, m] 中有$m-1$个字符是重合的，因此我们可以选用滚动哈希函数，那么重新计算的时间复杂度就降为$O(1)$。

Rabin-Karp算法选用的滚动哈希函数主要是利用 Rabin fingerprint 的思想，举个例子，计算字符串 t[0, m - 1] 的哈希值的公式如下，

$$

Hash(t[0, m-1])=t[0]\ast\,b^{m-1}+t[1]\ast\,b^{m-2}+...+t[m-1]\ast\,b^0\tag{t[0]代表该字符的ASCII码}

$$

其中的$b$是一个常数，在Rabin-Karp算法中，我们一般取值为$256$，因为一个字符的最大值不超过$255$。上面的公式还有一个问题，哈希值如果过大可能会溢出，因此我们还需要对其取模，这个值应该尽可能大，且是质数，这样可以减小哈希碰撞的概率，在这里我们就取$101$。

则计算字符串 t[1, m] 的哈希值公式如下，

$$

Hash(t[1,m])=(Hash(t[0,m-1])-t[0]\ast\,b^{m-1})\ast\,b+t[m]\ast\,b^0\tag{请仔细对比上式}

$$

完整代码如下，

#include <iostream>
#include <string.h>

using namespace std;

#define BASE 256
#define MODULUS 101

void RabinKarp(char t[], char p[])
{
    int t_len = strlen(t);
    int p_len = strlen(p);

    // 哈希滚动之用
    int h = 1;
    for (int i = 0; i < p_len - 1; i++)
        h = (h * BASE) % MODULUS;

    int t_hash = 0;
    int p_hash = 0;
    for (int i = 0; i < p_len; i++)
    {
        t_hash = (BASE * t_hash + t[i]) % MODULUS;
        p_hash = (BASE * p_hash + p[i]) % MODULUS;
    }

    int i = 0;
    while (i <= t_len - p_len)
    {
         // 考虑到哈希碰撞的可能性，还需要用 memcmp 再比对一下
        if (t_hash == p_hash && memcmp(p, t + i, p_len) == 0)
            cout << p << " is found at index " << i << endl;

        // 哈希滚动
        t_hash = (BASE * (t_hash - t[i] * h) + t[i + p_len]) % MODULUS;

        // 防止出现负数
        if (t_hash < 0)
            t_hash = t_hash + MODULUS;

        i++;
    }
}

int main()
{
    char t[100] = "It is a test, but not just a test";
    char p[10] = "test";
    
    RabinKarp(t, p);
    
    return 0;
}

输出如下，

test is found at index 8
test is found at index 29

三：复杂度分析

首先看空间复杂度，很容易判断，$S(n)=O(1)$。

再来看时间复杂度，取文本串长度为$n$，模式串长度为$m$，预处理需要$O(m)$，在匹配过程中，最佳情况下，未出现哈希碰撞，$T_{best}(n)=O(n-m)$，最坏情况下，每次都出现碰撞，$T_{worst}(n)=O((n-m)*m)$，因为在现实生活中，$n$往往远大于$m$，因此最后的复杂度表格为，