第五届蓝桥杯Java B——矩阵翻硬币

小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。

随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。

对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i x 行，第 j y 列的硬币进行翻转。

其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。

当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。

小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。

聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。

【数据格式】

输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。

输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。

【样例输入】

2 3

【样例输出】

1

【数据规模】

对于10%的数据，n、m <= 10^3；

对于20%的数据，n、m <= 10^7；

对于40%的数据，n、m <= 10^15；

对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。

资源约定：

峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M

CPU消耗 < 2000ms

思路

最后一道编程题，还是有点水平的，还是要好好写写题解

考虑一般的情况，对于某个矩阵位置$(x,y)$反向回推，$(x,y)$初始状态是正面向上的，经过若干次翻转行，列以后导致他变成反面向上，很明显，这个"若干次"，一定是奇数次

$x$的因子假设为$x_1,x_2...x_p$，$y$的因子假设为$y_1,y_2...y_q$，这些因子两两任意组合就能构成$p\times q$个点。

也就是说，如果$x$的因子个数$p$乘以$y$的因子个数$q$为奇数，那么$(x,y)$就是反面朝上的了。因为只有奇数$\times$奇数$=$奇数，所以要求$x$的因子个数和$y$的因子个数必须都为奇数。又因为 只有完全平方数的因子个数为奇数 ，所以问题就转化成了，判断$x$和$y$是否同时是完全平方数。到这里已经可以拿20%的分了

由于$n$和$m$的范围太大，所以不能每个坐标去枚举是否是完全平方数。这里就要用到另一个重要的性质： $1-n$内完全平方数的个数为$\sqrt{n}$个