每日一算法：百元百鸡

100元买100只，题目：公鸡5元一只、母鸡3元一只、小鸡1元三只

求100元买一百只，各可以买几只

三个变量：公鸡数量为 x 母鸡数量为 y 小鸡数量为 z

满足条件：

①：x+y+z=100

②：5x+3y+z/3=100

以上为计算题目得出方程

/**
 * 公鸡5元一只、母鸡3元一只、小鸡1元三只
 * 求100元买一百只，各可以买几只
 * 三个变量：公鸡数量为 x 母鸡数量为 y 小鸡数量为 z
 * 满足条件：x+y+z=100   5x+3y+z/3=100
 * 以上为计算题目得出方程
 */
void bj(int amount, int num) {
    int x, y, z = 0;
    // 公鸡数量
    for (x = 0; x <= num; x++) {
        // 母鸡数量
        for (y = 0; y <= num; y++) {
            // 小鸡数量
            z = num - x - y;
            // 满足条件的
            if (z % 3 == 0 && x * 5 + y * 3 + z / 3 == amount) {
                printf("公鸡：%d,母鸡：%d,小鸡：%d\n", x, y, z);
            }
        }
    }
}
int main(){
    bj(100,100);
    return 0;
}

以上不是最优的办法，因为最外层循环了 num 次，第二层循环也循环了 num次，这里可以得到一部分优化

void bj(int amount, int num) {
    int x, y, z = 0;
    // 公鸡数量
    for (x = 0; x <= num / 5; x++) {
        // 母鸡数量
        for (y = 0; y <= num / 3; y++) {
            // 小鸡数量
            z = num - x - y;
            // 满足条件的
            if (z % 3 == 0 && x * 5 + y * 3 + z / 3 == amount) {
                printf("公鸡：%d,母鸡：%d,小鸡：%d\n", x, y, z);
            }
        }
    }
}

int main() {
    bj(100, 100);
    return 0;
}

这样的优化我们不必需要两个循环都循环num次了，只要循环符合amount的最大数，这样可以避免过多不必要的循环。

这样就是最优的解法了吗？当然不是，我们这里可以看到时间复杂度是：O(N2)，那我们有没有办法优化到O(N)呢？

我们来看看结果：

公鸡：0,母鸡：25,小鸡：75

公鸡：4,母鸡：18,小鸡：78

公鸡：8,母鸡：11,小鸡：81

公鸡：12,母鸡：4,小鸡：84

我们来找一下规律，在这四条结果中，公鸡的规律是4的倍数，母鸡是7的递减，小鸡是3的递增。

我们还记得在一开始的时候提到的方程组：

①：x+y+z=100

②：5x+3y+z/3=100

上面两个方程组，有三个未知变量，为不定方程组

令②×3－①得：7x+4y=100

由 x+y+z = 100和5x + 3y + z/3 = 100可得7x+4y=100

则y = 25 -（7/4）X

再令x = 4k，则有y = 25 - 7k，继而z = 75 + 3k

因为 0 =< z <= 100，所以k的可能取值是0，1，2，3

void bj(int amount, int num) {
    int x, y, z = 0;
    for (int k = 1; k <= 3; k++) {
        x = 4*k;
        y = 25-7*k;
        z = 75+3*k;
        printf("公鸡：%d,母鸡：%d,小鸡：%d\n", x, y, z);
    }
}

int main() {
    bj(100, 100);
    return 0;
}

以上的时间复杂度就可以为O(N)