O-GAN：简单修改，让GAN的判别器变成一个编码器！

本文来给大家分享一下笔者最近的一个工作：通过简单地修改原来的GAN模型，就可以让判别器变成一个编码器，从而让GAN同时具备生成能力和编码能力，并且几乎不会增加训练成本。这个新模型被称为 O-GAN （正交GAN，即Orthogonal Generative Adversarial Network），因为它是基于对判别器的正交分解操作来完成的，是对判别器自由度的最充分利用。

FFHQ线性插值效果图

Arxiv链接： https://arxiv.org/abs/1903.01931

开源代码： https://github.com/bojone/o-gan

笔者掉进生成模型的大坑已经很久时间了，不仅在博客中写了多篇有关生成模型的博文，而且还往arxiv上也提交了好几篇跟生成模型相关的小paper。自掉坑以来，虽然说对生成模型尤其是GAN的理解渐深，有时也觉得自己做出了一点改进工作（所以才提交到arxiv上），但事实上那些东西都是无关痛痒的修修补补，意义实在不大。

而本文要介绍的这个模型，自认为比以往我做的所有GAN相关工作的价值总和还要大： 它提供了 目前最简单 的方案，来训练一个具有编码能力的GAN模型。

现如今，GAN已经越来越成熟，越做越庞大，诸如BigGAN、StyleGAN等算是目前最先进的GAN模型也已被人熟知，甚至玩得不亦乐乎。不过，这几个最先进的GAN模型，目前都只有生成器功能，没有编码器功能，也就是说可以源源不断地生成新图片，却不能对已有的图片提取特征。

当然，带有编码器的GAN也有不少研究，甚至本博客中就曾做过（参考 《BiGAN-QP：简单清晰的编码&生成模型》 ）。但不管有没有编码能力，大部分GAN都有一个特点：训练完成后，判别器都是没有用的。

做过GAN的读者都知道，GAN的判别器和生成器两个网络的复杂度是相当的（如果还有编码器，那么复杂度也跟它们相当），训练完GAN后判别器就不要了，那实在是对判别器这个庞大网络的严重浪费！一般来说，判别器的架构跟编码器是很相似的，那么一个很自然的想法是能不能让判别器和编码器共享大部分权重？据笔者所知，过去所有的GAN相关的模型中，只有 IntroVAE 做到了这一点。但相对而言IntroVAE的做法还是比较复杂的，而且目前网上还没有成功复现IntroVAE的开源代码（笔者也尝试复现过，但也失败了。）。

而本文的方案则极为简单——通过稍微修改原来的GAN模型，就可以让判别器转变为一个编码器，不管是复杂度还是计算量都几乎没有增加。

事不宜迟，马上来介绍这个模型。首先引入一般的GAN写法

\begin{equation}\begin{aligned}D =& \mathop{\arg\min}_{D} \mathbb{E}_{x\sim p(x), z\sim q(z)}\Big[f(D(x)) + g(D(G(z)))\Big]\\

G =& \mathop{\arg\min}_{G} \mathbb{E}_{z\sim q(z)}\Big[h(D(G(z)))\Big]

\end{aligned}\end{equation}

为了不至于混淆，这里还是不厌其烦地对符号做一些说明。其中$x\in \mathbb{R}^{n_x},z\in \mathbb{R}^{n_z}$， $p(x)$是真实图片集的“证据分布”，$q(z)$是噪声的分布（在本文中，它是$n_z$元标准正态分布）；而$G: \mathbb{R}^{n_z} \to \mathbb{R}^{n_x}$和$D: \mathbb{R}^{n_x} \to \mathbb{R}$自然就是生成器和判别器了，$f,g,h$则是一些确定的函数，不同的GAN对应着不同的$f,h,g$。有时候我们会加一些标准化或者正则化手段上去，比如谱归一化或者梯度惩罚，简单起见，这些手段就不明显地写出来了。

然后定义几个向量算符：

\begin{equation}\text{avg}(z)=\frac{1}{n_z}\sum_{i=1}^{n_z} z_i,\quad \text{std}(z)=\sqrt{\frac{1}{n_z}\sum_{i=1}^{n_z} (z_i-\text{avg}(z))^2}, \quad \mathcal{N}(z)=\frac{z - \text{avg}(z)}{\text{std}(z)}\end{equation}

写起来貌似挺高大上的，但其实就是向量各元素的均值、方差，以及标准化的向量。特别指出的是，当$n_z \geq 3$时（真正有价值的GAN都满足这个条件），$\left[\text{avg}(z), \text{std}(z), \mathcal{N}(z)\right]$是函数无关的，也就是说它相当于是原来向量$z$的一个“正交分解”。

接着，我们已经说了判别器的结构其实和编码器有点类似，只不过编码器输出一个向量而判别器输出一个标量罢了，那么我可以把判别器写成复合函数：

\begin{equation}D(x)\triangleq T(E(x))\end{equation}

这里$E$是$\mathbb{R}^{n_x} \to \mathbb{R}^{n_z}$的映射，而$T$是$\mathbb{R}^{n_z} \to \mathbb{R}$的映射。不难想象，$E$的参数量会远远多于$T$的参数量，我们希望$E(x)$具有编码功能。

怎么实现呢？只需要加一个loss：Pearson相关系数！

\begin{equation}\begin{aligned}T,E =& \mathop{\arg\min}_{T,E} \mathbb{E}_{x\sim p(x), z\sim q(z)}\Big[f(T(E(x))) + g(T(E(G(z)))) - \lambda \rho(z, E(G(z)))\Big]\\

G =& \mathop{\arg\min}_{G} \mathbb{E}_{z\sim q(z)}\Big[h(T(E(G(z)))) - \lambda \rho(z, E(G(z)))\Big]

\end{aligned}\end{equation}

其中

\begin{equation}\rho(z, \hat{z})=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n_z} (z_i - \text{avg}(z))(\hat{z}_i - \text{avg}(\hat{z}))/n_z}{\text{std}(z)\times \text{std}(\hat{z})}=\cos(\mathcal{N}(z), \mathcal{N}(E(G(z))))\end{equation}

如果$\lambda=0$，那么就是普通的GAN而已（只不过判别器被分解为两部分$E$和$T$两部分）。加上了这个相关系数，直观上来看，就是希望$z$和$E(G(z))$越线性相关越好。为什么要这样加？我们留到最后讨论。

显然这个相关系数可以嵌入到任意现成的GAN中，改动量显然也很小（拆分一下判别器、加一个loss），笔者也做了多种GAN的实验，发现都能成功训练。

这样一来，GAN的判别器$D$分为了$E$和$T$两部分，$E$变成了编码器，也就是说，判别器的大部分参数已经被利用上了。但是还剩下$T$，训练完成后$T$也是没用的，虽然$T$的参数量比较少，这个浪费量是很少的，但对于有“洁癖”的人（比如笔者）来说还是很难受的。

能不能把$T$也省掉？经过笔者多次试验，结论是：还真能！因为我们可以直接用$\text{avg}$做判别器：

\begin{equation}\begin{aligned}E =& \mathop{\arg\min}_{E} \mathbb{E}_{x\sim p(x), z\sim q(z)}\Big[f(\text{avg}(E(x))) + g(\text{avg}(E(G(z)))) - \lambda \rho(z, E(G(z)))\Big]\\

G =& \mathop{\arg\min}_{G} \mathbb{E}_{z\sim q(z)}\Big[h(\text{avg}(E(G(z)))) - \lambda \rho(z, E(G(z)))\Big]

\end{aligned}\label{eq:simplest}\end{equation}

这样一来整个模型中已经没有$T$了，只有纯粹的生成器$G$和编码器$E$，整个模型没有丝毫冗余的地方～（洁癖患者可以不纠结了）

这样做为什么可以？我们放到最后再说。先看看实验效果，毕竟实验不好的话，原理说得再漂亮也没有意义。

注意，理论上来讲，本文引入的相关系数项并不能提高生成模型的质量，所以实验的目标主要有两个： 1、这个额外的loss会不会有损原来生成模型的质量；2、这个额外的loss是不是真的可以让$E$变成一个有效的编码器？

刚才也说，这个方法可以嵌入到任意GAN中，这次实验用的是GAN是我之前的GAN-QP的变种：

\begin{equation}\begin{aligned}E =& \mathop{\arg\min}_{E} \mathbb{E}_{x\sim p(x), z\sim q(z)}\Big[\text{avg}(E(x)) - \text{avg}(E(G(z))) + \lambda_1 R_{x,z} - \lambda_2 \rho(z, E(G(z)))\Big]\\

G =& \mathop{\arg\min}_{G} \mathbb{E}_{z\sim q(z)}\Big[\text{avg}(E(G(z))) - \lambda_2 \rho(z, E(G(z)))\Big]

\end{aligned}\label{eq:simplest-2}\end{equation}

其中

\begin{equation}R_{x,z} = \frac{[\text{avg}(E(x)) - \text{avg}(E(G(z)))]^2}{\Vert x - G(z)\Vert^2}\end{equation}

数据集上，这次的实验做得比较完整，在CelebA HQ、FFHQ、LSUN-churchoutdoor、LSUN-bedroom四个数据集上都做了实验，分辨率都是$128\times 128$（其实还做了一点$256\times 256$的实验，结果也不错，但是没放到论文上）。模型架构跟以往一样都是DCGAN，其余细节直接看论文或者代码吧。

上图：

不管你们觉得好不好，反正我是觉得还好了～

1、 随机生成 效果还不错，说明新引入的相关系数项没有降低生成质量；

2、 重构 效果还不错，说明$E(x)$确实提取到了$x$的主要特征；

3、 线性插值 效果还不错，说明$E(x)$确实学习到了接近线性可分的特征。

好，确认过眼神，哦不对，是效果，就可以来讨论一下原理了。

很明显，这个额外的重构项的作用就是让$z$尽可能与$E(G(z))$“相关”，对于它，相信大多数读者的第一想法应该是mse损失$\Vert z - E(G(z))\Vert^2$而非本文用的$\rho(z, E(G(z)))$。但事实上，如果加入$\Vert z - E(G(z))\Vert^2$那么训练基本上都会失败。那为什么$\rho(z, E(G(z)))$又会成功呢？

根据前面的定义，$E(x)$输出一个$n_z$维的向量，但是$T(E(x))$只输出一个标量，也就是说，$E(x)$输出了$n_z$个自由度，而作为判别器，$T(E(x))$至少要占用一个自由度（当然，理论上它也只需要占用一个自由度）。如果最小化$\Vert z - E(G(z))\Vert^2$，那么训练过程会强迫$E(G(z))$完全等于$z$，也就是说$n_z$个自由度全部被它占用了，没有多余的自由度给判别器来判别真假了，所以加入$\Vert z - E(G(z))\Vert^2$大概率都会失败。但是$\rho(z, E(G(z)))$不一样，$\rho(z, E(G(z)))$跟$\text{avg}(E(G(z)))$和$\text{std}(E(G(z)))$都没关系（只改变向量$E(G(z))$的$\text{avg}$和$\text{std}$，不会改变$\rho(z, E(G(z)))$的值，因为$\rho$本身就先减均值除标准差了），这意味着就算我们最大化$\rho(z, E(G(z)))$，我们也留了至少两个自由度给判别器。

这也是为什么在$\eqref{eq:simplest}$中我们甚至可以直接用$\text{avg}(E(x))$做判别器，因为它不会被$\rho(z, E(G(z)))$的影响的。

另外还有一个事实也能帮助我们理解。因为我们在对抗训练的时候，噪声是$z\sim \mathcal{N}(0,I_{n_z})$的，当生成器训练好之后，那么理论上对所有的$z\sim \mathcal{N}(0,I_{n_z})$，$G(z)$都会是一张逼真的图片，事实上，反过来也是成立的，如果$G(z)$是一张逼真的图片，那么应该有$z\sim \mathcal{N}(0,I_{n_z})$（即位于$\mathcal{N}(0,I_{n_z})$的高概率区域）。进一步推论下去，对于$z\sim \mathcal{N}(0,I_{n_z})$，我们有$\text{avg}(z)\approx 0$以及$\text{std}(z)\approx 1$。那么，如果$G(z)$是一张逼真的图片，那么必要的条件是$\text{avg}(z)\approx 0$以及$\text{std}(z)\approx 1$。

应用这个结论，如果我们希望重构效果好，也就是希望$G(E(x))$是一张逼真的图片，那么必要的条件是$\text{avg}(E(x))\approx 0$以及$\text{std}(E(x))\approx 1$。这就说明，对于一个好的$E(x)$，我们可以认为$\text{avg}(E(x))$和$\text{std}(E(x))$都是已知的（分别等于0和1），既然它们是已知的，我们就没有必要拟合它们，换言之，在重构项中可以把它们排除掉。而事实上：

\begin{equation}-\rho(z, E(G(z)))\sim \left\Vert \mathcal{N}(z) - \mathcal{N}(E(G(z)))\right\Vert^2\end{equation}

也就是说在mse损失中排除掉$\text{avg}(E(x))$和$\text{std}(E(x))$的话，然后省去常数，它其实就是$-\rho(z, E(G(z)))$，这再次说明了$\rho(z, E(G(z)))$的合理性。并且由这个推导，重构过程并不是$G(E(x))$而是

\begin{equation}\hat{x}=G(\mathcal{N}(E(x)))\end{equation}

最后，这个额外的重构项理论上还能防止mode collapse的出现。其实很明显，因为重构质量都不错了，生成质量再差也差不到哪里去，自然就不会怎么mode collapse了～非要说数学依据的话，我们可以将$\rho(z, E(G(z)))$理解为$Z$和$G(Z)$的互信息上界，所以最小化$-\rho(z, E(G(z)))$事实上在最大化$Z$与$G(Z)$的互信息，这又等价于最大化$G(Z)$的熵。而$G(Z)$的熵大了，表明它的多样性增加了，也就远离了mode collapse。类似的推导可以参考 《能量视角下的GAN模型（二）：GAN＝“分析”＋“采样”》 。

本文介绍了一个方案，只需要对原来的GAN进行简单的修改，就可以将原来GAN的判别器转化为一个有效的编码器。多个实验表明这样的方案是可行的，而对原理的进一步思考得出，这其实就是对原始判别器（编码器）的一种正交分解，并且对正交分解后的自由度的充分利用，所以模型也被称为“正交GAN（O-GAN）”。

小改动就收获一个编码器，何乐而不为呢？欢迎大家试用～

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