机器学习算法之逻辑回归

逻辑回归算法的名字里虽然带有“回归”二字，但实际上逻辑回归算法是用来解决分类问题的。简单来说， 逻辑回归（Logistic Regression）是一种用于解决二分类（0 or 1）问题的机器学习方法，用于估计某种事物的可能性。比如某用户购买某商品的可能性，某病人患有某种疾病的可能性，以及某广告被用户点击的可能性等。 注意，这里用的是“可能性”，而非数学上的“概率”，logisitc回归的结果并非数学定义中的概率值，不可以直接当做概率值来用（逻辑回归是基于分布假设建立的，假设在现实案例中并不是那么容易满足，所以，很多情况下，我们得出的逻辑回归输出值，无法当作真实的概率，只能作为置信度来使用）。该结果往往用于和其他特征值加权求和，而非直接相乘。

逻辑回归（Logistic Regression）与 线性回归（Linear Regression） 都是一种广义线性模型（generalized linear model）。逻辑回归假设因变量 y 服从伯努利分布，而线性回归假设因变量 y 服从高斯分布。 因此与线性回归有很多相同之处，去除Sigmoid映射函数的话，逻辑回归算法就是一个线性回归。可以说，逻辑回归是以线性回归为理论支持的，但是逻辑回归通过Sigmoid函数引入了非线性因素，因此可以轻松处理0/1分类问题。

逻辑回归的优缺点

优点：

• 速度快，适合二分类问题
• 简单易于理解，直接看到各个特征的权重
• 能容易地更新模型吸收新的数据

缺点：

• 对数据和场景的适应能力有局限性，不如决策树算法适应性那么强

逻辑回归算法原理

假设函数（Hypothesis function）

首先我们要先介绍一下Sigmoid函数，也称为逻辑函数（Logistic function）：

其函数曲线如下：

从上图可以看到sigmoid函数是一个s形的曲线，它的取值在[0, 1]之间，在远离0的地方函数的值会很快接近0或者1。它的这个特性对于解决二分类问题十分重要。

逻辑回归的假设函数形式如下：

所以：

其中x是我们的输入，为我们要求取的参数。一个机器学习的模型，实际上是把决策函数限定在某一组条件下，这组限定条件就决定了模型的假设空间。当然，我们还希望这组限定条件简单而合理。而逻辑回归模型所做的假设是：

这个函数的意思就是在给定x和的条件下 y=1 的概率。这里 g(h) 就是我们上面提到的sigmoid函数，与之相对应的决策函数为：

选择0.5作为阈值是一个一般的做法，实际应用时特定的情况可以选择不同阈值，如果对正例的判别准确性要求高，可以选择阈值大一些，对正例的召回要求高，则可以选择阈值小一些。

决策边界（Decision Boundary）

决策边界，也称为决策面，是用于在N维空间，将不同类别样本分开的平面或曲面。注意：决策边界是假设函数的属性，由参数决定，而不是由数据集的特征决定。这里我们引用Andrew Ng 课程上的两张图来解释这个问题：

线性决策边界

这里决策边界为:

非线性决策边界

这里决策边界为:

上面两张图很清晰的解释了什么是决策边界，决策边界其实就是一个方程，在逻辑回归中，决策边界由 定义：

这里我们要注意理解一下假设函数和决策边界函数的区别与联系。决策边界是假设函数的属性，由假设函数的参数（）决定。

在逻辑回归中，假设函数 用于计算样本属于某类别的可能性；决策函数 用于计算（给出）样本的类别；决策边界 是一个方程，用于标识出分类函数（模型）的分类边界。

损失函数（Cost Function）

逻辑回归的假设为： ，我们的任务是找到一个 “合适” 的来使这个假设尽可能地解决我们的问题。例如分类任务，我们希望决策边界能最大程度将数据区分开。那么数学上怎么表达这种需求呢？在线性回归中，一般采用均方误差用来评价一个的好坏：

即 越小，认为越好。那为什么不直接把逻辑回归的 代入均方误差呢？原因是这样产生的 是非凸函数 (non-convex)。我们举个例子：

samples = [(-5, 1), (-20, 0), (-2, 1)]
 
def sigmoid(theta, x):
    return 1/(1 + math.e**(- theta*x))
 
def cost(theta):
    diffs = [(sigmoid(theta, x) - y) for x,y in samples]
    return sum(diff * diff for diff in diffs)/len(samples)/2
 
X = np.arange(-1, 1, 0.01)
Y = np.array([cost(theta) for theta in X])
plt.plot(X, Y)
plt.show()

可以看出这个损失函数是非凸的，局部最小值不等于全局最小值，因此使用梯度下降法难以求解。因此逻辑回归模型使用如下的损失函数，

写成统一的形式：

那么损失函数是如何影响决策的呢？首先，损失函数是对 hθ(x) 给出错误结论的惩罚。因此损失越小，一般就认为 hθ(x) 的结论就越正确。而上面这个式子意味着，损失越小，最后得到的 hθ(x) 曲面会越“贴近”数据点，换言之会“越陡”：

这幅图中， ，即蓝色曲面对应的的损失要小于绿色曲面对应的值。可以看到，损失小的蓝色曲面更陡。

损失函数对决策边界有何影响？我们取 的决策边界，可以看到决策边界也有略微的不同：

但由于这两个都能把这两组数据区分开，因此它们并没有特别大的差别。猜想，逻辑回归的训练中，前几个迭代应该就能快速地制定出决策边界，接下来一些迭代的作用应该就是让 “更陡”，一味追求损失更小究竟对决策边界有帮助吗？

小结一下，如何决定模型的损失函数？一是损失函数要正确评价参数，使损失更小的参数对解决问题更有利；另一方面，受限于优化手段，要求损失函数能求解。当然一些常用的模型损失函数也大致确定了。

梯度下降(Gradient Descent)

和线性回归类似，我们使用梯度下降算法来求解逻辑回归模型参数。关于梯度下降的详细信息见线性回归文章中的相关内容。

正则化（Regularization）

当模型的参数过多时，很容易遇到过拟合的问题。这时就需要有一种方法来控制模型的复杂度，典型的做法在优化目标中加入正则项，通过惩罚过大的参数来防止过拟合。

一般情况下，取p=1或p=2，分别对应L1，L2正则化，两者的区别可以从下图中看出来，L1正则化（左图）倾向于使参数变为0，因此能产生稀疏解。

关于正则化的详细内容见岭回归、Lasso回归文章中的详细内容。

使用Scikit-Learn进行逻辑回归

在scikit-learn里，逻辑回归模型由类 sklearn.linear_model.LogisticRegression 实现。

正则项权重

正则项权重，在LogisticRegression里有个参数C与此对应，但成反比。即C值越大，正则项的权重越小，模型容易出现过拟合；C值越小，正则项权重越大，模型容易出现欠拟合。

L1/L2范数

创建逻辑回归模型时，有个参数penalty，其取值有’l1’或’l2’，这个实际上就是指定我们前面介绍的正则项的形式。

最简单的使用方法：

from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
 
nb_samples = 500
X, Y = make_classification(n_samples=nb_samples, n_features=2, n_informative=2, n_redundant=0, n_clusters_per_class=1)
X_train, X_test, Y_train, Y_test = train_test_split(X, Y, test_size=0.25)
 
lr = LogisticRegression()
lr.fit(X_train,Y_train)
 
train_score = lr.score(X_train, Y_train)  # 模型对训练样本得准确性
test_score = lr.score(X_test, Y_test)  # 模型对测试集的准确性
print(train_score)
print(test_score)

对于参数优化，可以选择LogisticRegressionCV或GridSearchCV

GridSearchCV：

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import GridSearchCV
import numpy as np
 
iris = load_iris()
 
param_grid = {
    'penalty': ["l1", "l2"],
    'C': np.power(10.0, np.arange(-10, 10))
}
 
gs = GridSearchCV(estimator=LogisticRegression(), param_grid=param_grid, scoring='accuracy', cv=10)
 
gs.fit(iris.data, iris.target)
print(gs.best_estimator_)

LogisticRegressionCV：

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.linear_model import LogisticRegressionCV
from sklearn.model_selection import KFold
import numpy as np
 
iris = load_iris()
fold = KFold(n_splits=5, shuffle=True, random_state=777)
 
searchCV = LogisticRegressionCV(
    Cs=list(np.power(10.0, np.arange(-10, 10)))
    , penalty='l2'
    , scoring='roc_auc'
    , cv=fold
    , random_state=777
    , max_iter=10000
    , fit_intercept=True
    , solver='newton-cg'
    , tol=10
)
 
searchCV.fit(iris.data, iris.target)
print('Max auc_roc:', searchCV.scores_[1].mean(axis=0).max())

参考链接：

• https://lotabout.me/2018/Logistic-Regression-Notes/
• https://chenrudan.github.io/blog/2016/01/09/logisticregression.html
• https://www.imooc.com/article/46843
• https://juejin.im/post/5a87a7026fb9a063475f8706