那些有趣的算法之布隆过滤器

布隆过滤器是由Burton Bloom与1970年提出来的，所以它的名字就叫做Bloom Filter。它实际上是一个很长的二进制向量和一系列的随机映射函数。

使用场景

1. 有的黑客为了让服务宕机，他们会构建大量不存在于缓存中的key向服务器发起请求，在数据量足够大的情况下，频繁的数据库查询可能导致DB挂掉。布隆过滤器很好的解决了缓存击穿的问题。
2. 反垃圾邮件，从数十亿个垃圾邮件列表中判断某个邮箱是否是垃圾邮箱。
3. 网页爬虫对URL去重，防治爬取相同的URL地址
4. ...

算法描述

一个空的布隆过滤器是由m个bits组成的bit array，每一个bit位都初始为0。并且定义有k个不同的哈希函数，每个哈希函数都将元素哈希到bit array的不同位置。

当添加一个元素时，用k个哈希函数分别将它hash得到k个bit位，然后将这些bit位置位1。

查询一个函数时，同样用k个哈希函数将它hash，再判断k个bit位上是否都为1，如果其中某一位为0，则该元素不存在于布隆过滤器中。

常规的布隆过滤器不允许执行删除元素操作，因为那样会把k个bits位置位0，而其中某一位可能和其他元素想对应。因此删除操作会引入false negative，如果需要删除操作可以使用 Counting Bloom Filter

当k很大时，设计k个独立的哈希函数是不现实的。对于一个输出范围很大的哈希函数（MD5产生的128 bits），如果不同bits的相关性很小，则可以把此输出分割位k份。或者将k个不同的初始值结合元素，feed给一个哈希函数从而产生k个不同的值。

举例说明

就以垃圾邮件过滤为例，假定我们有一亿个垃圾邮件地址，每个邮件用8个hash函数来生成8个信息指纹，因为在保证误判率低且k和m选取合适时，空间利用率为50%。所以我们的m(布隆过滤器的槽数)为

，也就是16亿个二进制位。我们先将所有二进制位全部清零。对于每个邮件地址X，我们用8个不同的hash函数进行hash，再将这8个信息指纹映射到1-16亿中的8个自然数g1,g2,...g8。现在将这8个位置的二进制值全部置为1。对一亿个邮件地址都进行这样的处理后，我们的布隆过滤器也就建成功了。

当我们要判断一个邮件地址是否在布隆过滤器中时，需要使用相同的8个hash函数来将8个信息指纹对应到布隆过滤器的8个二进制位上。如果8个二进制位的值只要有一个或更多为0，那么它一定不存在于布隆中。如果8个值全都为1，那么它可能存在于布隆中，这是因为误识别导致的。

优势

相对于其它的数据结构，布隆过滤器在空间和时间方面都有巨大的优势。布隆过滤器存储空间和插入/查询时间都是常数。另外，hash函数相互之间没有关系，方便由硬件并行实现。布隆过滤器不需要存储数据本身，在某些对保密要求非常严格的场合由优势。

缺点

布隆过滤器的缺点和其优点一样明显。误算率(False Positive)是其中之一。随着存入元素的数量增加，误算率随之增加。

误判概率的证明和计算

在上面的案例中，我们说到过关于布隆的误算率的问题，这在检验上被称为 假阳性 。

估算假阳性的概率并不难。假定布隆过滤器有 m 比特，里面有 n 个元素，每个元素对应 k 个信息指纹的哈希函数，当然这里 m 比特里有些是0有些是1。我们先来看看某个比特为0的概率。当我们在插入一个元素时，它的第一个哈希函数会把过滤器中的某个比特置为1，因此，任何一个比特被置为1的概率是 1/m ，它依然为0的概率则为 1-1/m 。对于过滤器中的某个特定位置，如果这个元素k个哈希函数都没有把它设置为1，其概率是 (1-1/m)^k 。如果过滤器插入第二个元素，某个特定位置依然没有被设置为1，其概率为 (1-1/m)^2k 。如果插入了n个元素，还是没有把某个位置设置为1，其概率为 (1-1/m)^kn 。反过来，一个比特在插入了n个元素后，被置为1的概率为 1-(1-1/m)^kn 。

现在假定这n个元素都放到了过滤器中，新来一个不在集合中的元素，由于它的信息指纹的哈希函数都是随机的，因此，它的第一个哈希函数正好命中某个值为1的比特的概率就是上述概率。一个不在集合中的元素被误识别为在集合中，所需要的哈希函数对应比特的值均为1，其概率为:

化简后为：

如果n比较大，可以近似为：

PHP实现

class BloomFilterHash
{
    /**
     * 由Justin Sobel 编写的按位散列函数.
     *
     * @param string $string
     * @param null $len
     * @return int
     */
    public function JSHash($string, $len = null)
    {
        $hash = 1315423911;
        $len || $len = strlen($string);
        for ($i = 0; $i < $len; $i ++) {
            $hash ^= (($hash << 5) + ord($string[$i]) + ($hash >> 2));
        }

        return ($hash % 0xFFFFFFFF) & 0xFFFFFFFF;
    }

    /**
     * 该哈希算法基于AT＆T贝尔实验室的Peter J. Weinberger的工作。
     * Aho Sethi和Ulman编写的“编译器（原理，技术和工具）”一书建议使用采用此特定算法中的散列方法的散列函数。
     *
     * @param string $string
     * @param null $len
     * @return int
     */
    public function PJWHash($string, $len = null)
    {
        $bitsInUnsignedInt = 4 * 8;
        $threeQuarters = ($bitsInUnsignedInt * 3) / 4;
        $oneEighth = $bitsInUnsignedInt / 8;
        $highBits = 0xFFFFFFFF << (int) ($bitsInUnsignedInt - $oneEighth);
        $hash = 0;
        $test = 0;
        $len || $len = strlen($string);
        for ($i = 0; $i < $len; $i ++) {
            $hash = ($hash << (int) ($oneEighth)) + ord($string[$i]);
        }
        $test = $hash & $highBits;
        if ($test != 0) {
            $hash = (($hash ^ ($test >> (int)($threeQuarters))) & (~$highBits));
        }
        return ($hash % 0xFFFFFFFF) & 0xFFFFFFFF;
    }

    /**
     * 类似PJW Hash功能，但是针对32位处理器做了调整。它是基于unix系统上的widely使用哈希函数。
     *
     * @param string $string
     * @param null $len
     * @return int
     */
    public function ELEHash($string, $len = null)
    {
        $hash = 0;
        $len || $len = strlen($string);
        for ($i = 0; $i < $len; $i++) {
            $hash = ($hash << 4) + ord($string[$i]);
            $x = $hash & 0xF0000000;
            if ($x != 0) {
                $hash ^= ($x >> 24);
            }
            $hash &= ~$x;
        }

        return ($hash % 0xFFFFFFFF) & 0xFFFFFFFF;
    }

    /**
     * 这个哈希函数来自Brian Kernighan和Dennis Ritchie的书“The C Programming Language”。
     * 它是一个简单的哈希函数，使用一组奇怪的可能种子，它们都构成了31 .... 31 ... 31等模式，它似乎与DJB哈希函数非常相似。
     */
    public function BKDRHash($string, $len = null)
    {
        $seed = 131;  # 31 131 1313 13131 131313 etc..
        $hash = 0;
        $len || $len = strlen($string);
        for ($i=0; $i<$len; $i++) {
            $hash = (int) (($hash * $seed) + ord($string[$i]));
        }
        return ($hash % 0xFFFFFFFF) & 0xFFFFFFFF;
    }

    /**
     * 这是在开源SDBM项目中使用的首选算法。
     * 哈希函数似乎对许多不同的数据集具有良好的总体分布。它似乎适用于数据集中元素的MSB存在高差异的情况。
     */
    public function SDBMHash($string, $len = null)
    {
        $hash = 0;
        $len || $len = strlen($string);
        for ($i=0; $i<$len; $i++) {
            $hash = (int) (ord($string[$i]) + ($hash << 6) + ($hash << 16) - $hash);
        }
        return ($hash % 0xFFFFFFFF) & 0xFFFFFFFF;
    }

    /**
     * 由Daniel J. Bernstein教授制作的算法，首先在usenet新闻组comp.lang.c上向世界展示。
     * 它是有史以来发布的最有效的哈希函数之一。
     */
    public function DJBHash($string, $len = null)
    {
        $hash = 5381;
        $len || $len = strlen($string);
        for ($i=0; $i<$len; $i++) {
            $hash = (int) (($hash << 5) + $hash) + ord($string[$i]);
        }
        return ($hash % 0xFFFFFFFF) & 0xFFFFFFFF;
    }

    /**
     * Donald E. Knuth在“计算机编程艺术第3卷”中提出的算法，主题是 排序 和搜索第6.4章。
     */
    public function DEKHash($string, $len = null)
    {
        $len || $len = strlen($string);
        $hash = $len;
        for ($i=0; $i<$len; $i++) {
            $hash = (($hash << 5) ^ ($hash >> 27)) ^ ord($string[$i]);
        }
        return ($hash % 0xFFFFFFFF) & 0xFFFFFFFF;
    }

    /**
     * 参考 http://www.isthe.com/chongo/tech/comp/fnv/
     */
    public function FNVHash($string, $len = null)
    {
        $prime = 16777619; //32位的prime 2^24 + 2^8 + 0x93 = 16777619
        $hash = 2166136261; //32位的offset
        $len || $len = strlen($string);
        for ($i=0; $i<$len; $i++) {
            $hash = (int) ($hash * $prime) % 0xFFFFFFFF;
            $hash ^= ord($string[$i]);
        }
        return ($hash % 0xFFFFFFFF) & 0xFFFFFFFF;
    }
}
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abstract class BloomFilterRedis
{
    /**
     * 需要使用一个方法来定义bucket名字.
     */
    protected $bucket;

    protected $hashFunction;

    public function __construct()
    {
        if (!$this->bucket || !$this->hashFunction) {
            throw new Exception("需要定义bucket和hashFunction");
        }

        $this->Hash = new BloomFilterHash;
        $this->Redis = new \Redis();   // 假设已经连接好了
        $this->Redis->connect('127.0.0.1');
    }

    /**
     * @param $string
     * @return array
     */
    public function add($string)
    {
        $pipe = $this->Redis->multi();
        foreach ($this->hashFunction as $function) {
            $hash = $this->Hash->$function($string);
            $pipe->setBit($this->bucket, $hash, 1);
        }
        return $pipe->exec();
    }

    /**
     * 查询是否存在，不存在的一定不存在，存在的可能存在误判.
     *
     * @param $string
     * @return bool
     */
    public function exists($string)
    {
        $pipe = $this->Redis->multi();
        $len = strlen($string);
        foreach ($this->hashFunction as $function) {
            $hash = $this->Hash->$function($string, $len);
            $pipe = $pipe->getBit($this->bucket, $hash);
        }
        $res = $pipe->exec();
        foreach ($res as $bit) {
            if ($bit == 0) {
                return false;
            }
        }

        return true;
    }
}
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class FilteRepeatedComments extends BloomFilterRedis
{
    protected $bucket = 'rptc';

    protected $hashFunction = array('BKDRHash', 'SDBMHash', 'JSHash');
}
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