【动态规划】最长公共子序列与最长公共子串

1. 问题描述

子串应该比较好理解，至于什么是子序列，这里给出一个例子：有两个母串

• cnblogs
• belong

比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs与belong中都出现过并且出现顺序与母串保持一致，我们将其称为公共子序列。最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS），顾名思义，是指在所有的子序列中最长的那一个。子串是要求更严格的一种子序列，要求在母串中连续地出现。在上述例子的中，最长公共子序列为blog（cn blog s,  b e lo n g ），最长公共子串为lo（cnb lo gs, be lo ng）。

2. 求解算法

对于母串X=<x1,x2,⋯,xm>, Y=<y1,y2,⋯,yn>，求LCS与最长公共子串。

暴力解法

假设 m<n， 对于母串X，我们可以暴力找出2m个子序列，然后依次在母串Y中匹配，算法的时间复杂度会达到指数级O(n∗2m)。显然，暴力求解不太适用于此类问题。

动态规划

假设Z=<z1,z2,⋯,zk>是X与Y的LCS， 我们观察到

• 如果xm=yn，则zk=xm=yn，有Zk−1是Xm−1与Yn−1的LCS；
• 如果xm≠yn，则Zk是Xm与Yn−11的LCS，或者是Xm−1与Yn的LCS。

因此，求解LCS的问题则变成递归求解的两个子问题。但是，上述的递归求解的办法中，重复的子问题多，效率低下。改进的办法—— 用空间换时间 ，用数组保存中间状态，方便后面的计算。这就是动态规划（DP)的核心思想了。

DP求解LCS

用二维数组c[i][j]记录串x1x2⋯xi与y1y2⋯yj的LCS长度，则可得到状态转移方程

代码实现

public static int lcs(String str1, String str2) {

    int len1 = str1.length();

    int len2 = str2.length();

    int c[][] = new int[len1+1][len2+1];

    for (int i = 0; i <= len1; i++) {

        for( int j = 0; j <= len2; j++) {

            if(i == 0 || j == 0) {

                c[i][j] = 0;

            } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {

                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;

            } else {

                c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]);

            }

        }

    }

    return c[len1][len2];

}

DP求解最长公共子串

前面提到了子串是一种特殊的子序列，因此同样可以用DP来解决。定义数组的存储含义对于后面推导转移方程显得尤为重要，糟糕的数组定义会导致异常繁杂的转移方程。考虑到子串的连续性，将二维数组c[i,j]c[i,j]用来记录具有这样特点的子串——结尾为母串x1x2⋯xi与y1y2⋯yj的结尾——的长度。

得到转移方程：

最长公共子串的长度为 max(c[i,j]), i∈{1,⋯,m},j∈{1,⋯,n}。

代码实现

public static int lcs(String str1, String str2) {

    int len1 = str1.length();

    int len2 = str2.length();

    int result = 0;     //记录最长公共子串长度

    int c[][] = new int[len1+1][len2+1];

    for (int i = 0; i <= len1; i++) {

        for( int j = 0; j <= len2; j++) {

            if(i == 0 || j == 0) {

                c[i][j] = 0;

            } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {

                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;

                result = max(c[i][j], result);

            } else {

                c[i][j] = 0;

            }

        }

    }

    return result;

}

3. 参考资料

[1] cs2035, Longest Common Subsequence .

[2] 一线码农,  经典算法题每日演练——第四题 最长公共子序列 .

[3] GeeksforGeeks,  Dynamic Programming | Set 29 (Longest Common Substring) .

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