图卷积网络到底怎么做，这是一份极简的Numpy实现

由于图结构非常复杂且信息量很大，因此对于图的机器学习是一项艰巨的任务。本文介绍了如何使用 图卷积网络 （GCN）对图进行深度学习，GCN 是一种可直接作用于图并利用其结构信息的强大神经网络。

本文将介绍 GCN，并使用代码示例说明信息是如何通过 GCN 的隐藏层传播的。读者将看到 GCN 如何聚合来自前一层的信息，以及这种机制如何生成图中节点的有用特征表征。

何为图卷积网络？

GCN 是一类非常强大的用于图数据的神经网络架构。事实上，它非常强大，即使是随机初始化的两层 GCN 也可以生成图网络中节点的有用特征表征。下图展示了这种两层 GCN 生成的每个节点的二维表征。请注意，即使没有经过任何训练，这些二维表征也能够保存图中节点的相对邻近性。

更形式化地说，图卷积网络（GCN）是一个对图数据进行操作的神经网络。给定图 G = (V, E)，GCN 的输入为：

• 一个输入维度为 N × F⁰ 的特征矩阵 X，其中 N 是图网络中的节点数而 F⁰ 是每个节点的输入特征数。

• 一个图结构的维度为 N × N 的矩阵表征，例如图 G 的邻接矩阵 A。[1]

因此，GCN 中的隐藏层可以写作 Hⁱ = f(Hⁱ⁻¹, A))。其中，H⁰ = X，f 是一种传播规则 [1]。每一个隐藏层 Hⁱ 都对应一个维度为 N × Fⁱ 的特征矩阵，该矩阵中的每一行都是某个节点的特征表征。在每一层中，GCN 会使用传播规则 f 将这些信息聚合起来，从而形成下一层的特征。这样一来，在每个连续的层中特征就会变得越来越抽象。在该框架下，GCN 的各种变体只不过是在传播规则 f 的选择上有所不同 [1]。

传播规则的简单示例

下面，本文将给出一个最简单的传播规则示例 [1]：

f(Hⁱ, A) = σ(AHⁱWⁱ)

其中，Wⁱ 是第 i 层的权重矩阵，σ 是非线性激活函数（如 ReLU 函数）。权重矩阵的维度为 Fⁱ × Fⁱ⁺¹，即权重矩阵第二个维度的大小决定了下一层的特征数。如果你对卷积神经网络很熟悉，那么你会发现由于这些权重在图中的节点间共享，该操作与卷积核滤波操作类似。

简化

接下来我们在最简单的层次上研究传播规则。令：

• i = 1，（约束条件 f 是作用于输入特征矩阵的函数）

• σ 为恒等函数

• 选择权重（约束条件： AH⁰W⁰ =AXW⁰ = AX）

换言之，f(X, A) = AX。该传播规则可能过于简单，本文后面会补充缺失的部分。此外，AX 等价于 多层感知机 的输入层。

简单的图示例

我们将使用下面的图作为简单的示例：

一个简单的有向图。

使用 numpy 编写的上述有向图的邻接矩阵表征如下：

A = np.matrix([
    [0, 1, 0, 0],
    [0, 0, 1, 1], 
    [0, 1, 0, 0],
    [1, 0, 1, 0]],
    dtype=float
)

接下来，我们需要抽取出特征！我们基于每个节点的索引为其生成两个整数特征，这简化了本文后面手动验证矩阵运算的过程。

In [3]: X = np.matrix([
            [i, -i]
            for i in range(A.shape[0])
        ], dtype=float)
        X
Out[3]: matrix([
           [ 0.,  0.],
           [ 1., -1.],
           [ 2., -2.],
           [ 3., -3.]
        ])

应用传播规则

我们现在已经建立了一个图，其邻接矩阵为 A，输入特征的集合为 X。下面让我们来看看，当我们对其应用传播规则后会发生什么：

In [6]: A * X
Out[6]: matrix([
            [ 1., -1.],
            [ 5., -5.],
            [ 1., -1.],
            [ 2., -2.]]

每个节点的表征（每一行）现在是其相邻节点特征的和！换句话说，图卷积层将每个节点表示为其相邻节点的聚合。大家可以自己动手验证这个计算过程。请注意，在这种情况下，如果存在从 v 到 n 的边，则节点 n 是节点 v 的邻居。

问题

你可能已经发现了其中的问题：

• 节点的聚合表征不包含它自己的特征！该表征是相邻节点的特征聚合，因此只有具有自环（self-loop）的节点才会在该聚合中包含自己的特征 [1]。

• 度大的节点在其特征表征中将具有较大的值，度小的节点将具有较小的值。这可能会导致梯度消失或梯度爆炸 [1, 2]，也会影响随机梯度下降算法（随机梯度下降算法通常被用于训练这类网络，且对每个输入特征的规模（或值的范围）都很敏感）。

接下来，本文将分别对这些问题展开讨论。

增加自环

为了解决第一个问题，我们可以直接为每个节点添加一个自环 [1, 2]。具体而言，这可以通过在应用传播规则之前将邻接矩阵 A 与单位矩阵 I 相加来实现。

In [4]: I = np.matrix(np.eye(A.shape[0]))
        I
Out[4]: matrix([
            [1., 0., 0., 0.],
            [0., 1., 0., 0.],
            [0., 0., 1., 0.],
            [0., 0., 0., 1.]
        ])
In [8]: A_hat = A + I
        A_hat * X
Out[8]: matrix([
            [ 1., -1.],
            [ 6., -6.],
            [ 3., -3.],
            [ 5., -5.]])

现在，由于每个节点都是自己的邻居，每个节点在对相邻节点的特征求和过程中也会囊括自己的特征！

对特征表征进行归一化处理

通过将邻接矩阵 A 与度矩阵 D 的逆相乘，对其进行变换，从而通过节点的度对特征表征进行归一化。因此，我们简化后的传播规则如下：

f(X, A) = D⁻¹AX

让我们看看发生了什么。我们首先计算出节点的度矩阵。

In [9]: D = np.array(np.sum(A, axis=0))[0]
        D = np.matrix(np.diag(D))
        D
Out[9]: matrix([
            [1., 0., 0., 0.],
            [0., 2., 0., 0.],
            [0., 0., 2., 0.],
            [0., 0., 0., 1.]
        ])

在应用传播规则之前，不妨看看我们对邻接矩阵进行变换后发生了什么。

变换之前

A = np.matrix([
    [0, 1, 0, 0],
    [0, 0, 1, 1], 
    [0, 1, 0, 0],
    [1, 0, 1, 0]],
    dtype=float
)

变换之后

In [10]: D**-1 * A
Out[10]: matrix([
             [0. , 1. , 0. , 0. ],
             [0. , 0. , 0.5, 0.5],
             [0. , 0.5, 0. , 0. ],
             [0.5, 0. , 0.5, 0. ]
])

可以观察到，邻接矩阵中每一行的权重（值）都除以该行对应节点的度。我们接下来对变换后的邻接矩阵应用传播规则：

In [11]: D**-1 * A * X
Out[11]: matrix([
             [ 1. , -1. ],
             [ 2.5, -2.5],
             [ 0.5, -0.5],
             [ 2. , -2. ]
         ])

得到与相邻节点的特征均值对应的节点表征。这是因为（变换后）邻接矩阵的权重对应于相邻节点特征加权和的权重。大家可以自己动手验证这个结果。

整合

现在，我们将把自环和归一化技巧结合起来。此外，我们还将重新介绍之前为了简化讨论而省略的有关权重和 激活函数 的操作。

添加权重

首先要做的是应用权重。请注意，这里的 D_hat 是 A_hat = A + I 对应的度矩阵，即具有强制自环的矩阵 A 的度矩阵。

In [45]: W = np.matrix([
             [1, -1],
             [-1, 1]
         ])
         D_hat**-1 * A_hat * X * W
Out[45]: matrix([
            [ 1., -1.],
            [ 4., -4.],
            [ 2., -2.],
            [ 5., -5.]
        ])

如果我们想要减小输出特征表征的维度，我们可以减小权重矩阵 W 的规模：

In [46]: W = np.matrix([
             [1],
             [-1]
         ])
         D_hat**-1 * A_hat * X * W
Out[46]: matrix([[1.],
        [4.],
        [2.],
        [5.]]
)

添加激活函数

本文选择保持特征表征的维度，并应用 ReLU激活函数。

In [51]: W = np.matrix([
             [1, -1],
             [-1, 1]
         ])
         relu(D_hat**-1 * A_hat * X * W)
Out[51]: matrix([[1., 0.],
        [4., 0.],
        [2., 0.],
        [5., 0.]])

这就是一个带有邻接矩阵、输入特征、权重和激活函数的完整隐藏层！

在真实场景下的应用

最后，我们将图卷积网络应用到一个真实的图上。本文将向读者展示如何生成上文提到的特征表征。

Zachary 空手道俱乐部

Zachary 空手道俱乐部是一个被广泛使用的社交网络，其中的节点代表空手道俱乐部的成员，边代表成员之间的相互关系。当年，Zachary 在研究空手道俱乐部的时候，管理员和教员发生了冲突，导致俱乐部一分为二。下图显示了该网络的图表征，其中的节点标注是根据节点属于俱乐部的哪个部分而得到的，「A」和「I」分别表示属于管理员和教员阵营的节点。

Zachary 空手道俱乐部图网络

构建 GCN

接下来，我们将构建一个图卷积网络。我们并不会真正训练该网络，但是会对其进行简单的随机初始化，从而生成我们在本文开头看到的特征表征。我们将使用 networkx，它有一个可以很容易实现的 Zachary 空手道俱乐部的图表征。然后，我们将计算 A_hat 和 D_hat 矩阵。

from networkx import to_numpy_matrix
zkc = karate_club_graph()
order = sorted(list(zkc.nodes()))
A = to_numpy_matrix(zkc, nodelist=order)
I = np.eye(zkc.number_of_nodes())
A_hat = A + I
D_hat = np.array(np.sum(A_hat, axis=0))[0]
D_hat = np.matrix(np.diag(D_hat))

接下来，我们将随机初始化权重。

W_1 = np.random.normal(
    loc=0, scale=1, size=(zkc.number_of_nodes(), 4))
W_2 = np.random.normal(
    loc=0, size=(W_1.shape[1], 2))

接着，我们会堆叠GCN 层。这里，我们只使用单位矩阵作为特征表征，即每个节点被表示为一个 one-hot 编码的类别变量。

def gcn_layer(A_hat, D_hat, X, W):
    return relu(D_hat**-1 * A_hat * X * W)
H_1 = gcn_layer(A_hat, D_hat, I, W_1)
H_2 = gcn_layer(A_hat, D_hat, H_1, W_2)
output = H_2

我们进一步抽取出特征表征。

feature_representations = {
    node: np.array(output)[node] 
    for node in zkc.nodes()}

你看，这样的特征表征可以很好地将 Zachary 空手道俱乐部的两个社区划分开来。至此，我们甚至都没有开始训练模型！

Zachary 空手道俱乐部图网络中节点的特征表征。

我们应该注意到，在该示例中由于 ReLU 函数的作用，在 x 轴或 y 轴上随机初始化的权重很可能为 0，因此需要反复进行几次随机初始化才能生成上面的图。

结语

本文中对图卷积网络进行了高屋建瓴的介绍，并说明了 GCN 中每一层节点的特征表征是如何基于其相邻节点的聚合构建的。读者可以从中了解到如何使用 numpy 构建这些网络，以及它们的强大：即使是随机初始化的 GCN 也可以将 Zachary 空手道俱乐部网络中的社区分离开来。

参考文献

[1] Blog post on graph convolutional networks by Thomas Kipf.

[2] Paper called Semi-Supervised Classification with Graph Convolutional Networks by Thomas Kipf and Max Welling.

原文链接：https://towardsdatascience.com/how-to-do-deep-learning-on-graphs-with-graph-convolutional-networks-7d2250723780