【算法专栏】-- 谈谈时间复杂度

不管是 Android 代码还是数据结构的设计，都涉及到算法的问题，其中时间复杂度是一个Core，这篇文章我们就一起聊聊时间复杂度的原理！

1、算法效率

虽然随着计算机硬件的迭代更新，运算处理的性能越来越强，但实际上，它也需要根据输入数据的大小和算法效率来消耗一定的处理器资源。要想编写出能高效运行的程序，我们就需要考虑到 “算法的效率” 。

衡量算法的 “好坏” 和 “效率” 主要由以下两个指标（复杂度）来评估：

:sparkles: 时间复杂度（运行时间）： 评估执行程序所需的时间，可以估算出程序对处理器的使用程度。 （本篇博文我们重点探讨时间复杂度）

:sparkles:  空间复杂度（占用空间）： 评估执行程序所需的存储空间，可以估算出程序对计算机内存的使用程度。

2、算法事例

我们通过几个场景引出时间复杂度的概念，以及常见的几种时间复杂度，最后再总结比较它们的优劣！

场景一

生活场景： 你买了一箱“牛栏山二锅头”（16瓶），2天喝一瓶，全部喝完需要几天？

很简单的算术问题，2 ✖ 16 = 32 天，那如果一箱有 n 瓶，则需要 2 ✖ n = 2n 天，如果我们用一个函数来表达这个相对时间，可以记作 T(n) = 2n 。

代码场景：

for(int i = 0; i < n; i++){               // 执行次数是线性的
        System.out.println("喝一瓶酒");
        System.out.println("等待一天");
    }

场景二

生活场景： 你又买了一箱“牛栏山二锅头”（16瓶），决定换个法子喝，5天为一个周期，喝剩下酒的一半，于是第一次喝 8 瓶，第二次喝 4 瓶，那么喝到最后一瓶需要几天？

这个问题其实也很简单，16/2 = 8，8/2 = 4，4/2 = 2，2/2 = 1（还剩一瓶），这不就是对数函数吗？以 2 为底数，16为真数，得到的对数就是我们需要的答案！我们可以简写为：5log16，如果一箱有 n 瓶，则需要 5logn 天，如果我们用一个函数来表达这个相对时间，可以记作 T(n) = 5logn 。

代码场景：

for(int i = 1; i < n; i *= 2){
       System.out.println("喝一瓶酒");
       System.out.println("等待一天");
       System.out.println("等待一天");
       System.out.println("等待一天");
       System.out.println("等待一天");

场景三

生活场景： 酒喝多了，买了一瓶枸杞，3天喝一瓶，请问喝完枸杞要几天？

是的，你没听错，我只是问你喝完枸杞要多久？答案很简单：3天！如果我们用一个函数来表达这个相对时间，可以记作： T(n) = 3 。

代码场景：

void drink(int n){
   System.out.println("喝一瓶枸杞");
   System.out.println("等待一天");
   System.out.println("等待一天");

场景四

生活场景： 酒瘾难戒，又买了一箱好酒（6瓶），但是又不能多喝，于是第一瓶喝了1天，第二瓶喝了2天，第三瓶喝了3天，这样下去全部喝完需要几天？

不用我说，其实这就是一个 1 + 2 + 3 ... + 6 的算术问题，我们知道有个公式：6(6+1)/2 = 21 天，那如果有 n 瓶，就需要 n(n+1)/2 天，如果我们用一个函数来表达这个相对时间，可以记作 T(n) = n²/2 + n/2 。

代码场景：

void drink(int n){
   for(int i = 0; i < n; i++){
       for(int j = 0; j < i; j++){
           System.out.println("等待一天");
       }
       System.out.println("喝一瓶酒");
   }
}

3、渐进时间复杂度

有了基本操作执行次数的函数 T(n)，是否就可以分析和比较一段代码的运行时间了呢？还是有一定的困难。比如算法 A 的相对时间是 T(n) = 100n ，算法 B 的相对时间是 T(n) = 5n² ，这两个到底谁的运行时间更长一些？ 这就要看 n 的取值了！

所以，这时候有了 “渐进时间复杂度” （asymptotic time complectiy）的概念。

我们看看官方的定义：

若存在函数 f(n)，使得当 n 趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称 f(n) 是 T(n) 的同数量级函数。记作 T(n)= O(f(n))，称 O(f(n)) 为算法的 “渐进时间复杂度” ，简称 “时间复杂度” 。渐进时间复杂度用大写 O 来表示，所以也被称为 “大O表示法” 。

4、推导原则

如何推导出时间复杂度呢？有如下几个原则：

:sparkles: 1、如果运行时间是常数量级，用常数 1 表示；

:sparkles: 2、只保留时间函数中的最高阶项；

:sparkles: 3、如果最高阶项存在，则省去最高阶项前面的系数。

5、事例再分析

场景一

相对时间： T(n) = 2n ，根据推导原则三：最高阶数为 2n ，省去系数 2 ，转换后的时间复杂度为： T(n) = O(n) 。

场景二

相对时间： T(n) = 5logn ，根据推导原则三：最高阶数为 5logn ，省去系数 5 ，转换后的时间复杂度为： T(n) = O(logn) 。

场景三

相对时间： T(n) = 3 ，根据推导原则一：只有常数量级 ，用常数 1 表示 ，转换后的时间复杂度为： T(n) = O(1) 。

场景四

相对时间： T(n) = n²/2 + n/2 ，根据推导原则二：最高阶数为 n²/2 ，省去系数 0.5 ，转换后的时间复杂度为： T(n) = O(n²) 。

这四种时间复杂度究竟谁用时更长，谁节省时间呢？ O(1) < O(logn) < O(n) < O(n²)

6、其他常见复杂度

除了常数阶、线性阶、平方阶、对数阶，还有如下时间复杂度：

7、复杂度比较

从上表可以看出，O(n)、O(logn)、O(√n)、O(nlogn) 随着 n 的增加，复杂度提升不大，因此这些复杂度属于效率比较高的算法，反观 O(2ⁿ) 和 O(n!) 当 n 增加到 50 时，复杂度就突破十位数了，这种效率极差的复杂度最好不要出现在程序中，因此在动手编程时要评估所写算法的最坏情况的复杂度。

这些时间复杂度究竟谁用时更长，谁节省时间呢？

O(1) < O(logn) < O(√n) < O(n) < O(nlogn) < O(n²) < O(n³) < O(2ⁿ) < O(n!)

8、再举一例

:confused:【疑问】:confused:：现在计算机硬件性能越来越强，算法真的体验那么明显吗？算法时间复杂度真的需要那么重视吗？

我相信你肯定存在这样的疑问，虽然我们知道算法这个东西是很重要的，但是我们平常可能接触不多，很多时候计算机的性能已经能满足我们的需求，但是我还是要举个例子让你更直观的看到不同算法之间的巨大差异！

:boom: 算法 A 的相对时间规模是 T(n) = 100n，时间复杂度是 O(n)，算法 A 运行在老旧电脑上。

:boom: 算法 B 的相对时间规模是 T(n) = 5n²，时间复杂度是 O(n²)，算法 B 运行在某台超级计算机上，运行速度是老旧电脑的 100 倍。

当随着 n 的增大，我们通过表格看看 T(n) 的变化：

从表格中可以看出，当 n 的值很小的时候，算法 A 的运行用时要远大于算法 B；当 n 的值达到 1000 左右，算法 A 和算法 B 的运行时间已经接近；当 n 的值达到 2000 左右，算法 A 和 算法 B 的运行时间一致；当 n 的值越来越大，达到十万、百万时，算法 A 的优势开始显现，算法 B 则越来越慢，差距越来越明显。这就是不同时间复杂度带来的差距，即便你的计算机很牛X！

参考博客

一套图 搞懂“时间复杂度”