能量视角下的GAN模型：GAN＝“挖坑”＋“跳坑”

在这个系列中，我们尝试从能量的视角理解 GAN。我们会发现这个视角如此美妙和直观，甚至让人拍案叫绝。

本视角直接受启发于 Bengio 团队的新作 Maximum Entropy Generators for Energy-Based Models  [1]，这篇文章前几天出现在 arXiv 上。

当然，能量模型与 GAN 的联系由来已久，并不是这篇文章的独创，只不过这篇文章做得仔细和完善一些。另外本文还补充了自己的一些理解和思考上去，力求更为易懂和完整。

作为第一篇文章，我们先来给出一个直白的类比推导： GAN 实际上就是一场前仆后继（前挖后跳？）的“挖坑”与“跳坑”之旅。

▲   “看那挖坑的人，有啥不一样～”

总的来说， 本文大致内容如下：

1. 给出了 GAN/WGAN 的清晰直观的能量图像；

2. 讨论了判别器（能量函数）的训练情况和策略；

3. 指出了梯度惩罚一个非常漂亮而直观的能量解释；

4. 讨论了 GAN 中优化器的选择问题。

前“挖”后“跳”

在这部分中，我们以尽量通俗的比喻来解释什么是能量视角下的 GAN。

首先我们有一批样本 x1, x2, … , xn，我们希望能找到一个生成模型，这个模型有能力造出一批新的样本 ，我们希望这批新样本跟原样本很相似。怎么造呢？很简单，分两步走。 

“挖坑”

第一步，挖坑：我们挖很多坑，这些坑的分布可以用一个能量函数 U(x) 描述，然后我们要把真实样本 x1, x2, … , xn 都放在坑底，然后把造出来的假样本 放到“坑腰”：

▲   GAN第一步：“挖坑”

▲   然后我们把真假样本放到适当的位置

“跳坑”

第二步，跳坑：把 U(x) 固定住，也就是不要再动坑了，然后把假样本 松开，显然它们就慢慢从滚到坑底了，而坑底代表着真实样本，所以 都变得很像真样本了：

▲   GAN第二步：“跳坑”

这便是 GAN 的工作流程。

把GAN写下来

注意，上述两步不仅仅是简单的比喻，而是 GAN 的完整描述了。根据上述两个步骤，我们甚至可以直接把 GAN 训练公式写出来。

判别器

首先看“挖坑”，我们说了要将真样本放到坑底，假样本放到坑腰，以便后面假样本可以滚到坑底，这意味着假样本的“平均海拔”要高于真样本的“平均海拔”，也就是说：

尽量小，这里我们用 p(x) 表示真实样本的分布，q(x) 表示假样本的分布。假样本通过 x=G(z) 生成，而 z∼q(z) 是标准正态分布。

梯度惩罚

另外，我们还说真样本要在坑底，用数学的话说，坑底就是一个极小值点，导数等于 0 才好，即要满足 是最理想的，换成优化目标的话，那就是 越小越好。两者综合起来，我们就得到 U 的优化目标：

注：以往对于梯度惩罚，我们总会有两个困惑：1）梯度惩罚究竟是以 0 为中心好还是以 1 为中心好；2）梯度惩罚要对真样本、假样本还是真假插值样本进行？

现在，基于能量视角，我们可以得到“对真样本进行以 0 为中心的梯度惩罚”比较好，因为这意味着（整体上）要把真样本放在极小值点处。

至此，在能量视角下，我们对梯度惩罚有了一个非常直观的回答。

生成器

然后看“跳坑”，也就是坑挖好了， U 固定了，我们让假样本滚到坑底，也就是让 U(x) 下降，滚到最近的一个坑，所以：

可以看到，判别器实际上就是在“造势”，而生成器就是让势能最低，这便是能量 GAN 的主要思想。

交替训练

如果真实情况的坑都像上面的图那么简单，那么可能就只需要两步就能训练完一个生成模型了。

但是真实情况下的坑可能是很复杂的，比如下图中假样本 慢慢下滑，并不一定能到达 x1 的坑，而是到达一个中间的坑，这个中间的坑并非代表真样本，可能仅仅是“次真”的样本，所以我们需要不断地改进假样本，也需要不断地把坑修正过来（比如争取能下一步把阻碍前进的峰“削掉”）。

这也就是说，我们需要反复、交替地执行 (1)、(3) 两步。

▲   真实情况下坑的分布可能更复杂

坑的学问

看，头脑中想象着几个坑，我们就可以把 GAN 的完整框架导出来了，而且还是先进的 WGAN-GP 的升级版：以 0 为中心的梯度惩罚。 GAN 不过是一场坑的学问。 

对这个GAN的进一步讨论，可以参考我之前写的文章 WGAN-div：默默无闻的WGAN填坑者 或者论文 Which Training Methods for GANs do actually Converge?  [2]。 

进一步思考

上述图景还能帮助我们回答很多问题。比如判别器能不能不要梯度惩罚？为什么 GAN 的训练、尤其是生成器的训练多数都不用带动量的优化器，或者就算用带动量的优化器，也要把动量调小一点？还有 mode collapse（模式坍缩）是怎么发生呢？

Hinge Loss

梯度惩罚在理论上很漂亮，但是它确实太慢，所以从实践角度来看，其实能不用梯度惩罚的话最好不用梯度惩罚。但是如果不用梯度惩罚，直接最小化式 (1)，很容易数值不稳定。

这不难理解，因为没有约束情况下，很容易对于真样本有 U(x)→−∞ ，对于假样本有 U(x)→+∞ ，也就是判别器优化得太猛了，差距拉得太大（无穷大）了。

那么一个很自然的想法是，分别给真假样本分别设置一个阈值，U(x) 的优化超过这个阈值就不要再优化了，比如：

这样一来，对于 x∼p(x)，如果 U(x)<−1，则 max(0,1+U(x))=0，对于 x∼q(x)，U(x)>1，则 max(0,1−U(x))=0，这两种情况下都不会在优化 U(x) 了，也就是说对于真样本 U(x) 不用太小，对于假样本 U(x) 不用太大，从而防止了 U(x) 过度优化了。

这个方案就是 SNGAN、SAGAN、BigGAN 都使用的 hinge loss 了。

当然，如果 U(x) 本身就是非负的（比如 EBGAN 中用自编码器的 MSE 作为 U(x)），那么可以稍微修改一下式 (4) ：

其中 m>0。

优化器

至于优化器的选择，其实从“跳坑”那张图我们就可以看出答案来。

带动量的优化器有利于我们更快地找到更好的极小值点，但是对于 GAN 来说，其实我们不需要跑到更好的极小值点，我们只需要跑到最近的极小值点，如果一旦跳出了最近的极小值点，跑到更低的极小值点，那么可能就丧失了多样性，甚至出现 mode collapse。

比如下图中的 ，不带动量的优化算法能让 跑到 x2 处就停下来，如果带动量的话，那么可能越过 x2 甚至跑到 x1 去了。尽管 x1 也是真样本，但是这样一来 同时向 x1 靠拢，也许没有假样本能生成 x2 了，从而丧失了多样性。

▲   带动量与不带动量的优化轨迹比较：不带动量时，假样本只需要落到最近一个坑，如果带动量的话，可能越过最近的坑，到达更远的坑去，导致假样本聚集在某些真样本附近，丧失多样性。

所以，在 GAN 的优化器中，动量不能太大，太大反而有可能丧失生成样本的多样性，或者造成其他的不稳定情况。

Mode Collapse

什么是 mode collapse？为什么会发生 mode collapse？还是可以用这个图景来轻松解释。

前面我们画的图把假样本画得很合理，但是如果一旦初始化不好、优化不够合理等原因，使得同时聚在个别坑附近，比如：

▲   Mode Collapse图示

这时候按照上述过程优化，所有假样本都都往 xn 奔了，所以模型只能生成单一（个别）样式的样本，这就是 mode collapse。

简单来看，mode collapse 是因为假样本们太集中，不够“均匀”，所以我们可以往生成器那里加一个项，让假样本有均匀的趋势。这个项就是假样本的熵 H(X)=H(G(Z))，我们希望假样本的熵越大越好，这意味着越混乱、越均匀，所以生成器的目标可以改为：

这样理论上就能解决 mode collapse 的问题。至于 H(X) 怎么算，我们后面会详细谈到。

能量视角之美

对于 GAN 来说，最通俗易懂的视角当属“造假者-鉴别者”相互竞争的类比，这个视角直接导致了标准的 GAN。但是，这个通俗的类比无法进一步延伸到 WGAN 乃至梯度惩罚等正则项的理解。

相比之下，能量视角相当灵活，它甚至能让我们直观地理解 WGAN、梯度惩罚等内容，这些内容可以说是目前 GAN 领域最“先进”的部分成果了。虽然看起来能量视角比“造假者-鉴别者”形式上复杂一些，但其实它的物理意义也相当清晰，稍加思考，我们会感觉到它其实更为有趣、更具有启发性，有种“越嚼越有味”的感觉。

参考文献

[1] Rithesh Kumar, Anirudh Goyal, Aaron Courville, Yoshua Bengio, “Maximum Entropy Generators for Energy-Based Models”, arXiv preprint arXiv:1901.08508, 2019.

[2] Lars Mescheder, Andreas Geiger, Sebastian Nowozin, “Which Training Methods for GANs do actually Converge?”, ICML 2018.