内容简介:简单易懂地讲解深度学习(入门系列之五)
5.1 网之初,感知机
我们知道,《三字经》里开篇第一句就是:“人之初,性本善”。那么对于神经网络来说,这句话就要改为:“网之初,感知机”。感知机( Perceptrons ),基本上来说,是一切神经网络学习的起点。
很多有关神经网络学习(包括深度学习)的教程,在提及感知机时,都知道绕不过,但也仅仅一带而过。学过编程的同学都知道,不论是哪门什么语言,那个神一般存在的第一个程序——“ Hello World ”,对初学者有多么重要,可以说,它就是很多人“光荣与梦想”开始的地方。
而感知机学习,就是神经网络学习的“ Hello World ”,所以对于初学者来说,也值得我们细细玩味。因此,下面我们就给予详细讲解。
5.2 感性认识“感知机”
在第 3 小节中,我们已经提到,所谓的感知机,其实就是一个由两层神经元构成的网络结构,它在输入层接收外界的输入,通过激活函数(含阈值)的变换,把信号传送至输出层,因此它也称之为 “ 阈值逻辑单元( threshold logic unit ) ” 。
麻雀虽小,五脏俱全。感知机虽然简单,但已初具神经网络的必备要素。在前面我们也提到,所有“有监督”的学习,在某种程度上,都是分类( classification )学习算法。而感知机就是有监督的学习,所以,它也是一种分类算法。下面我们就列举一个区分“西瓜和香蕉”的经典案例,来看看感知机是如何工作的 。
为了简单起见,我们就假设西瓜和香蕉都仅有两个特征( feature ):形状和颜色,其它特征暂不考虑。这两个特征都是基于视觉刺激而得到的。
图 5-1 感知机学习算法
假设特征 x 1 代表输入颜色,特征 x 2 代表形状,权重 w 1 和 w 2 默认值都为 1 ,为了进一步简化,我们把阈值 θ (亦有教程称之为偏值—— bias )设置为 0 。为了标识方便,我们将感知器输出为“ 1 ”,代表判定为“西瓜”,而输出为“ 0 ”,代表判定为“香蕉”。当然了,如果有更多类别的物品,我们就用更多的数字来标记即可。
为了方便机器计算,我们对颜色和形状这两个特征,给予不同的值,以示区别。比如,颜色这个特征为绿色时, x 1 取值为 1 ,而当颜色为黄色时, x 1 取值为 -1 ;类似地,如果形状这个特征为圆形, x 2 取值为 1 ,反之,形状为弯曲状时, x 2 取值为 -1 ,如表 5-1 所示。
表 5-1 西瓜与香蕉的特征表
品类 颜色 (x1) 形状(x2)
西瓜 1(绿色) 1(圆形)
香蕉 -1(黄色) -1(弯形)
这样一来,可以很容易依据图 5-1 所示的公式,对于西瓜、香蕉做鉴定(即输出函数 f 的值),其结果分别如图 5-2 ( a )所示:
(b) “圆滑”激活函数按需输出
图 5-2 感知器的输出
从图 5-2 ( a )所示的输出可以看到,对西瓜的判定输出结果是 2 ,而香蕉的为 -2 。而我们先前预定的规则是:函数输出为 1 ,则判定为西瓜,输出为 0 ,则判定为香蕉,那么如何将 2 或 -2 这样的分类结果,变换成预期的分类表达呢,这个时候,就需要激活函数上场了!
这里,我们使用了最为简单的阶跃函数( step function )。在阶跃函数中,输出规则非常简单:当 x >0 时, f ( x ) 输出为 1 ,否则输出 0 。通过激活函数的“润滑”之后,结果就变成我们想要的样子(如图 5-2-b 所示)。就这样,我们就搞定了西瓜和香蕉的判定。
这里需要说明的是,对象的不同特征(比如水果的颜色或形状等),只要用不同数值区分表示开来即可,具体用什么样的值,其实并无大碍。
但你或许会疑惑,这里的阈值( threshold ) θ 和两个连接权值 w 1 和 w 2 ,为啥就这么巧分别就是 0 、 1 、 1 呢?如果取其它数值,会有不同的判定结果吗?
这是个好问题。事实上,我们并不能一开始就知道这几个参数的取值,而是一点点地非常苦逼地“折腾 试错 ”( Try-Error )出来的,而这里的“折腾试错”其实就是感知机的学习过程!
下面,我们就聊聊最简单的神经网络——感知机它是如何学习的?
5.3 感知机是如何学习的?
中国有句古话:“知错能改,善莫大焉。”说得就是“犯了错误而能改正,没有比这更好的事了”。
放到机器学习领域,这句话显然属于“监督学习”的范畴。因为“知错”,就表明它事先已有了事物的评判标准,如果你的行为不符合(或说偏离)这些标准,那么就要根据“偏离的程度”,来“改善”自己的行为。
下面,我们就根据这个思想,来制定感知机的学习规则。从前面讨论中我们已经知道,感知机学习属于“有监督学习”(即分类算法)。感知机是有明确的目的导向的,这有点类似于“不管白猫黑猫,抓住老鼠就是好猫”,不管是什么样的学习规则,能达到良好的分类目的,就是好学习规则。
我们知道,对象本身的特征值,一旦确定下来就不会变化。因此, 所谓神经网络的学习规则,就是调整权值和阈值的规则( 这个结论对于深度学习而言,依然是适用的) 。
假设我们的规则是这样的:
其中 ep = y - y’ , y 为期望输出, y’ 是实际输出,所以,具体说来, ep 是二者的差值。在后面,读者朋友可以看到,这个“落差”就是整个网络中权值和阈值的调整动力。因为,很显然,如果 ep 为 0 ,那么新、旧权值和阈值都是一样的,网络就稳定可用了!
下面,我们就用上面的学习规则来模拟感知机的学习过程。假设 w 1 和 w 2 初始值分别为 1 和 -1 (注意:已经不再是 1 和 1 了!),阈值 θ 依然为 0 (事实上为其它初值,也是可行的),那么我们遵循如下步骤,即可完成判定西瓜的学习:
(1)计算判定西瓜的输出值 f :
将这个输出值带入如图 5-2-b 所示的阶跃函数中,可得 y=0 。
(2)显然,针对西瓜,我们期望输出的正确判定是: y =1 ,而现在实际输出的值 y’=0 ,也就是说,实际输出有误。这个时候,就需要纠偏。而纠偏,就需要利用公式( 5.1 )所示的学习规则。于是,我们需要计算出来误差 ep 来。
(3)计算误差 ep :
现在 ,我们把 ep 的值带入公式( 5.1 )所示的规则中,更新网络的权值和阈值,即:
(3)那么,在新一轮的网络参数(即权值、阈值)重新学习获得后,我们再次输入西瓜的属性值,来测试一下,看看它能否正确判定:
再经过激活函数(阶跃函数)处理后,输出结果 y =1 , 很高兴, 判定正确!
( 4 )我们知道,一个对象的类别判定正确,不算好,“大家好,才算真的好!”于是,在判定西瓜正确后,我们还要尝试在这样的网络参数下,看看香蕉的判定是否也是正确的:
类似地,经过激活函数(阶跃函数)处理后,输出结果 y =0 ,判定也正确的! BINGO !误差 ep 为 0 ,打完收工,学习结束!
在这个案例里,仅仅经过一轮的“试错法( trial-by-error )”,我们就搞定了参数的训练,但你可别高兴太早,谁叫这是一个“ Hello World ”版本的神经网络呢!事实上,在有监督的学习规则中,我们需要根据输出与期望值的“落差”,经过多轮重试,反复调整神经网络的权值,直至这个“落差”收敛到能够忍受的范围之内,训练才告结束。
在上面,我们仅仅给出了感知机学习的一个感性例子,下面我们要给出感知机学习的形式化的描述。
5.4 感知机的训练法则
通过前面的分析,我们可以看到,感知机是很容易实现逻辑上的“与( AND )”、“或( OR )”、“非( NOT )”等原子布尔函数( Primitive Boolean function ),如图 5-3 所示(睿智如你,你肯定发现了,这里的确没有“异或”,这个坑回头我们在后面再填上) 。
图 5-3 感知机实现逻辑运算
下面举例说明。首先,我们注意到 ,假设 f 是如图 5-3 所示的阶跃函数,通过合适的权值和阈值,即可完成常见的逻辑运算(既然是逻辑运算, x 1 和 x 2 都只能取值为 0 或 1 ),例如:
( 1 )“与 ( x 1 ∧ x 2 ) ”:当权值 w 1 =w 2 =1 ,阈值 θ =2 时,有:
此时,仅当 x 1 = x 2 =1 时, y =1 ,而在其它情况下(如 x 1 和 x 2 无论哪一个取 0 ), y =0 。这样,我们在感知机中,就完成了逻辑“与”的运算。
( 2 )类似地,“或 ( x 1 ∨ x 2 ) ”:当 w 1 =w 2 =1 ,阈值 θ =0.5 时,有:
此时,当 x 1 或 x 2 中有一个为“ 1 ”时,那么 y =1 ,而在其它情况下(即 x 1 和 x 2 均都取“ 0 ”), y =0 。这样,我们就完成了逻辑“或”的运算。
( 3 )在类似地,“非 ( ┐ x 1 ) ”:当 w 1 =0.6 , w 2 =,0 ,阈值 θ =0.5 时,有:
此时,当 x 1 为“ 1 ”时, y =0 ,当 x 1 为“ 0 ”时, y =1 。这样,就完成了逻辑“非”的运算(当然,如果以 x 2 做“非”运算,也是类似操作,这里不再赘述)。
更一般地,当我们给定训练数据,神经网络中的参数(权值 w i 和阈值 θ )都可以通过不断地“纠偏”学习得到。为了方便起见,我们把阈值 θ 视为 w 0 ,而其权值设为固定值“ -1 ”,那么阈值 θ 就可视为一个“哑节点( dummy node )”。这样一来,权重和阈值的学习可以“一统天下”称为“权重”的学习。
如此一来,感知机的学习规则就可以更加简单明了,对于训练样例( x , y )(需要注意的是,这里粗体字 x 表示训练集合),若当前感知机的实际输出 y’ ,假设它不符合预期,存在“落差”,那么感知机的权值依据如公式( 5.2 )规则调整:
其中, η ∈ (0,1) 称为学习率 (learning rate) ,公式( 5.2 )其实是公式( 5.1 )的一般化描述。由公式( 5.2 )可知,如果( x , y )预测正确,那么可知 y = y ’ ,感知机的权值就不会发生任何变化,否则就会根据“落差”的程度做对应调整。
这里需要注意的是,学习率 η 的作用是“缓和”每一步权值调整强度的。它本身的大小,也是比较难以确定的。如果 η 太小,网络调参的次数就太多,从而收敛很慢。如果 η 太大,“步子大了,容易扯着蛋”,从而错过了网络的参数的最优解。因此,合适的 η 大小,在某种程度上,还依赖于人工经验(如图 5-4 所示)。
图 5-4 学习率:“步子大了,容易扯着蛋”
5.5 感知机的表征能力
如果识别对象 x 有 n 个特征,那么感知机可以看做,在 n 维实例空间(即点空间)中的超平面决策面,以向量的模式写出来就是 如图 5-5 所示。
图5-5 感知机的超平面
这样一来的话,对于超平面一侧的实例 ,感知机输出为 1 (或称判定为某一类),而对于超平面的另外一侧实例 ,感知机输出为 0 (判定为另外一类)。
由于感知机只有输出层神经元可以进行激活函数的处理,也就是说它只拥有单层的功能元神经元( functional neuron ),因此它的学习能力是相对有限的。比如说在 5.4 小节中,原子布尔函数中的“与、或、非”等问题都是线性可分的( linearly separable )的问题。
前面的章节中,我们提到的那位人工智能泰斗明斯基( Minsky )已经证明,若两类模式是线性可分的,那么一定存在一个线性超平面可以将它们区分开来,如图 5-6(a)-(c) 所示。也就是说,这样的感知机,其学习过程一定会稳定(即收敛)下来,神经网络的权值可以学习得到。
但是对于线性不可分原子布尔函数(如“异或”操作),就不存在简单地线性超平面将其区分开来(如图 5-6-(d) )。在这种情况下,感知机的学习过程就会发生“震荡( fluctuation )”,权值向量就难以求得合适解。这里稍微为非专业读者解释一下什么异或?所谓异或( XOR ),就是当且仅当输入值 x 1 和 x 2 不相等,则输出为 1 。反之,输出为 0 。你可以监督粗暴地把“异或”理解为:男欢女爱输出为 1 ,搞基都是没有结果的(输出为 0 )!
图 5-6 线性可分的“与、或、非”和线性不可分的“异或”
一个寄以厚望的感知机,居然连简单的“异或”功能都实现不了,这点让明斯基颇为失望。于是,在 1969 年,他和同事 Papert 合作写下《感知机》一书 [3] ,直接把“感知机”判了个 n 年有期徒刑( n 在当时为不可知变量)。
这么一说,好像明斯基是一位法官一样。但其实呢,他更像《白雪公主》里的那位继母王后。这是因为就是他,给那个叫“人工智能”的“白雪公主”喂了一颗“毒苹果”(《感知机》一书),让这位“白雪公主”一睡就是 20 年( n =20 )。
我们知道,绝大多数童话都有个“ happy ending (完美结局)”,《白雪公主》也不例外。现在我们好奇的是,在人工智能领域,谁又是那位“吻醒”白雪公主的“王子”呢?
欲知后事如何,且听我们下回分解。
5.6小结
在本小节,我们首先用西瓜和香蕉的判定案例,感性地谈了谈感知机的工作流程。然后,我们又给出了感知机的形式化学习规则以及感知机的表征能力。容易发现,感知机连常见的逻辑操作“异或”都难以实现,这一功能缺陷,直接让人工智能领域大神明斯基抓住了“小辫子”,然后就把“人工智能”送进了长达二十年的“冬天”。
但英国浪漫主义诗人雪莱说了:“冬天来了,春天还会远吗?”
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