正则化与模型选择

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正则化与模型选择

在选择模型时，如果我们在一个模型中有k个参数，那么问题就是这k个参数应该是什么值？哪些值可以给出最佳偏差-方差权衡呢。其中，我们从有限集合的模型 中来选取最佳模型。在集合中，我们有不同的模型，或者不同的参数。

1交叉验证(Cross Validation)

想象一下，给定数据集S与一系列的模型，我们很容易想到通过以下方式来选择模型：

1 从S集合训练每个模型 ，并得到相应的假设

2 选取最小训练误差的模型

这个想法不能达到目的因为当我们选择的多项数阶数越高时，模型会更好的拟合训练数据集。然而，这个模型将会在新的数据集中有很高的统一化误差，也就是高方差。

在这个情况中， 保留交叉验证(hold-out cross validation) 将会做得更好：

1 以70%和30%的比例将S随机分成训练数据集S _tr 和验证数据集S _cv

2 在S _tr  在中训练每一个M _i  以学习假设 h _i

3 选择拥有 最小经验误差(empirical error) 的模型 S _cv ，我们将它标记为

通过以上几步，我们试图通过测试模型在验证集上的表现以估计真实统一化误差。在第3步中，在选择最优模型后，我们可以用整个数据集来重复训练模型来得到最佳假设模型。然而，即使我们可以这样做，我们仍然选择的是基于70%数据集来训练模型。当数据少的时候这是很糟糕的。

因此，我们引出 K折交叉验证(K-fold cross validation) ：

1 随机将S分成k个分离的子集，每个子集有m/k个样本，记为

2 对于每个模型M _i  ，我们排除一个子集并标记为j，然后我们用其余的样本训练模型以得到H _ij  。我们在S _j  上测试模型，并且得到 。我们这样遍历每一个j。最后，我们获取统一化误差除以j的平均。

3 我们选择有最小平均统一误差的模型

通常我们取k为10。虽然这样计算上很复杂，但是它会给我们很好的结果。如果数据很少，我们也可能设k=m。在这种情况下，我们每一次除去一个样本，这种方法叫 除一交叉验证(leave-one-out cross validation) 。

2特征选择(Feature Selection)

如果我们有n个特征，m个样本，其中 (VC 维度is O(n)),我们可能会过度拟合。在这种情况下，你想选择最重要的特征来训练。在暴力算法中，我们会有用2 ⁿ 个特征组合，我们会有2 ⁿ 个可能的模型，这处理起来会很费力。因此我们可以选择用 向前搜索算法(forward search algorithm) :

1 我们初始化为

2 重复：(a)for 如果, 让 并且使用交叉验证算法来估计 . (b)设置 作为(a)中的最佳特征子集

3 从以上选择最佳特征子集。

你可以通过设置目标特征数量来终止循环。相反地，在特征选择中我们也可以使用 向后搜索算法(backward search) ，这于去除算法类似。然而，因为这两种算法的时间复杂度都是O(n^2) ，它们训练起来都会比较慢。

然而，我们也可以使用 过滤特征选择(filter feature selection) 。它的概念是对于标签y，我们会根据每一个特征提供了多少信息来给它打分，然后挑选出最佳者。

一个容易想到的方法是根据每个x _i  和标签y的相关性打分。实际中，我们将分数设为 相互信息(mutual information) :

其中我们假设每个特征和标签都是二元值，并且求和覆盖整个变量域。每一个可能性都会从训练数据集中计算。为了进一步理解，我们知道：

其中KL是 相对熵(Kullback-Leibler divergence) 。它计算了竖线两边变量分布的差异。如果x _i  和 y 是独立的，那么 KL 是0。这代表着特征和标签直接没有任何关系。然而如果MI很高，那么这个特征和标签有强相关性。

3 贝叶斯统计与正则化(Bayesian Statistics and regularization)

在前面一章我们讨论了 最大似然法(maximum likelihood (ML) algorithm) 是如何训练模型参数的：

在这种情况下，我们视 为未知参数，它已经存在但是未知。我们的任务是找到未知参数并计算它的值。

同时 也是随机的，因此我们设置一个先验值，称它为 先验分布(prior distribution) 。基于先验分布，我们可以用S数据集来计算后验分布：

使用后验分布来预测推断，我们有：

现在，我们可以计算条件期望值y。然而计算后验值的完全解是很难的，因为分母中的积分很难得到完全解。因此，我们用另一种方式来计算，我们找到一个后验值的点估计，在这个点上我们获得后验值的最佳 。 最大后验MAP(maximum a posteriori) 可以用以下方法计算：

通常来讲，先验分布有0均值，单位方差。这会使MAP 比ML 更不容易过度拟合。