内容简介:FreeCodeCamp 中级算法题 - 斐波那契数列奇数项求和
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整体上,思路可以有以下几种:
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建立三个变量,分别为当前位置的前两个数以及当前的总和。以当前值大于
num
为跳出条件,循环并动态地给这三个变量赋值,最后返回总和 -
根据
num
建立一个斐波那契数组(可以用循环写,也可以用递归)- 遍历这个数组,在遍历过程中判断奇偶,求和
-
直接用
filter
方法过滤掉偶数,然后求数组元素总和
-
建立三个变量,分别为当前位置的前两个数以及当前的总和。以当前值大于
- 两种思路都不太难。可以先尝试一下
第一种思路
思路提示
- 由于斐波那契数列的计算方式是,当前的值等于前一个数与再之前一个数的和,因此我们要设置两个初始值。分别代表第一个元素与第二个元素。如果只设置一个,那么第二个元素是没法计算出来的
-
循环方面,不管用
for
写还是用while
,都要注意初始值与边界条件的选择。以下只给出while
的写法 -
还有就是对
num
的特殊值判断。可以在外面直接用if
去判断,当然也可以在计算逻辑中处理。对于num
为0
的情况,显然结果是0
。对于num
为1
的情况,显然结果是1
代码
function sumFibs(num){ // num 为 0 时,结果应为 0 if (num === 0) { return 0; } var former = 1; var beforeFormer = 1; // 若 num 大于等于 1,那么以和为 2 作为初始值 var sum = 2; while (former + beforeFormer <= num) { var current = former + beforeFormer; if (current % 2 === 1) { sum += current; } beforeFormer = former; former = current; } return sum; }
解释
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首先,设置了
beforeFormer
为数列的第一个值,former
为数列的第二个值,均为1
。也可以说,beforeFormer
为当前值的前两个数,former
为当前值的前一个数 -
至于
sum
值的初始值,这里我是按照sum
为前两个数的和来定义的。也就是说,一切后续计算都从数列中的第三个数开始。之所以可以这么写,是因为不论传入的num
是1
还是2
,都应该返回这两个数之和,也就是2
-
但当传入的
num
为0
的时候,就应该得到0
了。这需要在一开始就处理 -
跳出条件就是当前值大于
num
。由于计算过程中,当前值是根据之前的两个值来计算的,因此只要把这两个变量加起来,就可以得到当前值 -
如果当前值是奇数,那我们就把它加给
sum
。但无论当前值是否为奇数,我们都要更新beforeFormer
和former
-
这个循环不可能成为无限循环。因为我们在循环结束前修改了
beforeFormer
与former
这两个值。由于current
一直在增大,因此former
和beforeFormer
也一直在增加
第二种思路 - 生成数组
思路提示
-
与第一种思路类似,我们可以先生成不大于
num
的斐波那契数组,然后在用reduce
求和的过程中判断奇偶
代码 - 求和中判断
function sumFibs(num){ if (num === 0) { return 0; } // 当然这里也可以定义成 [1, 1],然后 current 定义成 2 var fibsArr = [1]; var current = 1; while(current <= num) { fibsArr.push(current); // 通过最后两位数字来求下一位 var lastTwo = fibsArr.slice(-2); current = lastTwo[0] + lastTwo[1]; // 至于是否需要保存进 fibsArr,要先判断是否小于等于 num } return fibsArr.reduce(function(prev, next){ if (next % 2 === 1) { return prev + next; } return prev; }, 0); }
第三种思路 - 递归
思路提示
- 题目中说到,”此题不能用递归来实现”,个人觉得是不够准确的
-
这道题当然可以用递归,只是要注意优化。否则,
num
较大时确实会造成栈溢出 - 先来简单说一下,栈溢出是怎么回事,这样我们才能知道该如何避免
栈溢出的产生
关于 Call Stack
-
递归的写法注定了它在执行过程中会存储很多 “临时” 的值。这些值不会像我们定义变量那样,放到某个作用域下,更不会像全局变量那样存到
window
里面,而是放到 “调用栈” (Call Stack) 里面 - 如果你打开浏览器的调试工具(此处以 Chrome 为例),点开 Sources Tab,你会看到右边的面板里是有一个东西叫 Call Stack 的
-
其实你肯定是用到过 Call Stack 的,只是没有注意到。比如
setTimeout(foo, 0)
方法就会把参数中的函数放到调用栈尾部。浏览器读到这一行,就会说:好,我先继续往后执行其他代码,你这个foo
函数先等一等,我一会儿再来执行你 -
这也就很好解释,就算
setTimeout
的第二个参数传入的是 0,也会让这个函数在其他内容执行完成后再执行。印象中有一道常见的面试题和这个有关一个简单的例子
可能,还是上一段代码大家自己玩儿一下比较容易理解
function a(){ console.log('a'); setTimeout(c, 0); b(); } function b(){ console.log('b'); debugger; } function c(){ console.log('c'); debugger; } a();
-
放到 console 中执行,就会自动进入 Sources 选项卡的断点模式。这就是关键字
debugger
的作用 -
先输出
a
应该没有问题。但尽管a
函数中,在b()
前有一个setTimeout(c, 0)
,仿佛c
是会在b()
之前执行的,但在b
里面的断点,我们可以看到之前执行了a
,但 Call Stack 里并没有c
-
这时候按下 Resume script execution 按钮 (快捷键 F8),走到下一个断点,Call Stack 里才会出现
c
。这也就表明,a
和b
都执行完了,才会执行c
- 你可以在断点中清晰地看到那时候的函数执行顺序。如果没有断点,那么这些都是一瞬间发生的
递归的执行
现在我们回到斐波那契数列,看一看递归究竟是如何执行的,以获取斐波那契数列第 n 位为例 (注:如无声明,以下均用 F 来代替这里的 fibonacci 方法):
function fibonacci(n){ if (n < 2){ return 1; }else{ debugger; return fibonacci(n - 2) + fibonacci(n - 1); } }
-
在调试这段代码的时候需要注意,最好点击左边第三个按钮 Step into next function call (快捷键 F11)进行调试。你可以在 Watch 那一栏加上个
n
,这样方便观察。或者,你也可以留意一下左边面板上,fibonacci(n) {
旁边的n
,这个n
表示 当前传入 的实际参数 -
比如,我们执行
F(3)
,你可以按 F11,对照着下文看,它的过程是这样的:-
n < 2
不成立,因此执行else
的部分return F(n - 2) + F(n - 1)
,即为F(1) + F(2)
-
执行
F(1)
,此时n < 2
成立,因此 这一步 返回1
-
执行
F(2)
,此时n < 2
不成立,执行else
部分,即F(0) + F(1)
-
执行
F(0)
,此时n < 2
成立,因此 这一步 返回1
。注意观察,此时右边的 Call Stack 里面有 3 个fibonacci
,你可以分别点一下他们,它们的n
分别为 3,2 和 0 -
执行
F(1)
,此时n < 2
成立,因此 这一步 返回1
。此时右边 Call Stack 里面也有 3 个fibonacci
,它们的n
分别为 3,2 和 1
-
执行
-
得出
F(0) + F(1)
为2
-
执行
-
得出
F(1) + F(2)
为3
-
这就是我们执行 fibonacci(3)
的全过程。接下来,我们试试这样做:
var count = 0; function fibonacci(n){ count += 1; if (n < 2){ return 1; } else { return fibonacci(n - 2) + fibonacci(n - 1); } } fibonacci(5)
没错,这段代码作用就是记录下来 fibonacci
调用了多少次。如果 n
为 5
,那么 count
为 8
。但 n
为 10
的时候, count
就达到了 89
。简直惊悚
更可怕的在于,对于比较大的 n
,如果你也按照上面的方式列出来执行过程,就会发现层级非常深。再换句话说,Call Stack 也就会有一长串的调用
对于这一种现象,我们可以通过一个叫做 “时间复杂度” 的概念去描述。假设我们用 for
循环遍历长度为 n
的数组,不难看出执行要花费的时间与数组长度成正比。忽略掉他们之间的具体关系,我们记为 O(n)
上面写的这个函数,执行需要花费的时间显然与调用次数成正比。不管 n
具体是几, F(n)
都是需要去调用两次 fibonacci
的,分别是 F(n - 2)
和 F(n - 1)
,我们称之为 “递归入口”。对于每一个入口,他们最深都可以走到第 n
层。有的朋友可能会说,那如果 n
是 0
, 1
和 2
呢?那就没这些事儿了啊。确实,但在广义的讨论中,如果 n
足够大,我们就可以忽略掉 n < 2
对执行时间的影响
所以这里的时间复杂度究竟是什么?这样看可能清晰一些:
F(n) = F(n - 2) + F(n - 1) | | / \ / \ F(n-4) F(n-3) F(n-3) F(n-2)
第一行我们调用了两次 F
,把这两个 F
分解,得到四个 F
调用。继续分解,显然是 8 个,然后就是 16,32 … 所以,这里的时间复杂度是 O(2^n)
。如果你熟悉函数图像,就会明白指数级的增长是多可怕,它比 O(n^2)
要增长更快。比指数级增长再快的,就是 O(n!)
了
这就是递归导致内存溢出的根本原因
优化
-
你会发现,上面写的递归会有很多的重复调用。比如,对于
F(3)
,F(1)
被调用了两次。对于更大的n
,可以预见地,F(1)
和F(0)
会被调用更多次 -
如果你多想一步,这些调用的根源在哪里呢?试想一下:
-
对于
n = 3
来说,会执行F(1)
和F(2)
。在F(2)
里面会再调用F(1)
-
对于
n = 4
来说,会执行F(2)
和F(3)
。F(3)
的调用中也会再去调用F(2)
- ……
-
推广到
n
,对于n
来说,会执行F(n - 2)
和F(n - 1)
。而F(n - 2)
的调用中会再去调用F(n - 1)
-
对于
关键逻辑
-
为了避免这种情况的发生,如果我们可以 “暂时存储” 之前的计算结果,或者说把当前的结果传给下一次调用,那就可以完美解决问题。比如,对于求
F(4)
,如果我们在求出F(3)
的时候可以做这两件事:-
给
F(3)
加一下F(2)
并传给下一次F(4)
的调用 -
把这个
F(3)
值也传给下一次F(4)
调用
-
给
-
那么到
F(4)
执行的时候,通过第一步我们可以直接在F(4)
调用时得到当前的结果;通过第二步,我们可以计算出该传给下一次F(5)
的结果
代码
-
想要实现这个,最简单的方式就是给函数添加几个参数,一个表示当前值,称为
sum
;一个表示上一个值,称为prev
。这是函数的定义 -
我们还应该先考虑如何让它结束。显然,这个求第
n
个数的递归是通过n
来决定的。所以调用一次就让它执行一次n - 1
,然后我们根据n
来判断是否该结束就行 -
再考虑一下函数的跳出。如果当前值就是我们想要的,直接返回
sum
即可 -
上面说到的,
sum
是当前值,prev
是上一个值,是针对 “本次” 来说的。比如,我们调用fibonacci(3)
,这时候sum
应为2
,prev
应为1
。对于下一次计算fibonacci(4)
,我们需要让它在执行的时候sum
为3
,prev
为2
。这样我们才能通过sum
得到当前值 -
递归的调用,其实就是设置下一次该是什么。如果你再多分析几个例子,就会明白,其实我们需要做的就是在参数
sum
传入sum + prev
,同时参数prev
传入当前的sum
用于下一次调用。这就实现了我们所说的 “暂时存储”
function fibonacci(n, sum, prev){ // 若调用是没有传入 sum 和 prev,则设定初始值 sum = sum || 1; prev = prev || 0; if (n === 0) { return prev; } if (n === 1) { return sum; } return fibonacci(n - 1, sum + prev, sum) }
请自己比较一下上面的两种写法,只要理解了这种处理思路,那么后面的代码才有可能看懂
性能比较
-
不得不说,用循环还真的是最快的,因为只需要一个
while
循环即可解决,复杂度是O(n)
- 请参考这个链接:jsperf 性能比较
代码 - 不会造成栈溢出的递归解法
-
回到题目中,我的做法是在递归过程里判断奇偶。另外,为了方便,调用的时候直接传入了
curr
、prev
和sum
的初始值,就不需要再在getSum
中处理了 -
另外,由于外面已经给了
sumFibs
这个函数,只有一个参数。所以,我们才需要在里面再写一个函数。sumFibs
的返回值也只要是getSum(0, 1, 0)
就可以了,因为这是在调用getSum
方法
function sumFibs(num){ function getSum(curr, prev, sum){ // curr 为当前值,prev 为上一个 // sum 为目前的和 if (curr > num) { return sum; } if (curr % 2 === 1) { // 如果当前值为奇数,就把当前值加给 sum sum += curr; } // 传入 curr + prev 作为下一次的 curr // curr 作为下一次的 prev return getSum(curr + prev, curr, sum); } return getSum(0, 1, 0); }
以上所述就是小编给大家介绍的《FreeCodeCamp 中级算法题 - 斐波那契数列奇数项求和》,希望对大家有所帮助,如果大家有任何疑问请给我留言,小编会及时回复大家的。在此也非常感谢大家对 码农网 的支持!
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