Python数据科学：正则化方法

本文主要介绍，Python数据科学：正则化方法。正则化方法的出现，通过收缩方法(正则化方法)进行回归。

正则化方法主要包括岭回归与LASSO回归。

一、岭回归

岭回归通过人为加入的惩罚项(约束项)，对回归系数进行估计，为有偏估计。

有偏估计，允许估计有不大的偏度，以换取估计的误差显著减小，并在其残差平方和为最小的原则下估计回归系数。

通常岭回归方程中的R²会稍低于线性回归分析，但回归系数的显著性往往明显高于普通线性回归。

这里不对相应的理论知识进行细说，说实话小F也是晕乎乎...

所以选择先调包，看看效果是啥样的。

使用机器学习框架scikit-learn进行岭回归参数的选择(正则化系数)。

数据是书中的数据，已上传网盘，公众号回复「正则化」，即可获取。

scikit-learn当中的模型不会默认对数据标准化，必须手动执行。

标准化后的数据可以消除量纲，让每个变量的系数在一定意义下进行直接比较。

import numpy as np 
import pandas as pd 
import matplotlib.pyplot as plt 
from sklearn.linear_model import Ridge 
from sklearn.linear_model import RidgeCV 
from sklearn.preprocessing import StandardScaler 
 
# 消除pandas输出省略号情况及换行情况 
pd.set_option('display.max_columns', 500) 
pd.set_option('display.width', 1000) 
# 读取数据,skipinitialspace:忽略分隔符后的空白 
df = pd.read_csv('creditcard_exp.csv', skipinitialspace=True) 
# 获取信用卡有支出的行数据 
exp = df[df['avg_exp'].notnull()].copy().iloc[:, 2:].drop('age2', axis=1) 
# 获取信用卡无支出的行数据,NaN 
exp_new = df[df['avg_exp'].isnull()].copy().iloc[:, 2:].drop('age2', axis=1) 
 
# 选择4个连续变量,分别是年龄 收入 当地小区价格 当地人均收入 
continuous_xcols = ['Age', 'Income', 'dist_home_val', 'dist_avg_income'] 
# 标准化 
scaler = StandardScaler() 
# 解释变量,二维数组 
X = scaler.fit_transform(exp[continuous_xcols]) 
# 被解释变量,一维数组 
y = exp['avg_exp_ln'] 
 
# 生成正则化系数 
alphas = np.logspace(-2, 3, 100, base=10) 
# 使用不同的正则化系数对模型进行交叉验证 
rcv = RidgeCV(alphas=alphas, store_cv_values=True) 
# 使用数据集训练(fit) 
rcv.fit(X, y) 
# 输出最优参数,正则化系数及相应模型R² 
print('The best alpha is {}'.format(rcv.alpha_)) 
print('The r-square is {}'.format(rcv.score(X, y))) 
 
# 训练好后使用transform进行数据转换 
X_new = scaler.transform(exp_new[continuous_xcols]) 
# 使用模型对数据做预测 
print(np.exp(rcv.predict(X_new)[:5])) 

输出结果如下。

最优正则化系数为0.29，模型R²为0.475。

并使用最优正则化系数下的岭回归模型预测数据。

对不同正则化系数下模型的均方误差进行可视化。

# 正则化系数搜索空间当中每轮交叉验证的结果,模型的均方误差 
cv_values = rcv.cv_values_ 
n_fold, n_alphas = cv_values.shape 
# 模型均方误差上下波动值 
cv_mean = cv_values.mean(axis=0) 
cv_std = cv_values.std(axis=0) 
ub = cv_mean + cv_std / np.sqrt(n_fold) 
lb = cv_mean - cv_std / np.sqrt(n_fold) 
# 绘制折线图,x轴是指数型形式 
plt.semilogx(alphas, cv_mean, label='mean_score') 
# y1(lb)和y2(ub)之间进行填充 
plt.fill_between(alphas, lb, ub, alpha=0.2) 
plt.xlabel('$\\alpha$') 
plt.ylabel('mean squared errors') 
plt.legend(loc='best') 
plt.show() 

输出结果如下。

发现正则化系数在40或50以下时，模型的均方误差相差不大。

当系数超过该阈值时，均方误差则快速上升。

所以正则化系数只要小于40或50，模型的拟合效果应该都不错。

• 正则化系数越小则模型拟合越好，但过拟合情况也越容易发生。
• 正则化系数越大，则越不容易过拟合，但模型的偏差越大。

RidgeCV通过交叉验证，可以快速返回“最优”的正则化系数。

当这只是基于数值计算的，可能最终结果并不符合业务逻辑。

比如本次模型的变量系数。

# 输出模型的变量系数 
print(rcv.coef_) 
# 输出结果 
[ 0.03321449 -0.30956185  0.05551208  0.59067449] 

发现收入的系数为负值，这肯定是不合理的。

下面通过岭迹图进行进一步分析。

岭迹图是在不同正则化系数下变量系数的轨迹。

ridge = Ridge() 
coefs = [] 
# 不同正则化系数下的变量系数 
for alpha in alphas: 
    ridge.set_params(alpha=alpha) 
    ridge.fit(X, y) 
    coefs.append(ridge.coef_) 
 
# 绘制变量系数随正则化系数变化的轨迹 
ax = plt.gca() 
ax.plot(alphas, coefs) 
ax.set_xscale('log') 
plt.xlabel('alpha') 
plt.ylabel('weights') 
plt.title('Ridge coefficients as a function of the regularization') 
plt.axis('tight') 
plt.show() 

输出结果。

• ①有两个变量的系数在不同的正则化系数下都很接近于0，那么可以选择删除。
• ②正则化系数越大，对变量系数的惩罚越大，所有变量的系数都趋近于0。
• ③有一个变量的系数变化非常大(有正有负)，说明该系数的方差大，存在共线性的情况。

综合模型均方误差和岭迹图的情况，选取正则化系数为40。

• 如果大于40，则模型均方误差增大，模型拟合效果变差。
• 如果小于40，则变量系数不稳定，共线性没有得到抑制。

那么就来看看，当正则化系数为40时，模型变量系数的情况。

ridge.set_params(alpha=40) 
ridge.fit(X, y) 
# 输出变量系数 
print(ridge.coef_) 
# 输出模型R² 
print(ridge.score(X, y)) 
# 预测数据 
print(np.exp(ridge.predict(X_new)[:5])) 
# 输出结果 
[0.03293109 0.09907747 0.04976305 0.12101456] 
0.4255673043353688 
[934.79025945 727.11042209 703.88143602 759.04342764 709.54172995] 

发现变量系数都为正值，符合业务直觉。

收入和当地人均收入这两个变量可以保留，另外两个删除。

二、LASSO回归

LASSO回归，在令回归系数的绝对值之和小于一个常数的约束条件下，使残差平方和最小化。

从而能够产生某些严格等于0的回归系数，得到解释力较强的模型。

相比岭回归，LASSO回归还可以进行变量筛选。

使用LassoCV交叉验证确定最优的正则化系数。

# 生成正则化系数 
lasso_alphas = np.logspace(-3, 0, 100, base=10) 
# 使用不同的正则化系数对模型进行交叉验证 
lcv = LassoCV(alphas=lasso_alphas, cv=10) 
# 使用数据集训练(fit) 
lcv.fit(X, y) 
# 输出最优参数,正则化系数及相应模型R² 
print('The best alpha is {}'.format(lcv.alpha_)) 
print('The r-square is {}'.format(lcv.score(X, y))) 
 
# 输出结果 
The best alpha is 0.04037017258596556 
The r-square is 0.4426451069862233 

发现最优的正则化系数为0.04，模型R²为0.443。

接下来获取不同正则化系数下的变量系数轨迹。

lasso = Lasso() 
lasso_coefs = [] 
# 不同正则化系数下的变量系数 
for alpha in lasso_alphas: 
    lasso.set_params(alpha=alpha) 
    lasso.fit(X, y) 
    lasso_coefs.append(lasso.coef_) 
 
# 绘制变量系数随正则化系数变化的轨迹 
ax = plt.gca() 
ax.plot(lasso_alphas, lasso_coefs) 
ax.set_xscale('log') 
plt.xlabel('alpha') 
plt.ylabel('weights') 
plt.title('Lasso coefficients as a function of the regularization') 
plt.axis('tight') 
plt.show() 

输出结果。

发现随着正则化系数的增大，所有变量的系数会在某一阈值突降为0。

其中缘由与LASSO回归方程有关，不细说。

输出LASSO回归的变量系数。

print(lcv.coef_) 
# 输出结果 
[0.         0.         0.02789489 0.26549855] 

发现前两个变量被筛选掉了，即年龄和收入。

为啥和岭回归的结果不一样呢???

三、总结

坑留的有点多，待小F慢慢填...