目标函数的经典优化算法介绍

本文使用通俗的语言和形象的图示，介绍了随机梯度下降算法和它的三种经典变体，并提供了完整的实现代码。

目标函数是衡量预测值和实际值的相似程度的指标。通常，我们希望得到使代价尽可能小的参数集，而这意味着你的算法性能不错。函数的最小可能代价被称为最小值。有时一个代价函数可以有多个局部极小值。幸运的是，在参数空间的维数非常高的情况下，阻碍目标函数充分优化的局部最小值并不经常出现，因为这意味着对象函数相对于每个参数在训练过程的早期都是凹的。但这并非常态，通常我们得到的是许多鞍点，而不是真正的最小值。

找到生成最小值的一组参数的算法被称为优化算法。我们发现随着算法复杂度的增加，则算法倾向于更高效地逼近最小值。我们将在这篇文章中讨论以下算法：

• 随机梯度下降法

• 动量算法

• RMSProp

• Adam 算法

随机梯度下降法

我的「Logistic 回归深入浅出」的文章里介绍了一个随机梯度下降如何运作的例子。如果你查阅随机梯度下降法的资料（SGD），通常会遇到如下的等式：

资料上会说，θ是你试图找到最小化 J 的参数，这里的 J 称为目标函数。最后，我们将学习率记为α。通常要反复应用上述等式，直到达到你所需的代价值。

这是什么意思？想一想，假如你坐在一座山顶上的雪橇上，望着另一座山丘。如果你滑下山丘，你会自然地往下移动，直到你最终停在山脚。如果第一座小山足够陡峭，你可能会开始滑上另一座山的一侧。从这个比喻中你可以想到：

学习率越高意味着摩擦力越小，因此雪橇会像在冰上一样沿着山坡下滑。低的学习率意味着摩擦力高，所以雪橇会像在地毯上一样，难以滑下。我们如何用上面的方程来模拟这种效果？

随机梯度下降法：

1. 初始化参数（θ，学习率）

2. 计算每个θ处的梯度

3. 更新参数

4. 重复步骤 2 和 3，直到代价值稳定

让我们用一个简单的例子来看看它是如何运作的！

在这里我们看到一个目标函数和它的导数（梯度）：

我们可以用下面的代码生成函数和梯度值/30 的图：

import numpy as np

def minimaFunction(theta):
    return np.cos(3*np.pi*theta)/theta

def minimaFunctionDerivative(theta):
    const1 = 3*np.pi
    const2 = const1*theta
    return -(const1*np.sin(const2)/theta)-np.cos(const2)/theta**2

theta = np.arange(.1,2.1,.01)
Jtheta = minimaFunction(theta)
dJtheta = minimaFunctionDerivative(theta)

plt.plot(theta,Jtheta,label = r'$J(\theta)$')
plt.plot(theta,dJtheta/30,label = r'$dJ(\theta)/30$')
plt.legend()
axes = plt.gca()
#axes.set_ylim([-10,10])

plt.ylabel(r'$J(\theta),dJ(\theta)/30$')
plt.xlabel(r'$\theta$')
plt.title(r'$J(\theta),dJ(\theta)/30 $ vs $\theta$')
plt.show()

上图中有两个细节值得注意。首先，注意这个代价函数有几个极小值（大约在 0.25、1.0 和 1.7 附近取得）。其次，注意在最小值处的导数在零附近的曲线走向。这个点就是我们所需要的新参。

我们可以在下面的代码中看到上面四个步骤的实现。它还会生成一个视频，显示每个步骤的θ和梯度的值。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

def optimize(iterations, oF, dOF,params,learningRate):
    """
    computes the optimal value of params for a given objective function and its derivative
    Arguments:
        - iteratoins - the number of iterations required to optimize the objective function
        - oF - the objective function
        - dOF - the derivative function of the objective function
        - params - the parameters of the function to optimize
        - learningRate - the learning rate
    Return:
        - oParams - the list of optimized parameters at each step of iteration
    """
    oParams = [params]
    #The iteration loop
    for i in range(iterations):
        # Compute the derivative of the parameters
        dParams = dOF(params)
        # Compute the update
        params = params-learningRate*dParams

        # app end the new parameters
        oParams.append(params)    

    return np.array(oParams)

def minimaFunction(theta):
    return np.cos(3*np.pi*theta)/theta

def minimaFunctionDerivative(theta):
    const1 = 3*np.pi
    const2 = const1*theta
    return -(const1*np.sin(const2)/theta)-np.cos(const2)/theta**2

theta = .6
iterations=45
learningRate = .0007
optimizedParameters = optimize(iterations,\
                               minimaFunction,\
                               minimaFunctionDerivative,\
                               theta,\
                               learningRate)

这似乎运作得很好！您应该注意到，如果θ的初始值较大，则优化算法将在某一个局部极小处结束。然而，如上所述，在极高维度空间中这种可能性并不大，因为它要求所有参数同时满足凹函数。

你可能会想，「如果我们的学习率太大，会发生什么？」。如果步长过大，则算法可能永远不会找到如下的动画所示的最佳值。监控代价函数并确保它单调递减，这一点很重要。如果没有单调递减，可能需要降低学习率。

SGD 也适用于多变量参数空间的情况。我们可以将二维函数绘制成等高线图。在这里你可以看到 SGD 对一个不对称的碗形函数同样有效。

import numpy as np
import matplotlib.mlab as mlab
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats
import matplotlib.animation as animation

def minimaFunction(params):
    #Bivariate Normal function
    X,Y = params

    sigma11,sigma12,mu11,mu12 = (3.0,.5,0.0,0.0)

    Z1 = mlab.bivariate_normal(X, Y, sigma11,sigma12,mu11,mu12)

    Z = Z1

    return -40*Z

def minimaFunctionDerivative(params):
    # Derivative of the bivariate normal function
    X,Y = params

    sigma11,sigma12,mu11,mu12 = (3.0,.5,0.0,0.0)

    dZ1X = -scipy.stats.norm.pdf(X, mu11, sigma11)*(mu11 - X)/sigma11**2
    dZ1Y = -scipy.stats.norm.pdf(Y, mu12, sigma12)*(mu12 - Y)/sigma12**2

    return (dZ1X,dZ1Y)

def optimize(iterations, oF, dOF,params,learningRate,beta):
    """
    computes the optimal value of params for a given objective function and its derivative
    Arguments:
        - iteratoins - the number of iterations required to optimize the objective function
        - oF - the objective function
        - dOF - the derivative function of the objective function
        - params - the parameters of the function to optimize
        - learningRate - the learning rate
- beta - The weighted moving average parameter
    Return:
        - oParams - the list of optimized parameters at each step of iteration
    """
    oParams = [params]
    vdw     = (0.0,0.0)
    #The iteration loop
    for i in range(iterations):
        # Compute the derivative of the parameters
        dParams = dOF(params)

        #SGD in this line Goes through each parameter and applies parameter = parameter -learningrate*dParameter
        params = tuple([par-learningRate*dPar for dPar,par in zip(dParams,params)])

        # append the new parameters
        oParams.append(params)    

    return oParams

iterations=100
learningRate = 1
beta = .9
x,y = 4.0,1.0
params = (x,y)
optimizedParameters = optimize(iterations,\
                               minimaFunction,\
                               minimaFunctionDerivative,\
                               params,\
                               learningRate,\
                               beta)

动量 SGD

注意，传统 SGD 没有解决所有问题！通常，用户想要使用非常大的学习速率来快速学习感兴趣的参数。不幸的是，当代价函数波动较大时，这可能导致不稳定。你可以看到，在前面的视频中，由于缺乏水平方向上的最小值，y 参数方向的抖动形式。动量算法试图使用过去的梯度预测学习率来解决这个问题。通常，使用动量的 SGD 通过以下公式更新参数：

γ 和 ν 值允许用户对 dJ(θ) 的前一个值和当前值进行加权来确定新的θ值。人们通常选择γ和ν的值来创建指数加权移动平均值，如下所示：

β参数的最佳选择是 0.9。选择一个等于 1-1/t 的β值可以让用户更愿意考虑νdw 的最新 t 值。这种简单的改变可以使优化过程产生显著的结果！我们现在可以使用更大的学习率，并在尽可能短的时间内收敛！

import numpy as np
import matplotlib.mlab as mlab
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats
import matplotlib.animation as animation

def minimaFunction(params):
    #Bivariate Normal function
    X,Y = params

    sigma11,sigma12,mu11,mu12 = (3.0,.5,0.0,0.0)

    Z1 = mlab.bivariate_normal(X, Y, sigma11,sigma12,mu11,mu12)

    Z = Z1

    return -40*Z

def minimaFunctionDerivative(params):
    # Derivative of the bivariate normal function
    X,Y = params

    sigma11,sigma12,mu11,mu12 = (3.0,.5,0.0,0.0)

    dZ1X = -scipy.stats.norm.pdf(X, mu11, sigma11)*(mu11 - X)/sigma11**2
    dZ1Y = -scipy.stats.norm.pdf(Y, mu12, sigma12)*(mu12 - Y)/sigma12**2

    return (dZ1X,dZ1Y)

def optimize(iterations, oF, dOF,params,learningRate,beta):
    """
    computes the optimal value of params for a given objective function and its derivative
    Arguments:
        - iteratoins - the number of iterations required to optimize the objective function
        - oF - the objective function
        - dOF - the derivative function of the objective function
        - params - the parameters of the function to optimize
        - learningRate - the learning rate
- beta - The weighted moving average parameter for momentum
    Return:
        - oParams - the list of optimized parameters at each step of iteration
    """
    oParams = [params]
    vdw     = (0.0,0.0)
    #The iteration loop
    for i in range(iterations):
        # Compute the derivative of the parameters
        dParams = dOF(params)

        # Compute the momentum of each gradient vdw = vdw*beta+(1.0+beta)*dPar
        vdw = tuple([vDW*beta+(1.0-beta)*dPar for dPar,vDW in zip(dParams,vdw)])

        #SGD in this line Goes through each parameter and applies parameter = parameter -learningrate*dParameter
        params = tuple([par-learningRate*dPar for dPar,par in zip(vdw,params)])

        # append the new parameters
        oParams.append(params)    

    return oParams

iterations=100
learningRate = 5.3
beta = .9
x,y = 4.0,1.0
params = (x,y)
optimizedParameters = optimize(iterations,\
                               minimaFunction,\
                               minimaFunctionDerivative,\
                               params,\
                               learningRate,\
                               beta)

RMSProp

像工程中的其它事物一样，我们一直在努力做得更好。RMS prop 试图通过观察关于每个参数的函数梯度的相对大小，来改善动量函数。因此，我们可以取每个梯度平方的加权指数移动平均值，并按比例归一化梯度下降函数。具有较大梯度的参数的 sdw 值将变得比具有较小梯度的参数大得多，从而使代价函数平滑下降到最小值。可以在下面的等式中看到：

请注意，这里的 epsilon 是为数值稳定性而添加的，可以取 10e-7。这是为什么昵？

import numpy as np
import matplotlib.mlab as mlab
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats
import matplotlib.animation as animation

def minimaFunction(params):
    #Bivariate Normal function
    X,Y = params

    sigma11,sigma12,mu11,mu12 = (3.0,.5,0.0,0.0)

    Z1 = mlab.bivariate_normal(X, Y, sigma11,sigma12,mu11,mu12)

    Z = Z1

    return -40*Z

def minimaFunctionDerivative(params):
    # Derivative of the bivariate normal function
    X,Y = params

    sigma11,sigma12,mu11,mu12 = (3.0,.5,0.0,0.0)

    dZ1X = -scipy.stats.norm.pdf(X, mu11, sigma11)*(mu11 - X)/sigma11**2
    dZ1Y = -scipy.stats.norm.pdf(Y, mu12, sigma12)*(mu12 - Y)/sigma12**2

    return (dZ1X,dZ1Y)

def optimize(iterations, oF, dOF,params,learningRate,beta):
    """
    computes the optimal value of params for a given objective function and its derivative
    Arguments:
        - iteratoins - the number of iterations required to optimize the objective function
        - oF - the objective function
        - dOF - the derivative function of the objective function
        - params - the parameters of the function to optimize
        - learningRate - the learning rate
- beta - The weighted moving average parameter for RMSProp
    Return:
        - oParams - the list of optimized parameters at each step of iteration
    """
    oParams = [params]
    sdw     = (0.0,0.0)
    eps = 10**(-7)
    #The iteration loop
    for i in range(iterations):
        # Compute the derivative of the parameters
        dParams = dOF(params)

        # Compute the momentum of each gradient sdw = sdw*beta+(1.0+beta)*dPar^2
        sdw = tuple([sDW*beta+(1.0-beta)*dPar**2 for dPar,sDW in zip(dParams,sdw)])

        #SGD in this line Goes through each parameter and applies parameter = parameter -learningrate*dParameter
        params = tuple([par-learningRate*dPar/((sDW**.5)+eps) for sDW,par,dPar in zip(sdw,params,dParams)])

        # append the new parameters
        oParams.append(params)    

    return oParams

iterations=10
learningRate = .3
beta = .9
x,y = 5.0,1.0
params = (x,y)
optimizedParameters = optimize(iterations,\
                               minimaFunction,\
                               minimaFunctionDerivative,\
                               params,\
                               learningRate,\
                               beta)

Adam 算法

Adam 算法将动量和 RMSProp 的概念结合成一种算法，以获得两全其美的效果。公式如下：

import numpy as np
import matplotlib.mlab as mlab
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats
import matplotlib.animation as animation

def minimaFunction(params):
    #Bivariate Normal function
    X,Y = params

    sigma11,sigma12,mu11,mu12 = (3.0,.5,0.0,0.0)

    Z1 = mlab.bivariate_normal(X, Y, sigma11,sigma12,mu11,mu12)

    Z = Z1

    return -40*Z

def minimaFunctionDerivative(params):
    # Derivative of the bivariate normal function
    X,Y = params

    sigma11,sigma12,mu11,mu12 = (3.0,.5,0.0,0.0)

    dZ1X = -scipy.stats.norm.pdf(X, mu11, sigma11)*(mu11 - X)/sigma11**2
    dZ1Y = -scipy.stats.norm.pdf(Y, mu12, sigma12)*(mu12 - Y)/sigma12**2

    return (dZ1X,dZ1Y)

def optimize(iterations, oF, dOF,params,learningRate,beta1,beta2):
    """
    computes the optimal value of params for a given objective function and its derivative
    Arguments:
        - iteratoins - the number of iterations required to optimize the objective function
        - oF - the objective function
        - dOF - the derivative function of the objective function
        - params - the parameters of the function to optimize
        - learningRate - the learning rate
- beta1 - The weighted moving average parameter for momentum component of ADAM
- beta2 - The weighted moving average parameter for RMSProp component of ADAM
    Return:
        - oParams - the list of optimized parameters at each step of iteration
    """
    oParams = [params]
    vdw     = (0.0,0.0)
    sdw     = (0.0,0.0)
    vdwCorr = (0.0,0.0)
    sdwCorr = (0.0,0.0)

    eps = 10**(-7)
    #The iteration loop
    for i in range(iterations):
        # Compute the derivative of the parameters
        dParams = dOF(params)

        # Compute the momentum of each gradient vdw = vdw*beta+(1.0+beta)*dPar
        vdw     = tuple([vDW*beta1+(1.0-beta1)*dPar for dPar,vDW in zip(dParams,vdw)])

        # Compute the rms of each gradient sdw = sdw*beta+(1.0+beta)*dPar^2
        sdw     = tuple([sDW*beta2+(1.0-beta2)*dPar**2.0 for dPar,sDW in zip(dParams,sdw)])
        # Compute the weight boosting for sdw and vdw
        vdwCorr = tuple([vDW/(1.0-beta1**(i+1.0)) for vDW in vdw])
        sdwCorr = tuple([sDW/(1.0-beta2**(i+1.0)) for sDW in sdw])

        #SGD in this line Goes through each parameter and applies parameter = parameter -learningrate*dParameter
        params = tuple([par-learningRate*vdwCORR/((sdwCORR**.5)+eps) for sdwCORR,vdwCORR,par in zip(vdwCorr,sdwCorr,params)])

        # append the new parameters
        oParams.append(params)    

    return oParams

iterations=100
learningRate = .1
beta1 = .9
beta2 = .999
x,y = 5.0,1.0
params = (x,y)
optimizedParameters = optimize(iterations,\
                               minimaFunction,\
                               minimaFunctionDerivative,\
                               params,\
                               learningRate,\
                               beta1,\
                               beta2)

Adam 算法可能是目前深度学习中使用最广泛的优化算法，适用于多种应用。Adam 计算了一个 νdw^corr 的值，用于加快指数加权移动平均值的变化。它将通过增加它们的值来对它们进行标准化，与当前的迭代次数成反比。使用 Adam 时有一些很好的初始值可供尝试。它最好以 0.9 的 β_1 和 0.999 的 β_2 开头。

总结

优化目标函数的算法有相当多的选择。在上述示例中，我们发现各种方法的收敛速度越来越快：

– SGD: 100 次迭代

– SGD+Momentum: 50 次迭代

– RMSProp: 10 次迭代

– ADAM: 5 次迭代

原文链接：https://3dbabove.com/2017/11/14/optimizationalgorithms/ GitHub 链接：https://github.com/ManuelGonzalezRivero/3dbabove 转自公众号：机器之心

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