从动力学角度看优化算法（二）：自适应学习率算法

在 《从动力学角度看优化算法（一）：从SGD到动量加速》 一文中，我们提出SGD优化算法跟常微分方程（ODE）的数值解法其实是对应的，由此还可以很自然地分析SGD算法的收敛性质、动量加速的原理等等内容。

在这篇文章中，我们继续沿着这个思路，去理解优化算法中的自适应学习率算法。

首先，我们看一个非常经典的自适应学习率优化算法：RMSprop。RMSprop虽然不是最早提出的自适应学习率的优化算法，但是它却是相当实用的一种，它是诸如Adam这样的更综合的算法的基石，通过它我们可以观察自适应学习率的优化算法是怎么做的。

一般的梯度下降是这样的：

$$\begin{equation}\boldsymbol{\theta}_{n+1}=\boldsymbol{\theta}_{n} - \gamma \nabla_{\boldsymbol{\theta}} L(\boldsymbol{\theta}_{n})\end{equation}$$

很明显，这里的$\gamma$是一个超参数，便是学习率，它可能需要在不同阶段做不同的调整。

而RMSprop则是

$$\begin{equation}\begin{aligned}\boldsymbol{g}_{n+1} =& \nabla_{\boldsymbol{\theta}} L(\boldsymbol{\theta}_{n})\\

\boldsymbol{G}_{n+1}=&\lambda \boldsymbol{G}_{n} + (1 - \lambda) \boldsymbol{g}_{n+1}\otimes \boldsymbol{g}_{n+1}\\

\boldsymbol{\theta}_{n+1}=&\boldsymbol{\theta}_{n} - \frac{\tilde{\gamma}}{\sqrt{\boldsymbol{G}_{n+1} + \epsilon}}\otimes \boldsymbol{g}_{n+1}

\end{aligned}\end{equation}$$

对比朴素的SGD，可以发现RMSprop在对$\boldsymbol{\theta}$的更新中，将原来是标量的学习率$\gamma$，换成了一个向量

$$\begin{equation}\boldsymbol{\gamma}=\frac{\tilde{\gamma}}{\sqrt{\boldsymbol{G}_{n+1} + \epsilon}}\end{equation}$$

如果把这个向量也看成是学习率，那么RMSprop就是找到了一个方案，能够给参数的每个分量分配不同的学习率。

这个学习率的调节，是通过因子$\frac{1}{\sqrt{\boldsymbol{G}_{n+1} + \epsilon}}$来实现的，而$\boldsymbol{G}_{n+1}$则是梯度平方的滑动平均。本质上来说，“滑动平均”平均只是让训练过程更加平稳一些，它不是起到调节作用的原因，起作用的主要部分是“梯度”，也就是说，可以用梯度大小来调节学习率。

为什么用梯度大小可以来调节学习率呢？其实这个思想非常朴素～

回顾：极小值点和ODE

话不多说，简单起见，我们先从一个一维例子出发：假设我们要求$L(\theta)$的一个极小值点，那么我们引入一个虚拟的时间参数$t$，转化为ODE

$$\begin{equation}\frac{d\theta}{dt}=\dot{\theta} = - L'(\theta)\end{equation}$$

不难判断，$L(\theta)$的一个极小值点就是这个方程的稳定的不动点，我们从任意的$\theta_0$出发，数值求解这个ODE，可以期望它最终会收敛于这个不动点，从而也就得到了一个极小值点。

最简单的欧拉解法，就是用$\frac{\theta_{t+\gamma}-\theta_t}{\gamma}$去近似$\dot{\theta}$，从而得到

$$\begin{equation}\frac{\theta_{t+\gamma}-\theta_t}{\gamma} = - L'(\theta_t)\end{equation}$$

也就是

$$\begin{equation}\theta_{t+\gamma} = \theta_t - \gamma L'(\theta_t)\end{equation}$$

这就是梯度下降法了，$\theta_{t+\gamma}$相当于$\theta_{n+1}$，而$\theta_t$相当于$\theta_n$，也就是每步前进$\gamma$那么多。

问题是，$\gamma$选多少为好呢？当然，从“用$\frac{\theta_{t+\gamma}-\theta_t}{\gamma}$去近似$\dot{\theta}$”这个角度来看，当然是$\gamma$越小越精确，但是$\gamma$越小，需要的迭代次数就越多，也就是说计算量就越大，所以越小越好是很理想，但是不现实。

所以，最恰当的方案是：每一步够用就好。可是我们怎么知道够用了没有？

因为我们是用$\frac{\theta_{t+\gamma}-\theta_t}{\gamma}$去近似$\dot{\theta}$的，那么就必须分析近似程度：根据泰勒级数，我们有

$$\begin{equation}\theta_{t+\gamma} = \theta_t + \gamma \dot{\theta}_n + \mathscr{O}(\gamma^2)\end{equation}$$

在我们这里有$\dot{\theta} = - L'(\theta)$，那么我们有

$$\begin{equation}\theta_{t+\gamma} = \theta_t - \gamma L'(\theta_t) + \mathscr{O}(\gamma^2)\end{equation}$$

可以期望，当$\gamma$比较小的时候，误差项$\mathscr{O}(\gamma^2)<\gamma \left|L'(\theta_t)\right|$，也就是说，在一定条件下，$\gamma \left|L'(\theta_t)\right|$本身就是误差项的度量，如果我们将$\gamma \left|L'(\theta_t)\right|$控制在一定的范围内，那么误差也被控制住了。即

$$\begin{equation}\gamma \left|L'(\theta_t)\right|\leq \tilde{\gamma}\end{equation}$$

其中$\tilde{\gamma}$是一个常数，甚至只需要简单地$\gamma \left|L'(\theta_t)\right|=\tilde{\gamma}$（暂时忽略$L'(\theta_t)=0$的可能性，先观察整体的核心思想），也就是

$$\begin{equation}\gamma = \frac{\tilde{\gamma}}{\left|L'(\theta_t)\right|}\end{equation}$$

这样我们就通过梯度来调节了学习率。

读者可能会诟病，把$\gamma = \tilde{\gamma} / \left|L'(\theta_t)\right|$代入原来的迭代结果，不就是：

$$\begin{equation}\theta_{t+\tilde{\gamma} / \left|L'(\theta_t)\right|} = \theta_t - \tilde{\gamma}\cdot\text{sign}\big[L'(\theta_t)\big]\end{equation}$$

整个梯度你只用了它的符号信息，这是不是太浪费了？（过于平凡：也就是不管梯度大小如何，每次迭代$\theta$都只是移动固定的长度。）

注意，从解ODE的角度看，其实这并没有毛病，因为ODE的解是一条轨迹$(t,\theta(t))$，上面这样处理，虽然$\theta$变得平凡了，但是$t$却变得不平凡了，也就是相当于$t,\theta$的地位交换了，因此还是合理的。只不过，如果关心的是优化问题，也就是求$L(\theta)$的极小值点的话，那么上式确实有点平凡了，因为如果每次迭代$\theta$都只是移动固定的长度，那就有点像网格搜索了，太低效。

所以，为了改善这种不平凡的情况，又为了保留用梯度调节学习率的特征，我们可以把梯度平均一下，结果就是

$$\begin{equation}\begin{aligned}G_{t+\tilde{\gamma}}=&\lambda G_{t} + (1 - \lambda) |L'(\theta_t)|^2\\

\gamma =& \frac{\tilde{\gamma}}{\sqrt{G_{t+\tilde{\gamma}} + \epsilon}}\\

\theta_{t+\gamma} =& \theta_t - \gamma L'(\theta_t)

\end{aligned}\end{equation}$$

这个$\lambda$是一个接近于1但是小于1的常数，这样的话$G_t$在一定范围内就比较稳定，同时在一定程度上保留了梯度$L'(\theta_t)$本身的特性，所以用它来调节学习率算是一个比较“机智”的做法。为了避免$t+\tilde{\gamma},t+\gamma$引起记号上的不适应，统一用$n,n+1$来表示下标，得到：

$$\begin{equation}\begin{aligned}G_{n+1}=&\lambda G_{n} + (1 - \lambda) |L'(\theta_n)|^2\\

\gamma =& \frac{\tilde{\gamma}}{\sqrt{G_{n+1} + \epsilon}}\\

\theta_{n+1} =& \theta_n - \gamma L'(\theta_n)

\end{aligned}\end{equation}\label{eq:rmsprop-1}$$

这就是开头说的RMSprop算法了。

上面的讨论都是一维的情况，如果是多维情况，那怎么推广呢？

也许读者觉得很简单：把标量换成向量不就行了么？并没有这么简单，因为$\eqref{eq:rmsprop-1}$推广到高维，至少有两种合理的选择：

$$\begin{equation}\begin{aligned}G_{n+1}=&\lambda G_{n} + (1 - \lambda) \Vert \nabla_{\boldsymbol{\theta}}L(\boldsymbol{\theta}_n)\Vert^2\\

\gamma =& \frac{\tilde{\gamma}}{\sqrt{G_{n+1} + \epsilon}}\\

\boldsymbol{\theta}_{n+1} =& \boldsymbol{\theta}_n - \gamma \nabla_{\boldsymbol{\theta}}L(\boldsymbol{\theta}_n)

\end{aligned}\end{equation}$$

或

$$\begin{equation}\begin{aligned}\boldsymbol{G}_{n+1}=&\lambda \boldsymbol{G}_{n} + (1 - \lambda)\big(\nabla_{\boldsymbol{\theta}}L(\boldsymbol{\theta}_n)\otimes \nabla_{\boldsymbol{\theta}}L(\boldsymbol{\theta}_n)\big)\\

\boldsymbol{\gamma} =& \frac{\tilde{\gamma}}{\sqrt{\boldsymbol{G}_{n+1} + \epsilon}}\\

\boldsymbol{\theta}_{n+1} =& \boldsymbol{\theta}_n - \boldsymbol{\gamma}\otimes \nabla_{\boldsymbol{\theta}}L(\boldsymbol{\theta}_n)

\end{aligned}\end{equation}\label{eq:rmsprop-n}$$

前者用梯度的总模长来累积，最终保持了学习率的标量性；后者将梯度的每个分量分别累积，这种情况下调节后的学习率就变成了一个向量，相当于给每个参数都分配不同的学习率。要是从严格理论分析的角度来，其实第一种做法更加严密，但是从实验效果来看，却是第二种更为有效。

我们平时所说的RMSprop算法，都是指后者$\eqref{eq:rmsprop-n}$。但是有很多喜欢纯SGD炼丹的朋友会诟病这种向量化的学习率实际上改变了梯度的方向，导致梯度不准，最终效果不够好。所以不喜欢向量化学习率的读者，不妨试验一下前者。

本文再次从ODE的角度分析了优化算法，这次是从误差控制的角度给出了一种自适应学习率算法（RMSprop）的理解。至于我们更常用的Adam，则是RMSprop与动量加速的结合，这里就不赘述了。

将优化问题视为一个常微分方程的求解问题，这其实就是将优化问题变成了一个动力学问题，这样可以让我们从比较物理的视角去理解优化算法（哪怕只是直观而不严密的理解），甚至可以把一些ODE的理论结果拿过来用，后面笔者会试图再举一些这样的例子。

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