内容简介:版权声明:本套技术专栏是作者(秦凯新)平时工作的总结和升华,通过从真实商业环境抽取案例进行总结和分享,并给出商业应用的调优建议和集群环境容量规划等内容,请持续关注本套博客。版权声明:禁止转载,欢迎学习。QQ邮箱地址:1120746959@qq.com,如有任何问题,可随时联系。针对stream数据中的时间,可以分为以下三种:第一个窗触发:2018-10-01 10:11:21.000《----》2018-10-01 10:11:24.000
版权声明:本套技术专栏是作者(秦凯新)平时工作的总结和升华,通过从真实商业环境抽取案例进行总结和分享,并给出商业应用的调优建议和集群环境容量规划等内容,请持续关注本套博客。版权声明:禁止转载,欢迎学习。QQ邮箱地址:1120746959@qq.com,如有任何问题,可随时联系。
本文决心讲清楚这个纠结的水印Watermark问题,Come on !
1 The Time
针对stream数据中的时间,可以分为以下三种:
- Event Time:事件产生的时间,它通常由事件中的时间戳描述。
- Ingestion time:事件进入Flink的时间
- Processing Time:事件被处理时当前系统的时间
- Flink中,默认Time类似是ProcessingTime ,可以在代码中设置:
1.1 tips(请认真思考下面的话,绝对震聋发挥!)
-
在水印的处理中,我们一般取事件时间序列的最大值作为水印的生成时间参考。
-
按照信号发生的顺序,时间是不断增加的,所以在时间序列上若出现事件时间小于时间序列最大值,一般都是延时的事件,时间序列最大值不会改变。
-
每处理一条事件数据,watermark时间就生成一次,后面窗的触发就是依据水印时间。若设置乱序延时为10s,则生成规则就是:
final Long maxOutOfOrderness = 10000L;// 最大允许的乱序时间是10s new Watermark(currentMaxTimestamp - maxOutOfOrderness) 复制代码
-
数据会按照时间进行依次Append,
-
水印依赖的条件是窗,水印只是决定了窗的触发时间,若设置最大允许的乱序时间是maxOutOfOrderness=10s,则窗的触发时机就是:
watermark 时间 >= window_end_time 复制代码
-
窗触发时,数据除了正常的时间序列,同时也包含延时到达的序列。在窗触发前(也就水印时间),计算除了把之前的正常窗数据给触发了,同时还包含了本来也属于该窗的延时数据。
2 窗与水印的世纪谜题
- 事件时间的最大值,也就是当前的实际事件时间,因此需要以此为参考点。
- 实际窗:意思数据就在那里Append,窗数据已经准备好,等待触发时机。
- 水印时间不受影响:就是每次来的数据的事件时间最大值,不受延迟数据时间影响。
- 下面例子中,等水印时间为10:11:33时,满足时间窗 10:11:30 <-> 10:11:33的触发时机,此时需要处理的数据不仅包含正常数据10:11:21 ,同时还包含乱序数据10:11:31。
- 再次强调:窗时机到来时,会遍历乱序数据和原窗数据。
- 实际窗在流动,只是暂不触发。
- 水印也在标记流动
- 窗时机触发也在流动。
- watermark 时间 >= window_end_time时,触发历史窗执行。
3 EventTime和Watermarks 水位线理论碰撞
-
流处理从事件产生,到流经source,再到operator,中间是有一个过程和时间的。虽然大部分情况下,流到operator的数据都是按照事件产生的时间顺序来的,但是也不排除由于网络延迟等原因,导致乱序的产生,特别是使用kafka的话,多个分区的数据无法保证有序。所以在进行window计算的时候,我们又不能无限期的等下去,必须要有个机制来保证一个特定的时间后,必须触发window去进行计算了。这个特别的机制,就是watermark,watermark是用于处理乱序事件的。
-
通常,在接收到source的数据后,应该立刻生成watermark;但是,也可以在source后,应用简单的map或者filter操作后,再生成watermark。注意:如果指定多次watermark,后面指定的会覆盖前面的值。 生成方式
-
With Periodic Watermarks
周期性的触发watermark的生成和发送,默认是100ms,每隔N秒自动向流里 注入一个WATERMARK 时间间隔由ExecutionConfig.setAutoWatermarkInterval 决定. 每次调用getCurrentWatermark 方法, 如果得到的WATERMARK 不为空并且比之前的大就注入流中 可以定义一个最大允许乱序的时间,这种比较常用 实现AssignerWithPeriodicWatermarks接口 复制代码
-
With Punctuated Watermarks
基于某些事件触发watermark的生成和发送基于事件向流里注入一个WATERMARK, 每一个元素都有机会判断是否生成一个WATERMARK. 如果得到的WATERMARK 不为空并且比之前的大就注入流中实现AssignerWithPunctuatedWatermarks接口 复制代码
-
多并行度流的watermarks
注意:多并行度的情况下,watermark对齐会取所有channel最小的watermark。
4 With Periodic Watermarks案例实战
4.1 最朴实的水印方案(基于事件序列最大值)
public class StreamingWindowWatermark { public static void main(String[] args) throws Exception { //定义socket的端口号 int port = 9010; //获取运行环境 StreamExecutionEnvironment env = StreamExecutionEnvironment.getExecutionEnvironment(); //设置使用eventtime,默认是使用processtime env.setStreamTimeCharacteristic(TimeCharacteristic.EventTime); //设置并行度为1,默认并行度是当前机器的cpu数量 env.setParallelism(1); //连接socket获取输入的数据 DataStream<String> text = env.socketTextStream("SparkMaster", port, "\n"); //解析输入的数据 DataStream<Tuple2<String, Long>> inputMap = text.map(new MapFunction<String, Tuple2<String, Long>>() { @Override public Tuple2<String, Long> map(String value) throws Exception { String[] arr = value.split(","); return new Tuple2<>(arr[0], Long.parseLong(arr[1])); } }); //抽取timestamp和生成watermark DataStream<Tuple2<String, Long>> waterMarkStream = inputMap.assignTimestampsAndWatermarks(new AssignerWithPeriodicWatermarks<Tuple2<String, Long>>() { Long currentMaxTimestamp = 0L; final Long maxOutOfOrderness = 10000L;// 最大允许的乱序时间是10s SimpleDateFormat sdf = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss.SSS"); @Nullable @Override public Watermark getCurrentWatermark() { return new Watermark(currentMaxTimestamp - maxOutOfOrderness); } //定义如何提取timestamp @Override public long extractTimestamp(Tuple2<String, Long> element, long previousElementTimestamp) { long timestamp = element.f1; currentMaxTimestamp = Math.max(timestamp, currentMaxTimestamp); long id = Thread.currentThread().getId(); System.out.println("作者:秦凯新 键值 :"+element.f0+",事件事件:[ "+sdf.format(element.f1)+" ],currentMaxTimestamp:[ "+ sdf.format(currentMaxTimestamp)+" ],水印时间:[ "+sdf.format(getCurrentWatermark().getTimestamp())+" ]"); return timestamp; } }); DataStream<String> window = waterMarkStream.keyBy(0) .window(TumblingEventTimeWindows.of(Time.seconds(3)))//按照消息的EventTime分配窗口,和调用TimeWindow效果一样 .apply(new WindowFunction<Tuple2<String, Long>, String, Tuple, TimeWindow>() { /** * 对window内的数据进行排序,保证数据的顺序 * @param tuple * @param window * @param input * @param out * @throws Exception */ @Override public void apply(Tuple tuple, TimeWindow window, Iterable<Tuple2<String, Long>> input, Collector<String> out) throws Exception { String key = tuple.toString(); List<Long> arrarList = new ArrayList<Long>(); Iterator<Tuple2<String, Long>> it = input.iterator(); while (it.hasNext()) { Tuple2<String, Long> next = it.next(); arrarList.add(next.f1); } Collections.sort(arrarList); SimpleDateFormat sdf = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss.SSS"); String result = "\n 作者:秦凯新 键值 : "+ key + "\n 触发窗内数据个数 : " + arrarList.size() + "\n 触发窗起始数据: " + sdf.format(arrarList.get(0)) + "\n 触发窗最后(可能是延时)数据:" + sdf.format(arrarList.get(arrarList.size() - 1)) + "\n 实际窗起始和结束时间: " + sdf.format(window.getStart()) + "《----》" + sdf.format(window.getEnd()) + " \n \n "; out.collect(result); } }); //测试-把结果打印到控制台即可 window.print(); //注意:因为flink是懒加载的,所以必须调用execute方法,上面的代码才会执行 env.execute("eventtime-watermark"); } } 复制代码
-
执行测试数据
0001,1538359882000 2018-10-01 10:11:22 0002,1538359886000 2018-10-01 10:11:26 0003,1538359892000 2018-10-01 10:11:32 0004,1538359893000 2018-10-01 10:11:33 0005,1538359894000 2018-10-01 10:11:34 0006,1538359896000 2018-10-01 10:11:36 0007,1538359897000 2018-10-01 10:11:37 0008,1538359899000 2018-10-01 10:11:39 0009,1538359891000 2018-10-01 10:11:31 0010,1538359903000 2018-10-01 10:11:43 0011,1538359892000 2018-10-01 10:11:32 0012,1538359891000 2018-10-01 10:11:31 0010,1538359906000 2018-10-01 10:11:46 复制代码
第一个窗触发:2018-10-01 10:11:21.000《----》2018-10-01 10:11:24.000
第二个窗触发:2018-10-01 10:11:24.000《----》2018-10-01 10:11:27.000
第三个窗触发:2018-10-01 10:11:30.000《----》2018-10-01 10:11:33.000
第四个窗触发:10:11:33.000《----》2018-10-01 10:11:36.000
4.2 最霸道的水印设计(allowedLateness与OutputLateData)
-
在某些情况下, 我们希望对迟到的数据再提供一个宽容的时间。 Flink 提供了 allowedLateness 方法可以实现对迟到的数据设置一个延迟时间, 在指定延迟时间内到达的数据还是可以触发 window 执行的。
-
第二次(或多次)触发的条件是 watermark < window_end_time + allowedLateness 时间内, 这个窗口有 late 数据到达时。
-
举例:当 watermark 等于 10:11:34 的时候, 我们输入 eventtime 为 10:11:30、 10:11:31、10:11:32 的数据的时候, 是可以触发的, 因为这些数据的 window_end_time 都是 10:11:33, 也就是10:11:34<10:11:33+2 为 true。
-
举例:但是当 watermark 等于 10:11:35 的时候,我们再输入 eventtime 为 10:11:30、10:11:31、10:11:32的数据的时候, 这些数据的 window_end_time 都是 10:11:33, 此时, 10:11:35< 10:11:33+2 为false 了。 所以最终这些数据迟到的时间太久了, 就不会再触发 window 执行了,预示着丢弃。
-
同时注意,对于延迟的数据,我们完全可以把它揪出来作分析。通过设置sideOutputLateData。
public class StreamingWindowWatermark2 { public static void main(String[] args) throws Exception { //定义socket的端口号 int port = 9000; //获取运行环境 StreamExecutionEnvironment env = StreamExecutionEnvironment.getExecutionEnvironment(); //设置使用eventtime,默认是使用processtime env.setStreamTimeCharacteristic(TimeCharacteristic.EventTime); //设置并行度为1,默认并行度是当前机器的cpu数量 env.setParallelism(1); //连接socket获取输入的数据 DataStream<String> text = env.socketTextStream("hadoop100", port, "\n"); //解析输入的数据 DataStream<Tuple2<String, Long>> inputMap = text.map(new MapFunction<String, Tuple2<String, Long>>() { @Override public Tuple2<String, Long> map(String value) throws Exception { String[] arr = value.split(","); return new Tuple2<>(arr[0], Long.parseLong(arr[1])); } }); //抽取timestamp和生成watermark DataStream<Tuple2<String, Long>> waterMarkStream = inputMap.assignTimestampsAndWatermarks(new AssignerWithPeriodicWatermarks<Tuple2<String, Long>>() { Long currentMaxTimestamp = 0L; final Long maxOutOfOrderness = 10000L;// 最大允许的乱序时间是10s SimpleDateFormat sdf = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss.SSS"); /** * 定义生成watermark的逻辑 * 默认100ms被调用一次 */ @Nullable @Override public Watermark getCurrentWatermark() { return new Watermark(currentMaxTimestamp - maxOutOfOrderness); } //定义如何提取timestamp @Override public long extractTimestamp(Tuple2<String, Long> element, long previousElementTimestamp) { long timestamp = element.f1; currentMaxTimestamp = Math.max(timestamp, currentMaxTimestamp); System.out.println("key:"+element.f0+",eventtime:["+element.f1+"|"+sdf.format(element.f1)+"],currentMaxTimestamp:["+currentMaxTimestamp+"|"+ sdf.format(currentMaxTimestamp)+"],watermark:["+getCurrentWatermark().getTimestamp()+"|"+sdf.format(getCurrentWatermark().getTimestamp())+"]"); return timestamp; } }); //保存被丢弃的数据 OutputTag<Tuple2<String, Long>> outputTag = new OutputTag<Tuple2<String, Long>>("late-data"){}; //注意,由于getSideOutput方法是SingleOutputStreamOperator子类中的特有方法,所以这里的类型,不能使用它的父类dataStream。 SingleOutputStreamOperator<String> window = waterMarkStream.keyBy(0) .window(TumblingEventTimeWindows.of(Time.seconds(3)))//按照消息的EventTime分配窗口,和调用TimeWindow效果一样 //.allowedLateness(Time.seconds(2))//允许数据迟到2秒 .sideOutputLateData(outputTag) .apply(new WindowFunction<Tuple2<String, Long>, String, Tuple, TimeWindow>() { /** * 对window内的数据进行排序,保证数据的顺序 * @param tuple * @param window * @param input * @param out * @throws Exception */ @Override public void apply(Tuple tuple, TimeWindow window, Iterable<Tuple2<String, Long>> input, Collector<String> out) throws Exception { String key = tuple.toString(); List<Long> arrarList = new ArrayList<Long>(); Iterator<Tuple2<String, Long>> it = input.iterator(); while (it.hasNext()) { Tuple2<String, Long> next = it.next(); arrarList.add(next.f1); } Collections.sort(arrarList); SimpleDateFormat sdf = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss.SSS"); String result = key + "," + arrarList.size() + "," + sdf.format(arrarList.get(0)) + "," + sdf.format(arrarList.get(arrarList.size() - 1)) + "," + sdf.format(window.getStart()) + "," + sdf.format(window.getEnd()); out.collect(result); } }); //把迟到的数据暂时打印到控制台,实际中可以保存到其他存储介质中 DataStream<Tuple2<String, Long>> sideOutput = window.getSideOutput(outputTag); sideOutput.print(); //测试-把结果打印到控制台即可 window.print(); //注意:因为flink是懒加载的,所以必须调用execute方法,上面的代码才会执行 env.execute("eventtime-watermark"); } } 复制代码
4.3 多并行度下的 watermark触发机制
4.3.1 先领会代码(感谢 github xuwei)
import org.apache.flink.api.common.functions.MapFunction; import org.apache.flink.api.java.tuple.Tuple; import org.apache.flink.api.java.tuple.Tuple2; import org.apache.flink.streaming.api.TimeCharacteristic; import org.apache.flink.streaming.api.datastream.DataStream; import org.apache.flink.streaming.api.datastream.SingleOutputStreamOperator; import org.apache.flink.streaming.api.environment.StreamExecutionEnvironment; import org.apache.flink.streaming.api.functions.AssignerWithPeriodicWatermarks; import org.apache.flink.streaming.api.functions.windowing.WindowFunction; import org.apache.flink.streaming.api.watermark.Watermark; import org.apache.flink.streaming.api.windowing.assigners.TumblingEventTimeWindows; import org.apache.flink.streaming.api.windowing.time.Time; import org.apache.flink.streaming.api.windowing.windows.TimeWindow; import org.apache.flink.util.Collector; import org.apache.flink.util.OutputTag; import javax.annotation.Nullable; import java.text.SimpleDateFormat; import java.util.ArrayList; import java.util.Collections; import java.util.Iterator; import java.util.List; public class StreamingWindowWatermark2 { public static void main(String[] args) throws Exception { //定义socket的端口号 int port = 9010; //获取运行环境 StreamExecutionEnvironment env = StreamExecutionEnvironment.getExecutionEnvironment(); //设置使用eventtime,默认是使用processtime env.setStreamTimeCharacteristic(TimeCharacteristic.EventTime); //设置并行度为1,默认并行度是当前机器的cpu数量 env.setParallelism(8); //连接socket获取输入的数据 DataStream<String> text = env.socketTextStream("SparkMaster", port, "\n"); //解析输入的数据 DataStream<Tuple2<String, Long>> inputMap = text.map(new MapFunction<String, Tuple2<String, Long>>() { @Override public Tuple2<String, Long> map(String value) throws Exception { String[] arr = value.split(","); return new Tuple2<>(arr[0], Long.parseLong(arr[1])); } }); //抽取timestamp和生成watermark DataStream<Tuple2<String, Long>> waterMarkStream = inputMap.assignTimestampsAndWatermarks(new AssignerWithPeriodicWatermarks<Tuple2<String, Long>>() { Long currentMaxTimestamp = 0L; final Long maxOutOfOrderness = 10000L;// 最大允许的乱序时间是10s SimpleDateFormat sdf = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss.SSS"); /** * 定义生成watermark的逻辑 * 默认100ms被调用一次 */ @Nullable @Override public Watermark getCurrentWatermark() { return new Watermark(currentMaxTimestamp - maxOutOfOrderness); } //定义如何提取timestamp @Override public long extractTimestamp(Tuple2<String, Long> element, long previousElementTimestamp) { long timestamp = element.f1; currentMaxTimestamp = Math.max(timestamp, currentMaxTimestamp); long id = Thread.currentThread().getId(); System.out.println("作者:秦凯新 键值 :"+element.f0+"线程验证 :"+ id +" , 事件事件:[ "+sdf.format(element.f1)+" ],currentMaxTimestamp:[ "+ sdf.format(currentMaxTimestamp)+" ],水印时间:[ "+sdf.format(getCurrentWatermark().getTimestamp())+" ]"); return timestamp; } }); //保存被丢弃的数据 OutputTag<Tuple2<String, Long>> outputTag = new OutputTag<Tuple2<String, Long>>("late-data"){}; //注意,由于getSideOutput方法是SingleOutputStreamOperator子类中的特有方法,所以这里的类型,不能使用它的父类dataStream。 SingleOutputStreamOperator<String> window = waterMarkStream.keyBy(0) .window(TumblingEventTimeWindows.of(Time.seconds(3)))//按照消息的EventTime分配窗口,和调用TimeWindow效果一样 //.allowedLateness(Time.seconds(2))//允许数据迟到2秒 .sideOutputLateData(outputTag) .apply(new WindowFunction<Tuple2<String, Long>, String, Tuple, TimeWindow>() { /** * 对window内的数据进行排序,保证数据的顺序 * @param tuple * @param window * @param input * @param out * @throws Exception */ @Override public void apply(Tuple tuple, TimeWindow window, Iterable<Tuple2<String, Long>> input, Collector<String> out) throws Exception { String key = tuple.toString(); List<Long> arrarList = new ArrayList<Long>(); Iterator<Tuple2<String, Long>> it = input.iterator(); while (it.hasNext()) { Tuple2<String, Long> next = it.next(); arrarList.add(next.f1); } Collections.sort(arrarList); SimpleDateFormat sdf = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss.SSS"); String result = "\n 作者:秦凯新 键值 : "+ key + "\n 触发窗内数据个数 : " + arrarList.size() + "\n 触发窗起始数据: " + sdf.format(arrarList.get(0)) + "\n 触发窗最后(可能是延时)数据:" + sdf.format(arrarList.get(arrarList.size() - 1)) + "\n 实际窗起始和结束时间: " + sdf.format(window.getStart()) + "《----》" + sdf.format(window.getEnd()) + " \n \n "; out.collect(result); } }); //把迟到的数据暂时打印到控制台,实际中可以保存到其他存储介质中 DataStream<Tuple2<String, Long>> sideOutput = window.getSideOutput(outputTag); sideOutput.print(); //测试-把结果打印到控制台即可 window.print(); //注意:因为flink是懒加载的,所以必须调用execute方法,上面的代码才会执行 env.execute("eventtime-watermark"); } } 复制代码
4.3.2 前面代码中设置了并行度为 1:
env.setParallelism(1); 复制代码
如果这里不设置的话, 代码在运行的时候会默认读取本机 CPU 数量设置并行度。
下面我们来验证一下, 把代码中的并行度调整为 2:
env.setParallelism(2); 复制代码
-
发现玄机如下:在第二条事件时,其实已经达到窗的触发时机,但是因为并行度为2,只有等到最小
-
watermark 到的时候才会触发窗计算。发现线程44处理的是001和003 ,线程42处理的是0002,所以只有等到线程42到达后,水印才会起作用执行2018-10-01 10:11:33.000所在的窗。
0001,1538359890000 2018-10-01 10:11:30 0002,1538359903000 2018-10-01 10:11:43 0003,1538359908000 2018-10-01 10:11:48 复制代码
4.3.3 现在代码中设置了并行度为 8:
-
发现 这 7 条数据都是被不同的线程处理的。 每个线程都有一个 watermark。且每一个线程都是基于自己接收数据的事件时间最大值。
-
因此,导致到最后现在还没获取到最小的 watermark, 所以 window 无法被触发执行。
-
只有所有的线程的最小watermark都满足watermark 时间 >= window_end_time时,触发历史窗才会执行。
0001,1538359882000 2018-10-01 10:11:22 0002,1538359886000 2018-10-01 10:11:26 0003,1538359892000 2018-10-01 10:11:32 0004,1538359893000 2018-10-01 10:11:33 0005,1538359894000 2018-10-01 10:11:34 0006,1538359896000 2018-10-01 10:11:36 0007,1538359897000 2018-10-01 10:11:37 复制代码
-
当持续发生事件数据时。一旦所有线程都达到最低的窗触发时机时,就会进行窗触发执行了。输入数据如下:
0007,1538359897000 2018-10-01 10:11:37 0008,1538359897000 2018-10-01 10:11:37 0009,1538359897000 2018-10-01 10:11:37 0010,1538359897000 2018-10-01 10:11:37 0011,1538359897000 2018-10-01 10:11:37 0012,1538359897000 2018-10-01 10:11:37 0013,1538359897000 2018-10-01 10:11:37 0014,1538359897000 2018-10-01 10:11:37 0015,1538359897000 2018-10-01 10:11:37 复制代码
5 再下一城
版权声明:本套技术专栏是作者(秦凯新)平时工作的总结和升华,通过从真实商业环境抽取案例进行总结和分享,并给出商业应用的调优建议和集群环境容量规划等内容,请持续关注本套博客。版权声明:禁止转载,欢迎学习。QQ邮箱地址:1120746959@qq.com,如有任何问题,可随时联系。
截止到201811250141时间点,我的个人技术博客已经涵盖:
-《Spark Core 商业源码实战系列目录》 -《SparkStreaming 商业源码实战系列目录》 -《SparkSQL 商业源码实战系列目录》 -《Spark商业应用实战系列目录》 -《Spark商业调优实战系列目录》 -《Spark商业ML实战系列目录》 -《Flink 牛刀小试实战系列目录》 -《Hadoop商业环境实战系列目录》 -《kafka 商业环境实战系列目录》 -《OLAP商业环境实战系列目录》 -《DW商业环境实战系列目录》 复制代码
博客原创作品达到64篇高质量的精品,在这里给自己的坚持加油,送上一句豪情万丈。
秦凯新 于深圳
以上就是本文的全部内容,希望本文的内容对大家的学习或者工作能带来一定的帮助,也希望大家多多支持 码农网
猜你喜欢:- R:绘制MASS polr序数模型的预测
- 【Java集合源码剖析】ArrayList源码剖析
- Java集合源码剖析:TreeMap源码剖析
- 【剖析 | SOFARPC 框架】系列之 SOFARPC 优雅关闭剖析
- 【剖析 | SOFARPC 框架】系列之 SOFARPC 注解支持剖析
- 【剖析 | SOFARPC 框架】系列之 SOFARPC 泛化调用实现剖析
本站部分资源来源于网络,本站转载出于传递更多信息之目的,版权归原作者或者来源机构所有,如转载稿涉及版权问题,请联系我们。
数值方法和MATLAB实现与应用
拉克唐瓦尔德 / 机械工业出版社 / 2004-9 / 59.00元
本书是关于数值方法和MATLAB的介绍,是针对高等院校理工科专业学生编写的教材。数值方法可以用来生成其他方法无法求解的问题的近似解。本书的主要目的是为应用计算打下坚实的基础,由简单到复杂讲述了标准数值方法在实际问题中的实现和应用。本书通篇使用良好的编程习惯向读者展示了如何清楚地表达计算思想及编制文档。书中通过给读者提供大量的可直接运行的代码库以及讲解MARLAB工具箱中内置函数使用的数量方法,帮助......一起来看看 《数值方法和MATLAB实现与应用》 这本书的介绍吧!