matlab—数值微积分

polyva()

多项式计算在理工科教学、科研中有着特殊地位和意义。matlab 作为重要的工程计算软件也给出了相应的计算指令来完成这一工作。其中就有多项式求值 polyval 函数，其调用格式为： y = polyval(p,x); ，返回 n 次多项式 p 在 x 处的值

• p：一个长度为 n+1 的向量，其元素为按降幂排列的多项式系数
• x：可以是一个矩阵或者一个向量，在这两种情况下，polyval 计算在 x 中任意元素处的多项式 p 的估值

例如：$9x^3-5x^2+3x+7$

polyder()

多项式求微分函数 polyder，其调用格式为：

k = polyder(p)
k = polyder(a,b)
[q,d] = polyder(b,a)

例如：$(3x^2+6x+9)(x^2+2x)$

polyint()

多项式积分函数 polyint，其调用格式为： polyint(p,c) ;，p 是多项式对应的系数，c 是常数项（可以任意指定）

例如：$5x^4-2x^2+1$

dif()

上面我们讲的都是多项式的一些数值计算的方法，如果不是多项式如何计算呢，举个栗子，如何求 sin(x) 在某一点的微分，这时就需要微分的定义

$$

f'(x_0) = \displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}

$$

其实我们只要知道两个点，一个 (x0,f(x0)) ，另一个 (x0+h,f(x0+h))

这里涉及到一个函数 diff，其调用格式为： Y=diff(X) 。X 是一个 m 维的向量，那么 Y 返回的是一个 m-1 维的向量，其中 Y 的元素分别是 X 相邻元素之间的差值，即 Y=[X(2)-X(1) X(3)-X(2) ... X(m)-X(m-1)] ；X 是一个非空的 m n 的矩阵，那么 Y 返回的是一个 (m-1) n 的矩阵，其中 Y 的元素分别是 X 行与行之间的差值， Y=[X(2,:)-X(1,:) X(3,:)-X(2,:) ... X(m,:)-X(m-1,:)] 。下面就给出代码，求sin(x) 在 x = pi/2 时的微分

x0 = pi / 2;
h = 0.1;
x = [x0,x0 + h];
y = [sin(x0),sin(x0+h)];
m = diff(y) / diff(x)

得到的答案显然不等于0，这时因为h太大了，可以将h不断缩小，得出来的值也会不断接近 0

integral()

integral 函数的作用是求定积分，其调用格式为： integral(fcn handle,x0,x1); ，fcn handle 是函数句柄，x0 表示积分下限，x1 表示积分上限

y = @(x)sin(x);
integral(y,0,2*pi);

函数句柄的格式为： @(自变量)函数体 ，可以把 @(自变量) 当成是 d(自变量) ，只不过放到前面去了

integral2()

二重积分函数 integral2() ，调用格式类似 integral，直接给出示例

$$

f(x,y) = \int_{0}^{\pi} \int_{\pi}^{2\pi}(y\cdot sin(x) + x\cdot cos(y))\text{d}x{d}y

$$

f = @(x,y)y.*sin(x)+x.*cos(y);
integral2(f,pi,2*pi,0,pi);

integral3()

三重积分函数 integral3() ，调用格式类似integral

$$

f(x,y,z) = \int_{-1}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{\pi}(y\cdot sin(x) + z\cdot cos(y))\text{d}x{d}y{d}z

$$

f = @(x,y,z)y.*sin(x)+z.*cos(y);
integral3(f,0,pi,0,1,-1,1)