从凸优化到SVM

开个新坑，总结下最近看的凸优化的东西，主要来自于CS229的讲义。前半部分介绍凸优化的问题定义，后半部分介绍对偶问题和KKT条件，并使用SVM作为例子，展示凸优化在机器学习中的应用。这部分也是SVM理论部分不太好理解的部分，希望我能把它梳理清楚明白。

凸函数

介绍凸函数之前，首先介绍凸集。函数必须定义在凸集上，才能有后续是否是凸函数的讨论。

凸集

若集合$C$中任取两个元素$x$和$y$，对于任意$\theta \in [0,1]$且$\theta \in \mathbb{R}$，都有下面的不等式成立，则集合$C$是凸集：

这句话翻译成不严谨的几何描述，就是在集合$C$中任取两点画一条线段，那么线段上的所有点都必须在$C$内，如下图所示。为何是这样呢？设$t = \theta x + (1-\theta) y$，稍作变形，可以得到，$t - y = \theta(x-y)$。这说明，$t-y$和$x-y$两个向量共线，也就是这三点共线。由$\theta$的取值范围，进一步知道，$t$在两点之间。这样，我们就把上面抽象的式子和下面直观的图建立了联系。

下面不加证明给出几个特殊的凸集：

• $\mathbb{R}^n$
• $\{ x; \Vert x\Vert_p \le 1\}$，可以用范数的三角不等式证明
• 凸集的交集

凸函数

与凸集的定义相类似，如果一个函数$f$定义在凸集上，而且对于其定义域上的任意两个变量取值$x$和$y$，对于任意$\theta \in [0,1]$且$\theta \in \mathbb{R}$，都有下式成立，则函数$f$是凸函数：