内容简介：一个集合里有现在考虑只抽取一个元素，假设权重之和为要选取 m 个元素，则可以按上面的方法先选取一个，将该元素从集合中去除，再反复按上面的方法抽取剩余的元素。这种方法的复杂度是
一个集合里有 n 个元素，每个元素有不同的权重，现在要不放回地随机抽取 m 个元素，每个元素被抽中的概率为元素的权重占总权重的比例。要怎么做呢？
现在考虑只抽取一个元素，假设权重之和为 1 。我们可以从 [0, 1] 中随机得到一个权重，假设为 0.71 ，而后从第一个元素开始，不断累加它们的权重，直到有一个元素的累加权重包含 0.71 ，则选取该元素。下面是个示意图：
要选取 m 个元素，则可以按上面的方法先选取一个，将该元素从集合中去除，再反复按上面的方法抽取剩余的元素。这种方法的复杂度是 O(mn) ，并且将元素从集合中删除其实不太方便实现。
当然，最重要的是这个算法需要多次遍历数据，不适合用在流处理的场景中。
Algorithm A 是论文 Weighted Random Sampling 中提出的，步骤如下：
- 对于集合 $V$ 中的元素 $v_i \in V$，选取均匀分布的随机数 $u_i = rand(0, 1)$ ，计算元素的特征 $k_i = u_i^{(1/w_i)}$
- 将集合按 $k_i$ 排序，选取前 $m$ 大的元素。
算法的正确性在作者 2006 年的论文 Weighted random sampling with a reservoir 里给了详细的证明。论文中给出了算法的两个变种 A-Res 与 A-ExpJ，它们都能在一次扫描中得到 m 个样本。非常适合在流处理的场合中。
A-Res(Algorithm A With a Reservoir) 是 Algorithm 的“蓄水池”版本，即维护含有 m 个元素的结果集，对每个新元素尝试去替换结果集中权重最小的元素。步骤如下：
- 将集合 $V$ 的前 $m$ 个元素放入结果集合 $R$。
- 对于结果集里的每个元素，计算特征值 $k_i = u_i^{(1/w_i)}$，其中 $u_i = rand(0, 1)$
- 对 $i = m+1, m+2, \dots, n$ 重复步骤 4 ~ 6
- 将结果集中最小的特征 $k$ 作为当前的阈值 $T$
- 对于元素 $v_i$，计算特征 $k_i = u_i^{(1/w_i)}$，其中 $u_i = rand(0, 1)$
- 如果 $k_i > T$ 则将 $R$ 中拥有最小 $k$ 值的元素替换成 $v_i$。
论文证明了如果权重 $w_i$ 是一般连续分布上的随机变量，则上面的算法中插入 $R$ 的次数为 $O(m \log(\frac{n}{m}))$。该算法用 Python 实现如下：
import heapq
import random
def a_res(samples, m):
"""
:samples: [(item, weight), ...]
:k: number of selected items
:returns: [(item, weight), ...]
"""
heap = [] # [(new_weight, item), ...]
for sample in samples:
wi = sample[1]
ui = random.uniform(0, 1)
ki = ui ** (1/wi)
if len(heap) < m:
heapq.heappush(heap, (ki, sample))
elif ki > heap[0][0]:
heapq.heappush(heap, (ki, sample))
if len(heap) > m:
heapq.heappop(heap)
return [item[1] for item in heap]
A-Res 需要对每个元素产生一个随机数，而生成高质量的随机数有可能会有较大的性能开销，，所以论文中给出了 A-ExpJ 算法，能将随机数的生成量从 $O(n)$ 减少到 $O(m\log(\frac{n}{m})))$。从步骤上看，很像我们最开始提出的简单版本，设定一个阈值并跳过一些元素。具体步骤如下：
- 将集合 $V$ 的前 $m$ 个元素放入结果集合 $R$。
- 对于结果集里的每个元素，计算特征值 $k_i = u_i^{(1/w_i)}$，其中 $u_i = rand(0, 1)$
- 将 $R$ 中小最的特征值记为阈值 $T_w$
- 对剩下的元素重复步骤 5 ~ 10
- 令 $r = rand(0, 1)$ 且 $X_w = \log( r )/\log(T_w)$
- 从当前元素 $v_c$ 开始跳过元素，直到遇到元素 $v_i$，满足
- $w_c + w_{c+1} + \dots + w_{i-1} \lt X_w \le w_c + w_{c+1} + \dots + w_{i-1} + w_{i}$
- 使用 $v_i$ 替换 $R$ 中特征值最小的元素。
- 令 $t_w = T_w^{w_i}$, $r2 = rand(t_w, 1)$, $v_i$ 的特征 $k_i = r_2^{(1/w_i)}$
- 令新的阈值 $T_w$ 为此时 $R$ 中的最小特征值。
Python 实现如下：
def a_expj(samples, m):
"""
:samples: [(item, weight), ...]
:k: number of selected items
:returns: [(item, weight), ...]
"""
heap = [] # [(new_weight, item), ...]
Xw = None
Tw = 0
w_acc = 0
for sample in samples:
if len(heap) < m:
wi = sample[1]
ui = random.uniform(0, 1)
ki = ui ** (1/wi)
heapq.heappush(heap, (ki, sample))
continue
if w_acc == 0:
Tw = heap[0][0]
r = random.uniform(0, 1)
Xw = math.log(r)/math.log(Tw)
wi = sample[1]
if w_acc + wi < Xw:
w_acc += wi
continue
else:
w_acc = 0
tw = Tw ** wi
r2 = random.uniform(tw, 1)
ki = r2 ** (1/wi)
heapq.heappop(heap)
heapq.heappush(heap, (ki, sample))
return [item[1] for item in heap]
我们用多次采样的方式来尝试验证算法的正确性。下面代码中为 a 、 b 、 c 等元素赋予了不同的权重，采样 10 万次后计算被采样的次数与元素 a 被采样次数的比值。
overall = [('a', 10), ('b', 20), ('c', 50), ('d', 100), ('e', 200)]
def test_weighted_sampling(func, k):
stat = {}
for i in range(100000):
sampled = func(overall, k)
for item in sampled:
if item[0] not in stat:
stat[item[0]] = 0
stat[item[0]] += 1
total = stat['a']
for a in stat:
stat[a] = float(stat[a])/float(total)
print(stat)
首先验证 A-Res 算法：
test_weighted_sampling(a_res, 1)
test_weighted_sampling(a_res, 2)
test_weighted_sampling(a_res, 3)
test_weighted_sampling(a_res, 4)
test_weighted_sampling(a_res, 5)
# output
{'e': 19.54951600893522, 'd': 9.864110201042442, 'c': 4.842889054355919, 'a': 1.0, 'b': 1.973566641846612}
{'b': 2.0223285486443383, 'e': 12.17949833260838, 'd': 8.95287806292591, 'c': 4.843410178338408, 'a': 1.0}
{'a': 1.0, 'e': 6.166443722530097, 'd': 5.597171794381808, 'b': 1.9579591056755208, 'c': 4.387922797630423}
{'b': 1.8358898492044953, 'e': 2.5878688779880092, 'c': 2.4081341327311896, 'd': 2.549897479820395, 'a': 1.0}
{'a': 1.0, 'd': 1.0, 'c': 1.0, 'b': 1.0, 'e': 1.0}
看到，在采样一个元素时， b 被采样到的次数约为 a 的 2 倍，而 e 则约为 20 倍，与 overall 数组中指定的权重一致。而采样 5 个元素时，所有元素都会被选中。
同理验证 A-ExpJ 算法：
test_weighted_sampling(a_expj, 1)
test_weighted_sampling(a_expj, 2)
test_weighted_sampling(a_expj, 3)
test_weighted_sampling(a_expj, 4)
test_weighted_sampling(a_expj, 5)
# output
{'e': 19.78311444652908, 'c': 4.915572232645403, 'd': 9.840900562851782, 'a': 1.0, 'b': 1.9838649155722325}
{'e': 11.831543244771057, 'c': 4.709157716223856, 'b': 1.9720180893159978, 'd': 8.75183719615602, 'a': 1.0}
{'d': 5.496249062265567, 'c': 4.280007501875469, 'e': 6.046324081020255, 'b': 1.9321080270067517, 'a': 1.0}
{'a': 1.0, 'd': 2.5883654175335105, 'c': 2.440760540383957, 'e': 2.62591841571643, 'b': 1.8787559581808126}
{'a': 1.0, 'd': 1.0, 'c': 1.0, 'b': 1.0, 'e': 1.0}
与 A-Res 的结果类似。
文章中介绍了 A-Res 与 A-ExpJ 两种算法，按照步骤用 Python 实现了一个简单的版本，最后用采样的方式验证了算法的正确性。
加权随机采样本身不难，但如果需要在一次扫描中完成就不容易了。难以想像上面的算法直到 2006 年才提出。算法本身如此之简单，也让不感叹数学与概率的精妙。
以上就是本文的全部内容，希望本文的内容对大家的学习或者工作能带来一定的帮助，也希望大家多多支持 码农网
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指数型组织
萨利姆•伊斯梅尔 (Salim Ismail)、迈克尔•马隆 (Michael S. Malone)、尤里•范吉斯特 (Yuri van Geest) / 苏健 / 浙江人民出版社 / 2015-8-1 / CNY 69.90
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