内容简介:这篇文章是我在学习算法导论之后的笔记排序算法,无论是在工作上还是面试中,都是经常遇到的问题。话不多说,我们一个一个来回忆。为了方便理解,我们总是假设输入的 数据是[9..0]逆序排列的。而我们要输出的则是升序排列。插入排序,就是用的一种抽象的方式。什么抽象的方式呢?就是假设左边的已经是排好顺序的数组,而下一步要做的事情,就是从右边 拿一个数字,在左边找一个合适的位置把它插进去。仔细想想,是不是和打扑克牌时,我们把刚抓起的牌插到合适的位置一样呢? 为了插到合适的位置,我们必需从已经排好序的这一段里,从右往左
这篇文章是我在学习算法导论之后的笔记
排序算法,无论是在工作上还是面试中,都是经常遇到的问题。话不多说,我们一个一个来回忆。为了方便理解,我们总是假设输入的 数据是[9..0]逆序排列的。而我们要输出的则是升序排列。
插入排序
插入排序,就是用的一种抽象的方式。什么抽象的方式呢?就是假设左边的已经是排好顺序的数组,而下一步要做的事情,就是从右边
拿一个数字,在左边找一个合适的位置把它插进去。仔细想想,是不是和打扑克牌时,我们把刚抓起的牌插到合适的位置一样呢?
为了插到合适的位置,我们必需从已经排好序的这一段里,从右往左依次查找,我们把当前正在遍历的元素的下标叫做cursor好了,
cursor的初始值是我们准备插入的数字的下标。如果发现我们要插入的数字比 cursor - 1
所在的数字大,那么就不动,否则,就把 cursor - 1
上的元素和 cursor
所在的位置上的元素互换,然后继续这一步,进行查找。
我们来看例子:输入是 [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]
。
-
最开始我们假设,已经排好序的那部分是
[9]
,而我们当前要进行的这一步是把8
插入到合适的位置。进行比较, 发现8比9更小,所以把9和8互换,于是整个数组变成了8, 9, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0
,然后发现到头了,所以这一步到此为止, 我们进行下一个动作。 -
然后我们要对7进行插入。首先往左看一下,发现9比7大,于是互换两者,数组变成了
8, 7, 9, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0
,继续往左 探,发现8仍然比7大,于是继续互换两者,数组变成了7, 8, 9, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0
,发现到头了,所以这一步也到此为止, 我们进行下一个动作。 -
。。。依次类推,一直到右边所有的元素都弄完了,排序也就完成了。
-
那我们想想是否有特殊情况需要处理呢?因为我们从数组的第二个元素,也就是下标为1的元素开始操作,也就是说,我们假设数组 至少有两个元素。所以如果只有一个元素,我们需要进行判断,直接原样返回。而如果数组为空数组,则需要抛出一个错误,表明不能 对空数组进行排序。
下面我们来看代码:
def insertion_sort(array): length = len(array) # 因为要用两次,所以用变量村起来,Don't Repeat Yourself if length == 0: raise ValueError("请不要在空数组上使用排序") if length == 1: return array for i in range(1, length): for cursor in range(i, 0, -1): if array[cursor] < array[cursor - 1]: # 交换 array[cursor], array[cursor - 1] = array[cursor - 1], array[cursor] return array if __name__ == "__main__": # 写几个简单地测试用例 assert insertion_sort([1]) == [1] assert insertion_sort([i for i in range(9, -1, -1)]) == [i for i in range(10)] print(insertion_sort([i for i in range(9, -1, -1)]))
执行一下就会发现,输出是正确的:
$ python insertion.py [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
可以看出,插入 排序 里,有 for...for...
这样的嵌套循环,它的最差时间复杂度是 O(n^2)
,这种情况就出现在我们所给的测试
用例上:逆序输入。最好的情况则是顺序:O(n)。平均情况为:O(n ^ 2)。具体的证明请阅读算法导论,下同。
堆排序
堆排序是借助堆的特殊性质,因为我们要输出正序排列,也就是从小到大输出。因此,我们采用小堆。小堆有这样的性质:它的每个 子节点,都会比它大。而对于它的子节点,也同样遵守这样的规定。在此,我们采用二叉堆,即,每个节点至多有两个子节点。我们 需要实现两个重要的操作:
-
把指定的某个值堆化
-
把堆顶pop,并且使得堆的性质仍然成立
通过第一个操作,我们可以把一个数组改造成一个堆。此外,第二个操作也是建立在第一个操作的基础之上,我们首先把堆定弹掉, 然后依次向下,把较大的子节点拉上来,然后继续继续继续。到了头之后,我们把堆里的最后一个元素填到上一步产生的空洞里, 然后对这个值进行堆化。
我们来看看代码(需要提到的是,假设某个节点index为i,则它的左边子节点的index总是2i + 1,右边的子节点是2i + 2,而父节点的index则为 int((i - 1)/2)):
def merge(c, i): """c is container, i is index to heapify""" while i > 0: parent_index = int((i - 1) / 2) if c[parent_index] < c[i]: c[i], c[parent_index] = c[parent_index], c[i] i = parent_index
然后我们看看怎么借助这个操作构成构建堆的操作:
def insert(c, v): c.append(v) merge(c, len(c) - 1)
我们接下来看如何弹掉堆顶并且继续维持堆的性质:
def extract(c): """pop the upper one and re-heapify""" upper = c[0] length = len(c) # find the bigger one in child i = 0 left = 2 * i + 1 right = 2 * i + 2 while left < length and right < length: if c[left] > c[right]: c[i] = c[left] i = left else: c[i] = c[right] i = right left = 2 * i + 1 right = 2 * i + 2 # so in here, i is the place we need to re-insert c[i] = c.pop() merge(c, i) return upper
我们试试效果:
if __name__ == "__main__": c = [] [insert(c, i) for i in range(10)] print(c) extract(c) print(c)
输出:
$ python heap.py [9, 8, 5, 6, 7, 1, 4, 0, 3, 2] extract: 9 [8, 7, 5, 6, 2, 1, 4, 0, 3]
当然,这只是一个简单地堆的示范。在 Python 中利用堆来进行排序则很简单,因为有标准库:
In [1]: import heapq In [2]: array = [i for i in range(9, -1, -1)] In [3]: array Out[3]: [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0] In [4]: heapq.heapify(array) In [5]: array Out[5]: [0, 1, 3, 2, 5, 4, 7, 9, 6, 8] In [6]: heapq.nsmallest(len(array), array) Out[6]: [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
堆排序的最佳,平均和最差时间复杂度都为 O(nlog(n))
。
快速排序
快排。非常经典,优美的一个排序算法,我们首先介绍朴素算法,然后介绍怎么进行原地快排,然后引入随机化算法。
快排的核心思想是,选一个数字,然后把小于等于它的数字放左边,大于它的放右边。然后分别对左边和右边进行同样的操作。 我们用最简单的Python代码来表示:
def qsort(array): length = len(array) if length == 0: return [] if length == 1: return array pivot = array[0] left = qsort(list(filter(lambda i: i <= pivot, array[1:]))) right = qsort(list(filter(lambda i: i > pivot, array[1:]))) return left + [pivot] + right if __name__ == "__main__": print(qsort([i for i in range(9, -1, -1)]))
当然,这个实现很浪费空间。那怎么进行原地快排呢?首先,我们需要一个pivot,就选定array[0]好了。然后我们用两个下标i和j,
一个下标i用来记录上一个比pivot小的位置;另一个下标j用来记录下一个要遍历的数字。我们的算法是这样的:从左往右遍历 array[1:]
,因为 array[0]
已经被选为了pivot,如果发现当前指向的那个数字比pivot小,或者等于,我们就把 i++ 所在
的数字和j所在的数字交换。这样下来,遍历完成之后,i左边的数字就都小于或者等于pivot,右边则大于。最后我们还需要一步,
就是把pivot和i所在的值交换。
来看看代码:
def qsort(nums, left=None, right=None): length = len(nums) if left is None: left = 0 if right is None: right = length if left == right: return pivot_index = partition(nums, left, right) qsort(nums, left, pivot_index) qsort(nums, pivot_index + 1, right) def partition(nums, left, right): p = nums[left] i, j = left, left + 1 for j in range(left + 1, right): if nums[j] <= p: i += 1 nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i] # exchange these two elems nums[i], nums[left] = nums[left], nums[i] return i if __name__ == "__main__": nums = [i for i in range(9, -1, -1)] qsort(nums) print(nums)
看运行结果:
$ python qsort.py [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
而随机化快排则是在上述代码中的 partition
中加入随机化的步骤:生成一个随机数,然后把随机数所对应的下标和left所在的下标
所在的数字互换。其他的则一样。
快排的最佳和平均时间复杂度为 O(n log(n))
,最差时间复杂度为 O(n ^ 2)
。
基数排序
我们先来看看这样一种排序方式(我们假设参与排序的数字/字符串都是等长,为了方便取值,这一次我们对字符串进行排序):
假设我们有一串字符串组 array = ["zzwt", "uios", "abcd", "efgh", "xyrz"]
,我们首先对每一个字符串的
第一个字母进行排序,然后对第二个字母进行排序,然后对第三个。。。依次类推。很显然,最终我们是可以得到有序字符串组的。
而问题在于,每一次我们都需要记好哪几个字符串是有相同字母的,我们需要借助外部存储来记住。那有没有方法可以不用呢?有。
如果我们从后面往前面排序,保持这样一个规则:如果已经是升序,那么我们就不打乱它。只要这样从右往左过一遍,最终我们就可以 得到一个 有序的数组。参见代码:
def insertion(array, index): length = len(array) if length == 0: raise ValueError("请不要在空数组上使用排序") if length == 1: return array for i in range(1, length): for cursor in range(i, 0, -1): if array[cursor][index] < array[cursor - 1][index]: array[cursor], array[cursor - 1] = array[cursor - 1], array[cursor] def radix(array): for i in range(len(array[0]) - 1, -1, -1): insertion(array, i) if __name__ == "__main__": array = ["zzwt", "uios", "abcd", "efgh", "xyrz"] radix(array) print(array)
仔细想想便知道为什么这样可以:因为我们保证了只要目前已经有序,我们就不会打乱它。所以每当我们从右往左排完一位之后,这一部分 已经有序的字符串组有序的性质会带到下一次排序中,当我们完成整个循环之后,所有的数字都遵循这个性质。
基数排序的最佳,平均和最差时间复杂度都是 O(nk)
。
补充
选择排序
选择排序使用这样一种思想:从左往右开始遍历,假设当前正在遍历i,从i处到数组尾部,找一个最小的值,和i处交换。循环下来之后,
数组便是有序的。很容易理解:当最开始的时候,i = 0,也就是,我们从 array[0:]
中选择一个最小的值,和0处交换,依次类推。
看代码:
def select_sort(array): length = len(array) for i in range(length): smallest = i for j in range(i, length): if array[j] < array[smallest]: smallest = j array[i], array[smallest] = array[smallest], array[i] if __name__ == "__main__": array = [i for i in range(9, -1, -1)] select_sort(array) print(array)
选择排序的最佳,平均和最差时间复杂度都是 O(n ^ 2)
。
归并排序
归并排序是很经典的分治思维。我想把这个留到我总结分治的时候再讲。此处略过。参考: https://en.wikipedia.org/wiki/Merge_sort
TimSort
TimSort是结合了归并排序和插入排序的排序算法,目前在很多标准库中都使用它。不过我还没看完实现,所以在这里知识引申一下。 参考: https://en.wikipedia.org/wiki/Timsort
以上所述就是小编给大家介绍的《算法导论阅读笔记 --- 排序算法》,希望对大家有所帮助,如果大家有任何疑问请给我留言,小编会及时回复大家的。在此也非常感谢大家对 码农网 的支持!
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