内容简介:今天一个同事反应,在使用具体是他给出了一组测试参数,abc 三点为 {261.137939, 8.13000488} , {73.6379318, 8.13000488}, {76.9379349, 10.2300053} ,测试 p 为 {74.4069519 , 8.6193819 } 应该在这个三角形内,但是这个函数计算出来并不是。
今天一个同事反应,在使用 recastnavigation 库时,判断一个点是否在一个三角形内,遇到了精度问题,而且精度误差很大。
具体是 dtClosestHeightPointTriangle 这个函数。
他给出了一组测试参数,abc 三点为 {261.137939, 8.13000488} , {73.6379318, 8.13000488}, {76.9379349, 10.2300053} ,测试 p 为 {74.4069519 , 8.6193819 } 应该在这个三角形内,但是这个函数计算出来并不是。
我看了一下源代码,把这个函数提出来,改写了一点点,方便独立测试。
#include <stdio.h> // #define float double static float dtVdot2D(float v0[2], float v1[2]) { return v0[0] * v1[0] + v0[1] * v1[1]; } static float * dtVsub(float p[2], float v0[2], float v1[2]) { p[0] = v0[0] - v1[0]; p[1] = v0[1] - v1[1]; return p; } static int dtClosestHeightPointTriangle(float p[2], float a[2], float b[2],float c[2], float *h) { float v0[2], v1[2], v2[2]; dtVsub(v0, c,a); dtVsub(v1, b,a); dtVsub(v2, p,a); float dot00 = dtVdot2D(v0, v0); float dot01 = dtVdot2D(v0, v1); float dot02 = dtVdot2D(v0, v2); float dot11 = dtVdot2D(v1, v1); float dot12 = dtVdot2D(v1, v2); // Compute barycentric coordinates float InvDenom = 1.0f / (dot00 * dot11 - dot01 * dot01); float u = (dot11 * dot02 - dot01 * dot12) * InvDenom; float v = (dot00 * dot12 - dot01 * dot02) * InvDenom; // The (sloppy) epsilon is needed to allow to get height of points which // are interpolated along the edges of the triangles. float EPS = 1e-4f; // If point lies inside the triangle, return interpolated ycoord. if (u >= -EPS && v >= -EPS && (u+v) <= 1+EPS) { *h = a[1] + (v0[1]*u + v1[1]*v); return 1; } return 0; } int main() { float a[2] = {261.137939, 8.13000488}; float b[2] = {73.6379318, 8.13000488}; float c[2] = {76.9379349, 10.2300053}; float p[2] = {74.4069519 , 8.6193819 }; float h; int r = dtClosestHeightPointTriangle(p, a, b, c, &h); printf("%d %f\n", r, h); return 0; }
如果你在前面加上 #define float double ,把所有 float 换成双精度,那么测试是可以通过的。
我认为问题出在 dot00 * dot11 - dot01 * dot01 这样的运算上。dot00 点乘已经是单个量的平方,在测试数据中,大约这个量会是 261 - 73 = 188 ,小数点前大约是 8bit 的信息含量,如果我们计算 dot00 * dot11 ,差不多会得到一个这个量的 4 次方的结果,也就是 28bit ~ 32bit 之间。
但是 float 本身的有效精度才 23bit ,对一个 2^32 的数字做加减法,本身的误差就可能在 2 ~ 2^9 左右,这个误差是相当巨大的。
这段程序一个明显可以改进的地方是把乘 InvDenom 从 u v 中去掉。那么代码应该写成:
float Denom = (dot00 * dot11 - dot01 * dot01); float u = (dot11 * dot02 - dot01 * dot12); float v = (dot00 * dot12 - dot01 * dot02); float EPS = 1e-4f * Denom ; // If point lies inside the triangle, return interpolated ycoord. if (u >= -EPS && v >= -EPS && (u+v) <= Denom+EPS) { *h = a[1] + (v0[1]*u + v1[1]*v) / Denom; return 1; }
光这样写还是不够,其实我们应该进一步把 dot00 * dot11 - dot01 * dot01 展开为 (v0[0] * v1[1] - v0[1] * v1[0]) * (v0[0] * v1[1] - v1[0] * v0[1]) 。这样,就不会在四次方的基础上再做加减法,而是在二次方的基础上先做加减,再做乘法。这样就最大化的保持了精度。
我优化过的函数是这样的:
static int dtClosestHeightPointTriangle(float p[2], float a[2], float b[2],float c[2], float *h) { float v0[2], v1[2], v2[2]; dtVsub(v0, c,a); dtVsub(v1, b,a); dtVsub(v2, p,a); float Denom = (v0[0] * v1[1] - v0[1] * v1[0]) * (v0[0] * v1[1] - v1[0] * v0[1]); float EPS = - 1e-4f * Denom; float u = (v1[0] * v2[1] - v1[1] * v2[0]) * (v1[0] * v0[1] - v0[0] * v1[1]); if (u < EPS) return 0; float v = (v0[0] * v2[1] - v0[1] * v2[0]) * (v0[0] * v1[1] - v1[0] * v0[1]); if (v >= EPS && (u+v) <= Denom - EPS) { *h = a[1] + (v0[1]*u + v1[1]*v) / Denom; return 1; } return 0; }
最后这个优化版本可以通过测试。
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