0.1+0.2 !== 0.3？

众所周知，JavaScript在计算某些浮点数的运算时会出现精度的丢失，比如你在控制台输入 0.1+0.2 ，得到的结果是 0.30000000000000004 而不是 0.3 ，原因是什么？

世界上有两种人，懂二进制和不懂二进制的人

我们知道，计算机里所有的数据最终都是以二进制保存的，当然数字也一样。所以当计算机计算 0.1+0.2 的时候，实际上计算的是这两个数字在计算机里所存储的二进制，那么 0.1 在JavaScript里存储的二进制到底是多少？ 我们先根据十进制转二进制的方法，把 0.1 转化为二进制是： 0.0001100110011001100... （1100循环），然后把 0.2 转化为二进制是： 0.00110011001100... （1100循环）。 我们发现，它们都是无限循环的二进制。显然，计算机当然不会用自己“无限的空间”去存储这些无限循环的二进制数字。那对于这类数据该怎么办？

JavaScript如何存储无限循环的二进制小数？

不同的语言有不同的存储标准，这里我们暂且只讨论JavaScript的存储标准。JavaScript中所用的数字包括整数和小数，都只有一种类型就是 Number ，它的实现遵循IEEE 754标准，使用64位固定长度来表示，也就是标准的double双精度浮点数（相关的还有float 32位单精度），具体的双精度浮点数的存储方式这里不再赘述（可以看后面章节的详细描述），我们只需要知道，在二进制科学表示法中，双精度浮点的小数部分最多只能保留52位（比如 1.xxx...*2^n ,这里 x 最多保留52位），再回过头看 0.1 的二进制表示：

0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011001 10011...
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空格前为第53个有效数字，如何舍去后面的数字，这里遵从“0舍1入”，那么舍去之后实际上就是：

0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011010
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同理我们得到 0.2 的舍去之后实际存储的二进制为：

0.0011001100110011001100110011001100110011001100110011010
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二者相加：

0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011010 +
0.0011001100110011001100110011001100110011001100110011010 =
0.0100110011001100110011001100110011001100110011001100111
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我们把结果根据公式或者 工具 转为十进制：

可以看到结果正好为： 0.30000000000000004 。

注：大多数语言中的小数默认都是遵循 IEEE 754 的 float 浮点数，包括 Java 、 Ruby 、Python，本文中的浮点数问题同样存在。

浮点数是如何保存的

在计算机中，浮点表示法，分为三大部分：

• 第一部分用来存储符号位（sign），用来区分正负数，0表示正数
• 第二部分用来存储指数（exponent）
• 第三部分用来存储小数（fraction）

双精度浮点数一共占据64位：

• 符号位（sign）占用1位
• 指数位（exponent）占用11位
• 小数位（fraction）占用52位

这里的符号位、指数位、小数位跟二进制是如何联系在一起呢？ 我们以 78.735 为例

最后的的 1.001110011*2^6 我们称为二进制的科学记数法，这个实数由一个整数或定点数（即尾数）乘以某个基数（计算机中通常是2）的整数次幂得到，这就叫 浮点数 。 我们对号入座，先把指数部分 6 转化为二进制是 110

，最终为：

0(sign) 00000000110(exponent) 00111001 10000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000
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（这是错误的，具体为什么错，继续看下文）

我们再根据双精度规范，来看看上文提到的 0.1 到底是如何存储的，我们已知它的二进制是：

0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011001 10011...
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转化为科学表示法就是：

1.1001100110011001100110011001100110011001100110011001*2^-2
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也就是说 0.1 的：

0
1001100110011001100110011001100110011001100110011001
-2

到这里我就懵逼了， -2 怎么转为二进制呢，虽然双精度浮点规范规定了一个符号位，但是这个符号位表示的是整个数据的正负，而非指数的正负，难道还要保留一位专门存储指数的正负吗？答案是否定的，为了减少不必要的麻烦，IEEE规定了一个偏移量，这个偏移量是干嘛用的呢，就是对于指数部分，每次都加这个偏移量进行保存，这样即使指数是负数，那么加上这个偏移量也变为正数啦。为了使所有的负指数加上这个偏移量都能够变为正数，这个偏移量的设置也是有规律的。 以double双精度为例，我们知道它的指数部分是二进制的11位，那么能够表示的数据范围就是 0~2047 ，IEEE规定一个大概在中间数的位置 1023 为双精度的偏移量。

1. 当指数位不全是0也不全是1时(规格化的数值),IEEE规定,阶码计算公式为 e-Bias 。 此时e最小值是1,则 1-1023= -1022 ，e最大值是 2046 ，则 2046-1023=1023 ，可以看到,这种情况下取值范围是 -1022~1013 。
2. 当指数位全部是0的时候(非规格化的数值)，IEEE规定，阶码的计算公式为 1-Bias ，即 1-1023= -1022 。
3. 当指数位全部是1的时候(特殊值)，IEEE规定这个浮点数可用来表示3个特殊值，分别是正无穷，负无穷， NaN(not a number) 。 具体的，小数位不为0的时候表示NaN；小数位为0时，当符号位s=0时表示正无穷，s=1时候表示负无穷。

这个时候我们再看 78.735 的指数部分如何存储，需要 6+1023 就是 1029 ，转化为二进制就是： 10000000101 ，所以 78.735 正确存储方式为：

0 10000000101 00111001 10000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000
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同理，你是否也知道 0.1 的双精度的浮点存储形式了呢？

浮点数值的范围

如果你认真读到了这里，想必你应该能推算出JavaScript的所能表示的数值范围了吧。 e的最大值是1023。 1.111..(52位)..11*2^1023 转为普通二进制就是：

1 111..(52位)..11 000..(1023-52就是971位)..00
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把二进制转为十进制就是：

我们会发现这个值和 Number.MAX_VALUE 的值一致，都是 1.7976931348623157e+308 。 但实际上这个值还不算最大，比如我们在此数值基础上继续加一些数，发现并没有返回 Infinity

。

所以 Number.MAX_VALUE 和 Infinity 之间还存在一些数，根据IEEE规范我们可以得知，正无穷当且是指数部分全为1(指数部分的最大值 Math.pow(2,11)-1-1023 == 1024

)，小数部分为0的时候，就是：

1.000...*2^1024
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所以 Math.pow(2,1024) 就是正无穷，那么其实JavaScript所能存储的最大数字是 Math.pow(2,1024)-1 。 但是 Number.MAX_VALUE 和 Math.pow(2,1024) 之间的数据我们无法正常表示出来，精度会丢失。 同理也可推算最小数。

JavaScript的安全最大整数

所谓安全范围，就是我们在这个范围内计算不会出现精度的丢失。 根据双精度的定义，可以得知，最大的安全整数：

1.11..(52位)*2^52
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转为十进制就是 Math.pow(2,53)-1 ，即 9007199254740991 。