功能编程 – 在函数式编程中是否还有任何代数结构,而不是单一的？

我最近知道函数式编程(在Haskell和Scala中).它的功能和优雅是相当迷人.

但是当我遇到一个名叫Monoid的代数结构的Monads时,我很惊讶,很高兴看到我从数学中学到的理论知识在编程中得到了应用.

这个观察在我的脑海中引起了一个问题：组织,领域或环(参见 Algebraic Structures 为其他人)可以在编程中用于更多的抽象和代码重用目的,并实现数学相似的编程？

我知道,这个名为 Fortress 的语言(当编译器完成时,我一定会喜欢任何语言一次)在库代码中定义了这些结构.但是目前为止,我看到的仅仅是我们已经熟悉的数字类型.他们会有其他用途吗？

最好的祝福,

ciun

您可以建模许多结构.这是一个组：

class Group a where
    mult :: a -> a -> a
    identity :: a
    inverse :: a -> a

instance Group Integer where
    mult = (+)
    identity = 0
    inverse = negate

-- S_3 (group of all bijections of a 3-element set)
data S3 = ABC | ACB | BAC | BCA | CAB | CBA
instance Group S3 where
    mult ABC x = x
    ... -- some boring code
    identity = ABC
    inverse ABC = ABC
    ... -- remaining cases

-- Operations on groups. Dual:
data Dual a = Dual { getDual :: a }
instance Group a => Group (Dual a) where
    mult (Dual x) (Dual y) = Dual (mult y x)
    identity = Dual identity
    inverse (Dual x) = Dual (inverse x)

-- Product:
instance (Group a, Group b) => Group (a,b) where
    mult (x,y) (z,t) = (x `mult` z, y `mult` t)
    identity = (identity, identity)
    inverse (x,y) = (inverse x, inverse y)

现在,您可以编写多(双CAB,5)(双CBA,1)并获得结果.这将是组S3 *⨯Z中的计算.您可以添加其他组,以任何可能的方式组合它们,并与它们进行计算.

类似的事情可以通过环,字段,排序,向量空间,类别等来完成.Haskell的数字层次结构不幸的是被模仿,但是有一个 numeric prelude 尝试修复它.还有 DoCon 把它带到极限.对于类型课程(主要由类别理论推动),有 Typeclassopedia 具有大量示例和应用程序.