内容简介：今天在 leetcode 做动态规划的题, 做到一道整数划分的题目如下这个用动态规划很容易写出代码如下,后来想到, 这不就是均值不等式吗? 给定和, 求积最大, 即
今天在 leetcode 做动态规划的题, 做到一道整数划分的题目如下
Given a positive integer n, break it into the sum of at least two positive integers and maximize the product of those integers. Return the maximum product you can get.
Example 1:
Input: 2 Output: 1 Explanation: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1.
这个用动态规划很容易写出代码如下,
class Solution: def integerBreak(self, n): """ :type n: int :rtype: int """ self.dic={1:1} for i in range(2,n+1): mx = 1 for j in range(1,i): prod = j*self.dic[i-j] mx =max(mx,prod,j*(i-j)) self.dic[i] = mx return self.dic[n]
后来想到, 这不就是均值不等式吗? 给定和, 求积最大, 即
如果先不考虑整数的话,易知当所有数相等时最大,但是注意这里并不知道数的个数 k, 所以设各个数为 x, 有 n/x个
要求出 x, 可以用导数. 各个数的积即为 $x^{\frac{n}{x}}$, 求其最大值
求导得
易知当 x = e 的时候函数 f(x)有最大值
下面考虑整数, x=2 或者 3
即比较 $2^{\frac{n}{2}}$, $3^{\frac{n}{3}}$
的增长速度, 这很简单了, 其实都是指数函数, 换个形式即为
$\sqrt{2}^{n}$, $\sqrt[3]{3}^{n}$
由于 n > 0 , 底数大的增长快,
计算得
$\sqrt{2} = 1.414, \sqrt[3]{3} = 1.442$
所以, 尽量将整数 n 分成 3即可,
于是原题目有了下面的非动态规划解法
class Solution(object): def integerBreak(self, n): """ :type n: int :rtype: int """ if n<5: return [0, 0, 1, 2, 4][n] x = n % 3 if x == 0: return 3 ** (n // 3) if x == 1: return 3 ** (n // 3 - 1) * 4 return 3 ** (n // 3) * 2
本来是个很简单的题, 但是给我的感觉就是:
动态规划是种系统的方法, 它依靠计算机的算力对问题直接求解, 不用了解其背后的数学原理.
而有时候, 如果我们跳出常规思维, 思考问题背后的数学规律, 就可能发现更加好的解法. 更加完备,快速, 健壮.
以上就是本文的全部内容，希望本文的内容对大家的学习或者工作能带来一定的帮助，也希望大家多多支持 码农网
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