数据结构和算法面试题系列—递归算法总结

前面总结了随机算法，这次再把以前写的递归算法的文章梳理一下，这篇文章主要是受到宋劲松老师写的《Linux C编程》的递归章节启发写的。最能体现算法精髓的非递归莫属了，希望这篇文章对初学递归或者对递归有困惑的朋友们能有所帮助，如有错误，也恳请各路大牛指正。二叉树的递归示例代码请参见仓库的 binary_tree 目录，本文其他代码在 这里 。

1 递归算法初探

本段内容主要摘自《linux C一站式编程》，作者是宋劲松老师，这是我觉得目前看到的国内关于 Linux C编程 的最好的技术书籍之一，强烈推荐下！

关于递归的一个简单例子是求整数阶乘， n!=n*(n-1)!，0!=1 。则可以写出如下的递归程序：

int factorial(int n)
{
	if (n == 0)
		return 1;
	else {
		int recurse = factorial(n-1);
		int result = n * recurse;
		return result;
	}
}
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factorial这个函数就是一个递归函数，它调用了它自己。自己直接或间接调用自己的函数称为递归函数。 如果觉得迷惑，可以把 factorial(n-1) 这一步看成是在调用另一个函数－－另一个有着相同函数名和相同代码的函数，调用它就是跳到它的代码里执行，然后再返回 factorial(n-1) 这个调用的下一步继续执行。

为了证明递归算法的正确性，我们可以一步步跟进去看执行结果。记得刚学递归算法的时候，老是有丈二和尚摸不着头脑的感觉，那时候总是想着把递归一步步跟进去看执行结果。递归层次少还算好办，但是层次一多，头就大了，完全不知道自己跟到了递归的哪一层。比如求阶乘，如果只是factorial(3)跟进去问题还不大，但是若是factorial(100)要跟进去那真的会烦死人。

事实上，我们并不是每个函数都需要跟进去看执行结果的，比如我们在自己的函数中调用printf函数时，并没有钻进去看它是怎么打印的，因为我们相信它能完成打印工作。我们在写factorial函数时有如下代码：

int recurse = factorial(n-1);
int result = n * recurse;
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这时，如果我们相信factorial是正确的，那么传递参数为n-1它就会返回(n-1)!，那么result=n*(n-1)!=n!，从而这就是factorial(n)的结果。

当然这有点奇怪：我们还没写完factorial这个函数，凭什么要相信factorial(n-1)是正确的？ 如果你相信你正在写的递归函数是正确的，并调用它，然后在此基础上写完这个递归函数，那么它就会是正确的，从而值得你相信它正确。

这么说还是有点玄乎，我们从数学上严格证明一下 factorial 函数的正确性。刚才说了， factorial(n) 的正确性依赖于 factorial(n-1) 的正确性，只要后者正确，在后者的结果上乘个 n 返回这一步显然也没有疑问，那么我们的函数实现就是正确的。因此要证明 factorial(n) 的正确性就是要证明 factorial(n-1) 的正确性，同理，要证明 factorial(n-1) 的正确性就是要证明 factorial(n-2) 的正确性，依此类推下去，最后是：要证明 factorial(1) 的正确性就是要证明 factorial(0) 的正确性。而 factorial(0) 的正确性不依赖于别的函数调用，它就是程序中的一个小的分支 return 1; 这个 1 是我们根据阶乘的定义写的，肯定是正确的，因此 factorial(1) 的实现是正确的，因此 factorial(2) 也正确，依此类推，最后 factorial(n) 也是正确的。

其实这就是在中学时学的数学归纳法，用数学归纳法来证明只需要证明两点：Base Case正确，递推关系正确。写递归函数时一定要记得写Base Case，否则即使递推关系正确，整个函数也不正确。如果 factorial 函数漏掉了Base Case，那么会导致无限循环。

2 递归经典问题

从上一节的一个关于求阶乘的简单例子的论述，我们可以了解到递归算法的精髓： 要从功能上理解函数，同时你要相信你正在写的函数是正确的，在此基础上调用它，那么它就是正确的。 下面就从几个常见的算法题来看看如何理解递归，这是我的一些理解，欢迎大家提出更好的方法。

2.1）汉诺塔问题

题：汉诺塔问题是个常见问题，就是说有n个大小不等的盘子放在一个塔A上面，自底向上按照从小到大的顺序排列。要求将所有n个盘子搬到另一个塔C上面，可以借助一个塔B中转，但是要满足任何时刻大盘子不能放在小盘子上面。

解：基本思想分三步，先把上面的 N-1 个盘子经 C 移到 B，然后将最底下的盘子移到 C，再将 B 上面的N-1个盘子经 A 移动到 C。总的时间复杂度 f(n)=2f(n-1)+1 ，所以 f(n)=2^n-1 。

/**
 * 汉诺塔
 */
void hano(char a, char b, char c, int n) {
    if (n <= 0) return;

    hano(a, c, b, n-1);
    move(a, c);
    hano(b, a, c, n-1);
}

void move(char a, char b)
{
    printf("%c->%c\n", a, b);
}
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2.2）求二叉树的深度

这里的深度指的是二叉树从根结点到叶结点最大的高度，比如只有一个结点，则深度为1，如果有N层，则高度为N。

int depth(BTNode* root)  
{  
    if (root == NULL)  
        return 0;  
    else {  
        int lDepth = depth(root->left);  //获取左子树深度  
        int rDepth = depth(root->right); //获取右子树深度  
        return lDepth>rDepth? lDepth+1: rDepth+1; //取较大值+1即为二叉树深度  
    }  
}  
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那么如何从功能上理解 depth 函数呢？我们可以知道定义该函数的目的就是求二叉树深度，也就是说我们要是完成了函数 depth ，那么 depth(root) 就能正确返回以 root 为根结点的二叉树的深度。因此我们的代码中 depth(root->left) 返回左子树的深度，而 depth(root->right) 返回右子树的深度。尽管这个时候我们还没有写完 depth 函数，但是我们相信 depth 函数能够正确完成功能。因此我们得到了 lDepth 和 rDepth ，而后通过比较返回较大值加1为二叉树的深度。

如果不好理解，可以想象在 depth 中调用的函数 depth(root->left) 为另外一个同样名字完成相同功能的函数，这样就好理解了。注意 Base Case，这里就是当 root==NULL 时，则深度为0，函数返回0。

2.3）判断二叉树是否平衡

一颗平衡的二叉树是指其任意结点的左右子树深度之差不大于1。判断一棵二叉树是否是平衡的，可以使用递归算法来实现。

int isBalanceBTTop2Down(BTNode *root)
{
    if (!root) return 1;

    int leftHeight = btHeight(root->left);
    int rightHeight = btHeight(root->right);
    int hDiff = abs(leftHeight - rightHeight);

    if (hDiff > 1) return 0;

    return isBalanceBTTop2Down(root->left) && isBalanceBTTop2Down(root->right);
}
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该函数的功能定义是二叉树 root 是平衡二叉树，即它所有结点的左右子树深度之差不大于1。首先判断根结点是否满足条件，如果不满足，则直接返回 0。如果满足，则需要判断左子树和右子树是否都是平衡二叉树，若都是则返回1，否则0。

2.4）排列算法

排列算法也是递归的典范，记得当初第一次看时一层层跟代码，头都大了，现在从函数功能上来看确实好理解多了。先看代码：

/**
 * 输出全排列，k为起始位置，n为数组大小
 */
void permute(int a[], int k, int n)
{
    if (k == n-1) {
        printIntArray(a, n); // 输出数组
    } else {
        int i;
        for (i = k; i < n; i++) {
            swapInt(a, i, k); // 交换
            permute(a, k+1, n); // 下一次排列
            swapInt(a, i, k); // 恢复原来的序列
        }
    }
}
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首先明确的是 perm(a, k, n) 函数的功能:输出数组 a 从位置 k 开始的所有排列，数组长度为 n。这样我们在调用程序的时候，调用格式为 perm(a, 0, n) ，即输出数组从位置 0 开始的所有排列，也就是该数组的所有排列。基础条件是 k==n-1 ，此时已经到达最后一个元素，一次排列已经完成，直接输出。否则，从位置k开始的每个元素都与位置k的值交换(包括自己与自己交换)，然后进行下一次排列，排列完成后记得恢复原来的序列。

假定数组a大小N=3，则程序调用 perm(a, 0, 3) 可以如下理解： 第一次交换 0，0，并执行perm(a, 1, 3)，执行完再次交换0，0，数组此时又恢复成初始值。 第二次交换 1，0（注意数组此时是初始值），并执行perm(a, 1, 3), 执行完再次交换1，0，数组此时又恢复成初始值。 第三次交换 2，0，并执行perm(a, 1, 3)，执行完成后交换2，0，数组恢复成初始值。

也就是说，从功能上看，首先确定第0个位置，然后调用perm(a, 1, 3)输出从1开始的排列，这样就可以输出所有排列。而第0个位置可能的值为a[0], a[1],a[2]，这通过交换来保证第0个位置可能出现的值，记得每次交换后要恢复初始值。

如数组 a={1,2,3} ，则程序运行输出结果为： 1 2 3 ，1 3 2 ，2 1 3 ，2 3 1 ，3 2 1 ，3 1 2 。即先输出以1为排列第一个值的排列，而后是2和3为第一个值的排列。

2.5）组合算法

组合算法也可以用递归实现，只是它的原理跟0-1背包问题类似。即要么选要么不选，注意不能选重复的数。完整代码如下：

/*
 * 组合主函数，包括选取1到n个数字
 */ 
void combination(int a[], int n)
{
    int *select = (int *)calloc(sizeof(int), n); // select为辅助数组，用于存储选取的数
    int k;
    for (k = 1; k <= n; k++) {
        combinationUtil(a, n, 0, k, select);
    }
}

/*
 * 组合 工具 函数：从数组a从位置i开始选取k个数
 */
void combinationUtil(int a[], int n, int i, int k, int *select)
{
    if (i > n) return; //位置超出数组范围直接返回，否则非法访问会出段错误

    if (k == 0) {  //选取完了，输出选取的数字
        int j;
        for (j = 0; j < n; j++) {
            if (select[j])
                printf("%d ", a[j]);
        }
        printf("\n");
    } else {
        select[i] = 1;  
        combinationUtil(a, n, i+1, k-1, select); //第i个数字被选取，从后续i+1开始选取k-1个数
        select[i] = 0;
        combinationUtil(a, n, i+1, k, select); //第i个数字不选，则从后续i+1位置开始还要选取k个数
    }
}
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2.6) 逆序打印字符串

这个比较简单，代码如下：

void reversePrint(const char *str) 
{
    if (!*str)
        return;

    reversePrint(str + 1);
    putchar(*str);
}
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2.7) 链表逆序

链表逆序通常我们会用迭代的方式实现，但是如果要显得特立独行一点，可以使用递归，如下，代码请见仓库的 aslist 目录。

/**
 * 链表逆序，递归实现。
 */
ListNode *listReverseRecursive(ListNode *head)
{
    if (!head || !head->next) {
        return head;
    }

    ListNode *reversedHead = listReverseRecursive(head->next);
    head->next->next = head;
    head->next = NULL;
    return reversedHead;
}
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