数据结构和算法面试题系列—排序算法之基础排序

排序算法也是面试中常常提及的内容，问的最多的应该是快速 排序 、堆排序。这些 排序算法 很基础，但是如果平时不怎么写代码的话，面试的时候总会出现各种bug。虽然思想都知道，但是就是写不出来。本文打算对各种排序算法进行一个汇总，包括插入排序、冒泡排序、选择排序、计数排序、归并排序，基数排序、桶排序、快速排序等。快速排序比较重要，会单独写一篇，而堆排序见本系列的二叉堆那篇文章即可。

需要提到的一点就是：插入排序，冒泡排序，归并排序，计数排序都是稳定的排序，而其他排序则是不稳定的。本文完整代码在 这里 。

1 插入排序

插入排序是很基本的排序，特别是在数据基本有序的情况下，插入排序的性能很高，最好情况可以达到 O(N) ，其最坏情况和平均情况时间复杂度都是 O(N^2) 。代码如下：

/**
 * 插入排序
 */
void insertSort(int a[], int n)
{
    int i, j;
    for (i = 1; i < n; i++) {
        /*
         * 循环不变式：a[0...i-1]有序。每次迭代开始前，a[0...i-1]有序，
         * 循环结束后i=n，a[0...n-1]有序
         * */
        int key = a[i];
        for (j = i; j > 0 && a[j-1] > key; j--) {
            a[j] = a[j-1];
        }
        a[j] = key;
    }
}
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2 希尔排序

希尔排序内部调用插入排序来实现，通过对 N/2，N/4...1 阶分别排序，最后得到整体的有序。

/**
 * 希尔排序
 */
void shellSort(int a[], int n)
{
    int gap;
    for (gap = n/2; gap > 0; gap /= 2) {
        int i;
        for (i = gap; i < n; i++) {
            int key = a[i], j;
            for (j = i; j >= gap && key < a[j-gap]; j -= gap) {
                a[j] = a[j-gap];
            }
            a[j] = key;
        }
    }
}
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3 选择排序

选择排序的思想就是第i次选取第i小的元素放在位置i。比如第1次就选择最小的元素放在位置0，第2次选择第二小的元素放在位置1。选择排序最好和最坏时间复杂度都为 O(N^2) 。代码如下：

/**
 * 选择排序
 */
void selectSort(int a[], int n)
{
    int i, j, min, tmp;
    for (i = 0; i < n-1; i++) {
        min = i;
        for (j = i+1; j < n; j++) {
            if (a[j] < a[min])
                min = j;
        }
        if (min != i)
            tmp = a[i], a[i] = a[min], a[min] = tmp; //交换a[i]和a[min]
    }
}
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循环不变式：在外层循环执行前， a[0...i-1] 包含 a 中最小的 i 个数，且有序。

• 初始时， i=0 ， a[0...-1] 为空，显然成立。

• 每次执行完成后， a[0...i] 包含 a 中最小的 i+1 个数，且有序。即第一次执行完成后， a[0...0] 包含 a 最小的 1 个数，且有序。

• 循环结束后， i=n-1 ，则 a[0...n-2] 包含 a 最小的 n-1 个数，且已经有序。所以整个数组有序。

4 冒泡排序

冒泡排序时间复杂度跟选择排序相同。其思想就是进行 n-1 趟排序，每次都是把最小的数上浮，像鱼冒泡一样。最坏情况为 O(N^2) 。代码如下：

/**
 * 冒泡排序-经典版
 */
void bubbleSort(int a[], int n)
{
    int i, j, tmp;
    for (i = 0; i < n; i++) {
        for (j = n-1; j >= i+1; j--) {
            if (a[j] < a[j-1])
                tmp = a[j], a[j] = a[j-1], a[j-1] = tmp;
        }
    }
}
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循环不变式：在循环开始迭代前，子数组 a[0...i-1] 包含了数组 a[0..n-1] 的 i-1 个最小值，且是排好序的。

对冒泡排序的一个改进就是在每趟排序时判断是否发生交换，如果一次交换都没有发生，则数组已经有序，可以不用继续剩下的趟数直接退出。改进后代码如下：

/**
 * 冒泡排序-优化版
 */
void betterBubbleSort(int a[], int n)
{
    int tmp, i, j;
    for (i = 0; i < n; i++) {
        int sorted = 1;
        for (j = n-1; j >= i+1; j--) {
            if (a[j] < a[j-1]) {
                tmp = a[j], a[j] = a[j-1], a[j-1] = tmp;
                sorted = 0;
            }   
        }   
        if (sorted)
            return ;
    }   
}
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5 计数排序

假定数组为 a[0...n-1] ，数组中存在重复数字，数组中最大数字为k，建立两个辅助数组 b[] 和 c[] ， b[] 用于存储排序后的结果， c[] 用于存储临时值。时间复杂度为 O(N) ，适用于数字范围较小的数组。

计数排序原理如上图所示，代码如下：

/**
 * 计数排序
 */
void countingSort(int a[], int n) 
{
    int i, j;
    int *b = (int *)malloc(sizeof(int) * n);
    int k = maxOfIntArray(a, n); // 求数组最大元素
    int *c = (int *)malloc(sizeof(int) * (k+1));  //辅助数组

    for (i = 0; i <= k; i++)
        c[i] = 0;

    for (j = 0; j < n; j++)
        c[a[j]] = c[a[j]] + 1; //c[i]包含等于i的元素个数

    for (i = 1; i <= k; i++)
        c[i] = c[i] + c[i-1];  //c[i]包含小于等于i的元素个数

    for (j = n-1; j >= 0; j--) {  // 赋值语句
        b[c[a[j]]-1] = a[j]; //结果存在b[0...n-1]中
        c[a[j]] = c[a[j]] - 1;
    }

    /*方便测试代码，这一步赋值不是必须的*/
    for (i = 0; i < n; i++) {
        a[i] = b[i];
    }

    free(b);
    free(c);
}
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扩展：如果代码中的给数组 b[] 赋值语句 for (j=n-1; j>=0; j--) 改为 for(j=0; j<=n-1; j++) ，该代码仍然正确，只是排序不再稳定。

6 归并排序

归并排序通过分治算法，先排序好两个子数组，然后将两个子数组归并。时间复杂度为 O(NlgN） 。代码如下：

/*
 * 归并排序-递归
 * */
void mergeSort(int a[], int l, int u) 
{
    if (l < u) {
        int m = l + (u-l)/2;
        mergeSort(a, l, m);
        mergeSort(a, m + 1, u);
        merge(a, l, m, u);
    }
}
 
/**
 * 归并排序合并函数
 */
void merge(int a[], int l, int m, int u) 
{
    int n1 = m - l + 1;
    int n2 = u - m;

    int left[n1], right[n2];
    int i, j;
    for (i = 0; i < n1; i++) /* left holds a[l..m] */
        left[i] = a[l + i];

    for (j = 0; j < n2; j++) /* right holds a[m+1..u] */
        right[j] = a[m + 1 + j];

    i = j = 0;
    int k = l;
    while (i < n1 && j < n2) {
        if (left[i] < right[j])
            a[k++] = left[i++];
        else
            a[k++] = right[j++];
    }
    while (i < n1) /* left[] is not exhausted */
        a[k++] = left[i++];
    while (j < n2) /* right[] is not exhausted */
        a[k++] = right[j++];
}
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扩展：归并排序的非递归实现怎么做？

归并排序的非递归实现其实是最自然的方式，先两两合并，而后再四四合并等，就是从底向上的一个过程。代码如下：

/**
 * 归并排序-非递归
 */
void mergeSortIter(int a[], int n)
{
    int i, s=2;
    while (s <= n) {
        i = 0;
        while (i+s <= n){
            merge(a, i, i+s/2-1, i+s-1);
            i += s;
        }

        //处理末尾残余部分
        merge(a, i, i+s/2-1, n-1);
        s*=2;
    }
    //最后再从头到尾处理一遍
    merge(a, 0, s/2-1, n-1);
}
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7 基数排序、桶排序

基数排序的思想是对数字每一位分别排序（注意这里必须是稳定排序，比如计数排序等，否则会导致结果错误），最后得到整体排序。假定对 N 个数字进行排序，如果数字有 d 位，每一位可能的最大值为 K ，则每一位的稳定排序需要 O(N+K) 时间，总的需要 O(d(N+K)) 时间，当 d 为常数， K=O(N) 时，总的时间复杂度为O(N)。

而桶排序则是在输入符合均匀分布时，可以以线性时间运行，桶排序的思想是把区间 [0，1) 划分成 N 个相同大小的子区间，将 N 个输入均匀分布到各个桶中，然后对各个桶的链表使用插入排序，最终依次列出所有桶的元素。

这两种排序使用场景有限，代码就略过了，更详细可以参考《算法导论》的第8章。