数据结构和算法面试题系列-二叉堆

本文要描述的堆是二叉堆。二叉堆是一种数组对象，可以被视为一棵完全二叉树，树中每个结点和数组中存放该结点值的那个元素对应。树的每一层都是填满的，最后一层除外。二叉堆可以用于实现堆排序，优先级队列等。本文代码地址在 这里 。

1 二叉堆定义

使用数组来实现二叉堆，二叉堆两个属性，其中 LENGTH(A) 表示数组 A 的长度，而 HEAP_SIZE(A) 则表示存放在A中的堆的元素个数，其中 LENGTH(A) <= HEAP_SIZE(A) ，也就是说虽然 A[0,1,...N-1] 都可以包含有效值，但是 A[HEAP_SIZE(A)-1] 之后的元素不属于相应的堆。

二叉堆对应的树的根为 A[0] ，给定某个结点的下标 i ，可以很容易计算它的父亲结点和儿子结点。 注意在后面的示例图中我们标注元素是从1开始计数的，而实现代码中是从0开始计数。

#define PARENT(i) ( i > 0 ? (i-1)/2 : 0)
#define LEFT(i) (2 * i + 1)
#define RIGHT(i) (2 * i + 2)
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注：堆对应的树每一层都是满的，所以一个高度为 h 的堆中，元素数目最多为 1+2+2^2+...2^h = 2^(h+1) - 1 (满二叉树)，元素数目最少为 1+2+...+2^(h-1) + 1 = 2^h 。 由于元素数目 2^h <= n <= 2^(h+1) -1 ，所以 h <= lgn < h+1 ，因此 h = lgn 。即一个包含n个元素的二叉堆高度为 lgn 。

2 保持堆的性质

本文主要建立一个最大堆，最小堆原理类似。为了保持堆的性质， maxHeapify(int A[], int i) 函数让堆数组 A 在最大堆中下降，使得以 i 为根的子树成为最大堆。

void maxHeapify(int A[], int i, int heapSize)
{
    int l = LEFT(i);
    int r = RIGHT(i);

    int largest = i;

    if (l <= heapSize-1 && A[l] > A[i]) {
        largest = l;
    }

    if (r <= heapSize-1 && A[r] > A[largest]) {
        largest = r;
    }

    if (largest != i) { // 最大值不是i，则需要交换i和largest的元素，并递归调用maxHeapify。
        swapInt(A, i, largest);
        maxHeapify(A, largest, heapSize);
    }
}
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• 在算法每一步里，从元素 A[i] 和 A[left] 以及 A[right] 中选出最大的，将其下标存在 largest 中。如果 A[i] 最大，则以 i 为根的子树已经是最大堆，程序结束。

• 否则， i 的某个子结点有最大元素，将 A[i] 与 A[largest] 交换，从而使i及其子女满足最大堆性质。此外，下标为 largest 的结点在交换后值变为 A[i] ，以该结点为根的子树又有可能违反最大堆的性质，所以要对该子树递归调用 maxHeapify() 函数。

当 maxHeapify() 函数作用在一棵以 i 为根结点的、大小为 n 的子树上时，运行时间为调整 A[i] 、 A[left] 、 A[right] 的时间 O(1) ，加上对以 i 为某个子结点为根的子树递归调用 maxHeapify 的时间。 i 结点为根的子树大小最多为 2n/3 (最底层刚好半满的时候)，所以可以推得 T(N) <= T(2N/3) + O(1) ，所以 T(N)=O(lgN) 。

下图是一个运行 maxHeapify(heap, 2) 的例子。 A[] = {16, 4, 10, 14, 7, 9, 3, 2, 8, 1} ，堆大小为 10 。

3 建立最大堆

我们可以知道，数组 A[0, 1, ..., N-1] 中， A[N/2, ..., N-1] 的元素都是树的叶结点。如上面图中的 6-10 的结点都是叶结点。每个叶子结点可以看作是只含一个元素的最大堆，因此我们只需要对其他的结点调用 maxHeapify() 函数即可。

void buildMaxHeap(int A[], int n)
{
    int i;
    for (i = n/2-1; i >= 0; i--) {
        maxHeapify(A, i, n);
    }
}
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之所以这个函数是正确的，我们需要来证明一下，可以使用循环不变式来证明。

循环不变式：在for循环开始前，结点 i+1、i+2...N-1 都是一个最大堆的根。

初始化：for循环开始迭代前， i = N/2-1 , 结点 N/2, N/2+1, ..., N-1 都是叶结点，也都是最大堆的根。

保持：因为结点 i 的子结点标号都比 i 大，根据循环不变式的定义，这些子结点都是最大堆的根，所以调用 maxHeapify() 后， i 成为了最大堆的根，而 i+1, i+2, ..., N-1 仍然保持最大堆的性质。

终止：过程终止时，i=0，因此结点 0, 1, 2, ..., N-1 都是最大堆的根，特别的，结点0就是一个最大堆的根。

虽然每次调用 maxHeapify() 时间为 O(lgN) ，共有 O(N) 次调用，但是说运行时间是 O(NlgN) 是不确切的，准确的来说，运行时间为 O(N) ，这里就不证明了，具体证明过程参见《算法导论》。

4 堆排序

开始用 buildMaxHeap() 函数创建一个最大堆，因为数组最大元素在 A[0] ，通过直接将它与 A[N-1] 互换来达到最终正确位置。去掉 A[N-1] ，堆的大小 heapSize 减1，调用 maxHeapify(heap, 0, --heapSize) 保持最大堆的性质，直到堆的大小由N减到1。

void heapSort(int A[], int n)
{
    buildMaxHeap(A, n);
    int heapSize = n;
    int i;
    for (i = n-1; i >= 1; i--) {
        swapInt(A, 0, i);
        maxHeapify(A, 0, --heapSize);
    }
}
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5 优先级队列

最后实现一个最大优先级队列，主要有四种操作，分别如下所示：

insert(PQ， key)
maximum(PQ)
extractMax(PQ)
increaseKey(PQ, i, key)

这里定义一个结构体 PriorityQueue 便于操作。

typedef struct PriorityQueue {
    int capacity;
    int size;
    int elems[];
} PQ;
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最终优先级队列的操作实现代码如下：

/**
 * 从数组创建优先级队列
 */
PQ *newPQ(int A[], int n)
{
    PQ *pq = (PQ *)malloc(sizeof(PQ) + sizeof(int) * n);
    pq->size = 0;
    pq->capacity = n;

    int i;
    for (i = 0; i < pq->capacity; i++) {
        pq->elems[i] = A[i];
        pq->size++;
    }
    buildMaxHeap(pq->elems, pq->size);

    return pq;
}

int maximum(PQ *pq)
{
    return pq->elems[0];
}

int extractMax(PQ *pq)
{
    int max = pq->elems[0];
    pq->elems[0] = pq->elems[--pq->size];
    maxHeapify(pq->elems, 0, pq->size);
    return max;
}

PQ *insert(PQ *pq, int key)
{
    int newSize = ++pq->size;
    if (newSize > pq->capacity) {
        pq->capacity = newSize * 2;
        pq = (PQ *)realloc(pq, sizeof(PQ) + sizeof(int) * pq->capacity);
    }
    pq->elems[newSize-1] = INT_MIN;
    increaseKey(pq, newSize-1, key);
    return pq;
}

void increaseKey(PQ *pq, int i, int key)
{
    int *elems = pq->elems;
    elems[i] = key;

    while (i > 0 && elems[PARENT(i)] < elems[i]) {
        swapInt(elems, PARENT(i), i);
        i = PARENT(i);
    }
}
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