一篇文章带你搞定经典面试题之扔鸡蛋问题

leetcode-0887_鸡蛋掉落

概述

扔鸡蛋问题是一道非常经典的面试题,Google、百度、腾讯等大厂都使用过,此题有多个变体版本,扩展性很强,解决思路有多种,下面一起来探讨吧!

标准版面试题

题目描述

有2个鸡蛋，从100层楼上往下扔，以此来测试鸡蛋的硬度。比如鸡蛋在第9层没有摔碎，在第10层摔碎了，那么鸡蛋不会摔碎的临界点就是9层。

问：如何用最少的尝试次数，测试出鸡蛋不会摔碎的临界点？

举例:

举个栗子，最笨的测试方法是什么样呢？

把其中一个鸡蛋从第1层开始往下扔。
如果在第1层没碎，换到第2层扔
如果在第2层没碎，换到第3层扔
.......
如果第59层没碎，换到第60层扔
如果第60层碎了，说明不会摔碎的临界点是第59层

在最坏情况下，这个方法需要扔100次。

方法一:二分法

初看此题,部分同学可能会觉得,这不就相当于从1-100中,找到某个数么?采用二分法最快,下面我们推演一番

采用类似于二分查找的方法，把鸡蛋从一半楼层（50层）往下扔。

如果第一枚鸡蛋在50层碎了，第二枚鸡蛋就从第1层开始扔，一层一层增长，一直扔到第49层。

如果第一枚鸡蛋在50层没碎了，则继续使用二分法，在剩余楼层的一半（75层）往下扔......

这个方法在最坏情况下，需要尝试50次(100/2)。

方法二:平方根法

如何让第一枚鸡蛋和第二枚鸡蛋的尝试次数尽可能均衡呢？

很简单，做一个平方根运算，100的平方根是10。

因此，我们尝试每10层扔一次，第一次从10层扔，第二次从20层扔，第三次从30层......一直扔到100层。

这样的最好情况是在第10层碎掉，尝试次数为 1 + 9 = 10次。

最坏的情况是在第100层碎掉，尝试次数为 10 + 9 = 19次。

这里有一个优化点,比如我们可以从15层开始扔,接下来25,35....一直到95层,最快情况下是第95层碎掉,尝试次数为 9+9 = 18次

方法三:解方程法

中学开始,同学们都学过方程,假设存在一个未知数X满足条件,根据已知条件列出一元n次方程,求解,下面我们根据题目描述,推出这个方程式

假设问题存在最优解(扔鸡蛋过程),这个解的最坏情况尝试次数是x次,那么,我们第一次扔鸡蛋该选择哪一层?

恰恰是从第x层开始扔,选择更高一层或是更低一层都不合适

为什么第一次扔就要选择第x层呢?

这里的解释也是通过假设法,然后演绎,有些烧脑,小伙伴们坚持住:

假设第一次扔在第x+1层(比x大):

如果第一个鸡蛋碎了，那么第二个鸡蛋只能从第1层开始一层一层扔，一直扔到第x层。

这样一来，我们总共尝试了x+1次，和假设尝试x次相悖。由此可见，第一次扔的楼层必须小于x+1层。

假设第一次扔在第x-1层(比x小)：

如果第一个鸡蛋碎了，那么第二个鸡蛋只能从第1层开始一层一层扔，一直扔到第x-2层。

这样一来，我们总共尝试了x-2+1 = x-1次，虽然没有超出假设次数，但似乎有些过于保守。

假设第一次扔在第x层：

如果第一个鸡蛋碎了，那么第二个鸡蛋只能从第1层开始一层一层扔，一直扔到第x-1层。

这样一来，我们总共尝试了x-1+1 = x次，刚刚好没有超出假设次数。

因此，要想尽量楼层跨度大一些，又要保证不超过假设的尝试次数x，那么第一次扔鸡蛋的最优选择就是第x层。

以上都是假设+逻辑推理,并没有经过严格的数学证明,我们也不是数学家

归纳

如果第一次扔鸡蛋没有碎,我们的尝试消耗了一次,问题就转化成了两个鸡蛋在100-x层楼往下扔,要求尝试次数不得超过x-1次

所以第二次尝试的楼层跨度是x-1层,绝对楼层是x+(x-1)层

同理,如果鸡蛋还没有碎,第三次楼层跨度是x-2,第四次是x-3

小伙伴们,到此看出了规律没?根据总结,可以列出一个楼层数的方程式:

x + (x-1) + (x-2) + ... + 1 = 100

下面我们来解这个这个方程:

(x+1)*x/2 = 100

最终x向上取整,得到 x=14

因此，最优解在最坏情况的尝试次数是 14 次，第一次扔鸡蛋的楼层也是 14 层。

最后，让我们把第一个鸡蛋没碎的情况下，所尝试的楼层数完整列举出来：

14，27， 39， 50， 60， 69， 77， 84， 90， 95， 99， 100

举个栗子验证下：

假如鸡蛋不会碎的临界点是65层，那么第一个鸡蛋扔出的楼层是14，27，50，60，69。这时候啪的一声碎了。

第二个鸡蛋继续，从61层开始，61，62，63，64，65，66，啪的一声碎了。

因此得到不会碎的临界点65层，总尝试次数是 6 + 6 = 12 < 14 。

进阶版面试题

leetcode

题目描述

你将获得 K 个鸡蛋，并可以使用一栋从 1 到 N 共有 N 层楼的建筑。

每个蛋的功能都是一样的，如果一个蛋碎了，你就不能再把它掉下去。

你知道存在楼层 F ，满足 0 <= F <= N 任何从高于 F 的楼层落下的鸡蛋都会碎，从 F 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。

每次移动，你可以取一个鸡蛋（如果你有完整的鸡蛋）并把它从任一楼层 X 扔下（满足 1 <= X <= N）。

你的目标是确切地知道 F 的值是多少。

无论 F 的初始值如何，你确定 F 的值的最小移动次数是多少？

示例1:

输入：K = 1, N = 2
输出：2
解释：
鸡蛋从 1 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 0 。
否则，鸡蛋从 2 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 1 。
如果它没碎，那么我们肯定知道 F = 2 。
因此，在最坏的情况下我们需要移动 2 次以确定 F 是多少。

示例2:

输入：K = 2, N = 6
输出：3

示例3:

输入：K = 3, N = 14
输出：4

提示:

1. 1 <= K <= 100
    2. 1 <= N <= 10000

动态规划求出扔鸡蛋问题的通解 1

什么是动态规划?

动态规划（英语：Dynamic programming，简称DP）是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。

动态规划解决问题的过程分为两步：

1.寻找状态转移方程式

2.利用状态转移方程式自底向上求解问题

如何找到状态转移方程式?

在标准版问题中,两个鸡蛋100层楼的条件下,我们找到的规律:

假设存在最优解,在最坏情况下尝试次数是x,那么第一个鸡蛋首次扔出的楼层也是x

这个规律在三个以上鸡蛋的条件下还能否适用呢?

假设有三个鸡蛋，100层楼，第一个鸡蛋扔在第10层并摔碎了。这时候我们还剩下两个鸡蛋，因此第二个鸡蛋不必从底向上一层一层扔，而是可以选择在第5层扔。如果第二个鸡蛋也摔碎了，那么第三个鸡蛋才需要老老实实从第1层开始一层一层扔。

这样一来，总的尝试次数是1+1+4 = 6 < 10(最少次数)。

因此，最优解的最坏情况下尝试次数是 X，鸡蛋首次扔出的楼层也是 X 这个规律不再成立。

那么,我们如何寻找规律呢?

在这里,我们把M层楼/N个鸡蛋的问题,抽象成一个黑盒子函数F(M,N),楼层数M和鸡蛋数N是函数的两个参数,函数的返回值是最优解的最大尝试次数

假设我们第一个鸡蛋扔出的位置在第X层（1<=X<=M），会出现两种情况：

1.第一个鸡蛋没碎

那么剩余的M-X层楼，剩余N个鸡蛋，可以转变为下面的函数：

F（M-X，N）+ 1，1<=X<=M

2.第一个鸡蛋碎了

那么只剩下从1层到X-1层楼需要尝试，剩余的鸡蛋数量是N-1，可以转变为下面的函数：

F（X-1，N-1） + 1，1<=X<=M

整体而言，我们要求出的是 N层楼 / K个鸡蛋 条件下，最大尝试次数最小的解，所以这个题目的状态转移方程式如下：

X可以为1......N,所以有M个Max（ F（N-X，K）+ 1， F（X-1，K-1） + 1）的值,最终F(N,K)是这M个值中的最小值,即最优解

F（N，K）= Min（Max（ F（N-X，K）+ 1， F（X-1，K-1） + 1）），1<=X<=N

如何进行求解?

状态转移方程式有了，如何计算出这个方程式的结果呢？

诚然，我们可以用递归的方式来实现。但是递归的时间复杂度是指数级的，当M和N的值很大的时候，递归的效率会变得非常低。

根据动态规划的思想，我们可以自底向上来计算出方程式的结果。

何谓自底向上呢？让我们以3个鸡蛋，4层楼的情况为例来进行演示。

根据动态规划的状态转移方程式和自底向上的求解思路，我们需要从1个鸡蛋1层楼的最优尝试次数，一步一步推导后续的状态，直到计算出3个鸡蛋4层楼的尝试次数为止。

首先，我们可以填充第一个鸡蛋在各个楼层的尝试次数，以及任意多鸡蛋在1层楼的尝试次数。

原因很简单：

1.只有一个鸡蛋，所以没有任何取巧方法，只能从1层扔到最后一层，尝试次数等于楼层数量。

2.只有一个楼层，无论有几个鸡蛋，也只有一种扔法，尝试次数只可能是1。

按照上面的方程式,代入计算,得出下面的结果。具体计算过程就不细说了

代码实现

根据刚才的思路,代码初步实现:

func superEggDrop(K, N int) int {
    if K < 1 || N < 1 {
        return 0
    }
    //备忘录，存储K个鸡蛋，N层楼条件下的最优化尝试次数
    //cache := [K + 1][N + 1]int{}
    cache := make([][]int, K+1)
    //把备忘录每个元素初始化成最大的尝试次数
    for i := 0; i <= K; i++ {
        cache[i] = make([]int, N+1)
        for j := 1; j <= N; j++ {
            cache[i][j] = j
        }
    }
    for n := 2; n <= K; n++ {
        for m := 1; m <= N; m++ {
            //假设楼层数可以是1---N,
            min := cache[n][m]
            for k := 1; k < m; k++ {
                //M层,N鸡蛋,F（N，K）= Min（Max（ F（N-X，K）+ 1， F（X-1，K-1） + 1）），1<=X<=N
                //(动态规划)
                //鸡蛋碎了
                max := cache[n-1][k-1] + 1
                if cache[n][m-k]+1 > max {
                    max = cache[n][m-k] + 1 //鸡蛋没碎
                }
                if max < min {
                    min = max
                }
            }
            cache[n][m] = min
        }
    }
    return cache[K][N]
}

三层循环,时间复杂度是O(K*N*N)

二维数组:空间复杂度是O(M*N)

时间复杂度太高,无法通过leetcode的测试用例,一直超时

动态规划求出扔鸡蛋问题的通解 2

上面的解决办法,时间复杂度相当高,那么是否存在更快的算法呢?

上面的算法中,主要在于三层for循环,需要假设第一次扔鸡蛋分别从第1.....N层

有没有一种算法,结合归纳演绎和动态规划的思想,在这里可以进一步抽象?

假设移动x次,k个鸡蛋,最优解的最坏条件下可以检测n层楼,层数n=黑箱子函数f(x,k)

假设从n0+1层丢下鸡蛋,
    1,鸡蛋破了
        剩下x-1次机会和k-1个鸡蛋,可以检测n0层楼
    2, 鸡蛋没破
        剩下x-1次机会和k个鸡蛋,可以检测n1层楼
    
    那么 临界值层数F在[1,n0+n1+1]中的任何一个值,都都能被检测出来

归纳的状态转移方程式为:f(x,k) = f(x-1,k-1)+f(x-1,k)+1,即x次移动的函数值可以由x-1的结果推导,这个思路很抽象,需要花时间去理解,具体看代码,对照着代码理解

可以简化为黑箱子函数的返回值只跟鸡蛋个数k有关系:
本次fun(k) = 上次fun(k-1)+上次fun(k)+1

代码实现

时间复杂度是O(K*moves),跟楼层数无关(楼层数N的值相对很大)

func superEggDrop(K, N int) int {
    moves := 0
    dp := make([]int, K+1) // 1 <= K <= 100
    // dp[i] = n 表示， i 个鸡蛋，利用 moves 次移动，最多可以检测 n 层楼
    for dp[K] < N {
        for i := K; i > 0; i-- {
            //逆序从K---1,dp[i] = dp[i]+dp[i-1] + 1 相当于上次移动后的结果,dp[]函数要理解成抽象出来的一个黑箱子函数,跟上一次移动时鸡蛋的结果有关系
            dp[i] += dp[i-1] + 1
            // 以上计算式，是从以下转移方程简化而来
            // dp[moves][k] = 1 + dp[moves-1][k-1] + dp[moves-1][k]
            // 假设 dp[moves-1][k-1] = n0, dp[moves-1][k] = n1
            // 首先检测，从第 n0+1 楼丢下鸡蛋会不会破。
            // 如果鸡蛋破了，F 一定是在 [1：n0] 楼中，
            //         利用剩下的 moves-1 次机会和 k-1 个鸡蛋，可以把 F 找出来。
            // 如果鸡蛋没破，假如 F 在 [n0+2:n0+n1+1] 楼中
            //         利用剩下的 moves-1 次机会和 k 个鸡蛋把，也可以把 F 找出来。
            // 所以，当有 moves 个放置机会和 k 个鸡蛋的时候
            // F 在 [1, n0+n1+1] 中的任何一楼，都能够被检测出来。
        }
        moves++
    }
    return moves
}

总结

• 对于类似的智力题,如果不能想出其它办法,我们可以采用先假设存在某个满足结果的最优解x,然后代入上下文进行分析问题,归纳演绎,找出规律
• 对于很复杂的问题,可能需要非常发散的思维,对算法进行高度抽象化
• 思考问题的过程很烧脑,与君共勉!

GitHub

• 项目源码在这里
• 笔者会一直维护该项目,对leetcode中的算法题进行解决,并写下自己的思路和见解,致力于人人都能看懂的算法

个人公众号

• 喜欢的朋友可以关注,谢谢支持
• 来自：吴名（微信号：wm497735138），作者：吴名