动态规划怎么用？

动态规划应该用于最优化问题

最优化问题指的是，解决一个问题可能有多种可行的值来解决问题，但是我们需要一个最优的（最大或者最小）值

动态规划适用于子问题不是独立的情况，即各个子问题之间包含公共的子问题。动态规划对每个子问题只计算一次，保存其计算结果到"一张表",重复利用，从而优化执行。

分治法则是把一个大的问题划分成一些独立的子问题，递归求解子问题的情况；贪心算法则是会先选择当时看起来是最优的选择，然后再求解一个结果的子问题

如何使用动态规划

以斐波那契数列为例。一般的求解方式为递归，运行时间为 ( ),空间为O(1)

fib(n):
    if n<=2:f=1;
    else: f= fib(n-1)+fib(n-2);
    return f;
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可以简要分析下这个执行过程：要去求解 fib(n)，首先要知道fib(n-1)和fib(n-2),要计算fib(n-1)则需要知道fib(n-2)和fib(n-3)，要计算fib(n-2)则需要知道fib(n-3)和fib(n-4)，依此类推。

很明显可以看到：如果计算出了fib(n-1)的子问题和fib(n-2)的子问题存在 依赖性 ，要计算fib(n-1)必然要计算fib(n-2)；同时如果复用了fib(n-2)那么当计算fib(n-1)就非常简单，直接相加即可。这也就是 复用子问题处理结果 。

fib(n):
    memo={}
    if n in memo:return memo[n];
    if n<=2:f=1;
    else f=fib(n-1)+fib(n-2);
    memo[n]=f;
    return f;
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分析可知：memo的存在使得实际产生调用的只有 fib(1) .... fib(n),共n次，其余的直接从memo中获取，使用常量的时间。可得运行时间为 ,空间为O(n)。这种方式仍然可以优化到使用常量的空间，因为实际上只需要记住最初的两个值即可。

int fib(int n){
        if(n<=2){
            return 1;
        }
        int f1=1,f2=1;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            int f=f1+f2;
            f1=f2;
            f2=f;
        }
        return f2;
    }
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分析下来可以发现：

1. 斐波那契数列求值是可以分解成多个子问题 fib(k),且一共有n个
2. 子问题之间存在依赖关系： ，每个子问题的处理时间是O(1)
3. 每个子问题的处理是按照拓扑 排序 的顺序进行，它的顺序为 k=1,...,n

最终去解决了原来的问题 ，总耗时为 子问题个数 * 每个子问题的处理时间=O(n)

拓扑排序

斐波那契数列中的拓扑排序，它本质上类似拓扑排序的DAG最短路径

要获取它的最短路径，过程如下

每条边都访问了一遍，然后初始化了每个顶点的值，它的运行时间为O(V+E)

计算过程可以看到:

1. 最短路径会被划分成多个子问题，比如 、 、 、 、
2. 子问题之间是存在依赖关系，比如 依赖于 、 、 、
3. 整个处理的过程按照 SABCDEFG 的拓扑顺序进行处理

一般的图拓扑排序为

就是需要递归调用处理的部分

对于DAG： 每个子问题的处理时间为 indegree(t)+O(1)

indegree(t):入度数也就是类似(u,t)边的数量，需要去遍历所有t的入边

O(1):判断是不是有入边

总共的执行时间为

当图中有环的时候求最短路径产生的问题

要求s到v的最短路径 ,首选需要去求 ,然后是 ,到b节点有两条路径： 和 ，此时去memo中查 是不存在的，又会这回查询，导致了一个死循环

解决图中有环的时候求最短路径的问题

方式是去环，将原来的图一层一层的展开。

假设从s到v需要的路径为k步，那么可以得到 =

,当k递减到0的时候，其实也就是从s到s本身

所需要的展开层数为：|V|-1 对于求最短路径来讲，最长不能超过|V|-1，否则就是成环，会造成循环的情况（从0开始的计数），这就是为什么Bellman-Ford的外层循环是 |V|-1

每层的节点数为所有的节点。那么总共的节点数为|V'|=|V|(|V|-1)+1=O( ),边数是|E'|=|E|(|V|-2)+1=O(VE)。转换后的图是DAG图，那么实际上的时间为O(V'+E')=O(VE)。这也就是 从动态规划的角度去看Bellman-Ford算法 节点的数目是1个源点,边的数目是每多一层实际上就多了加了一遍所有的边。

从斐波那契和最短路径的例子看出，要使用最短路径，需要确保子问题之间是互相依赖的，这样能够重复利用子问题产生的结果，而要去重复利用子问题，那首要条件是找到子问题是什么？然后在多个子问题之间选择最优的结果，并按照拓扑排序的顺序进行计算

使用动态规划的一般步骤是什么？

1. 定义子问题 ：一般来讲子可以从输入条件来寻找，如果输入条件少了一项，我解决这个问题的方式会发生改变吗？如果不会，那么它基本就是子问题

计算子问题的数量

2. 思考：明确要去尝试所有可能方式，选取最好的一个。选取中要思考

• 获取到的输入项是否应该被选入子问题的结果之中？
• 有什么途径能够使子问题扩展到原有的问题？
• 子问题要计算原有的问题，增加了什么变化的因素？

计算选择的数量

3. 关联所有的子问题：根据思考得到父子问题的关联关系

计算单个子问题所需要处理的时间

4. 重用子问题结果并记下新的结果

计算总耗时

最终解决原有的问题，它消耗的时间为： 子问题的数量 * 每个子问题处理所需要时间

总的来说就是：尝试所有可能的子问题的结果，将最好的可能子结果存储下来，然后重复利用已经解决的子问题，递归去解决所有的问题(思考+记忆+递归)

一定要用动态规划吗？

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。比如

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
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乍看之下，要求连续最大和，首先得计算出子串的最大和，才能去计算原始数组的最大和，也就是说

1. 子问题是：子数组的最大和
2. 依赖关系：dp(i)=max(i,i+dp(i-1)),增加了一个新的元素扩展子问题，得到原问题，然后从扩展的结果和原有的结果中取获取一个最优解
3. dp(i-1)是可以重用的

public int maxSubArray(int[] nums) {
       int max=Integer.MIN_VALUE;
       Map<Integer,Integer> mem=new HashMap<>();
       for(int i=0;i<nums.length;i++){
       //按照一定顺序执行
           int v=dp(i,nums,mem);
           if(v>max){
               max=v;
           }
       }
        return max;
    }
    
    public int dp(int i,int[] nums,Map<Integer,Integer> mem){
        Integer v=mem.get(i);
        if(v!=null){
        //重用子问题的结果
            return v;
        }
        int sum = nums[i];
        if(i==nums.length-1){
            mem.put(i,sum);
            return sum;
        }
        //先计算子问题
       int cSum = dp(i+1,nums,mem);
       int tempV = sum+cSum;
       //明确父子问题之间的关系，存储新的子问题结果
       if(tempV<sum){
           mem.put(i,sum);
           return sum;
       }
        mem.put(i,tempV);
       return tempV;
    }
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分析可以看到，它的执行为需要遍历一遍整个的数组，然后要去计算的子问题包括 n-1,n-2,..,1，耗时为 O(n+n-1)=O(2n)=O(n)，同时需要一个O(n)的空间存储。

public int maxSubArray(int[] nums) {
       int max=nums[0]; 
        int currMax=nums[0];
        for(int i=1;i<nums.length;i++){
            int temp=nums[i]+currMax;
            if(temp>nums[i]){
                currMax=temp;
            }else{
                currMax=nums[i];
            }
            if(max<currMax){
                max=currMax;
            }
       }
        return max;
    }
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通过这种方式，使用的空间为O(1),时间就是O(n)。

由此可见动态规划本身只是一种解决问题的思想，并不是说动态规划得到的最优解就是解决问题的最佳方案