Multiclass SVM Loss笔记

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在前面的Linear Classify学习中，我们通过训练，可以得到参数 W ，那么，我们怎么评价这个 W 是否足够好呢？如果不好，我们该怎么调整呢？

这就需要我们定义一个 损失函数(loss or cost function) 来度量，并且通过最小化损失函数，来调整 W ，使我们的分类结果最准确。

对于每一对训练数据，我们可以定义一个损失函数，表示为: L_{i} ，那么所有训练数据的损失，则表示成平均损失：

L = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}L_{i}(f(x_{i},W),y_{i})

这个损失函数，表示了我们的 W 的好坏程度。

Multiclass SVM Loss

对于每一对训练数据 x_{i} ， y_{i} ，我们可以定义一个分数函数，用来评价我们的模型好坏程度：

s=f(x_{i},W)

那么我们的 Multiclass SVM Loss 可以表示为：

L_{i}=\sum_{j\neq y_{i}}\max(0,s_{j}-s_{y_{i}}+\Delta)

注:

Multiclass SVM的核心思想就是：分类正确的分数s0必须比任何一个分类错误的分数s1高出 \Delta ，否则损失为０

那么，对于所有的训练样本，我们可以得到损失函数：

L=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j\neq y_{i}}\max(0,s_{j}-s_{y_{i}}+\Delta)

又

s=f(x_{i};W)

所以可以得到损失函数：

L=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j\neq y_{i}}\max(0,f(x_{i};W)-f(x_{y_{i};W})+\Delta)

现在有一个问题，如果我们的损失函数max操作后，再平方一次，这样算是一个新的分类算法吗？ 是 。平方有一个作用就是把差异放大。同理，还有其他类似的操作也可以达到类似的效果。

那么该如何选择呢？具体问题具体分析。

我们的Multiclass SVM的损失函数算是定义好了，但是上述损失函数存在一个问题**这样训练出来的权重 W 不唯一。

道理很简单，假设 W 能够让我们的分类全部正确，那么 2W 显然也可以让我们的分类全部正确，因为对于 2W 和 W ，我们的损失函数中的 \Delta 没有改变，如果 2W 的分数函数是 W 的２倍，那么他们的差值也变成2倍，那么如果原来的差值大于 \Delta ，那么2倍的差值显然大于 \Delta ，也就是说 分类结果不会改变 。

显然，把 系数2 推广到其他数字，也是同样的道理。也就是说这种损失函数没办法确定一个唯一的 W ，使我们的结果最准确。

那么怎么办呢？

Regularization Loss

为了解决这个问题，我在原来的损失后面加上一项损失叫做 Regularization Loss 。

我们前面的损失函数，是和数据有关的损失，叫做 数据损失 ，我们加上的这一项损失，和数据无关，但是和权重 W 有关，我们叫做 Regularization ，它表示成 \lambda R(W) 。

从数学上也很容易理解，加上一项约束，能够表示更复杂的关系。我们的Regularization算是一种惩罚措施，能够对突出的值进行惩罚，使我们的模型表现更好。

那么我们的Regularization函数是什么样子的呢？和损失函数自己一样，我们的Regularization loss函数也有很多种表达。但是最常见的一种是 L2 Regularization ：

R(W)=\sum_{k}\sum_{l}W_{k,l}^2

意识很明确：对于权重的每一个值的平方和。

当然，还有其他的Regularization，例如：

L1:

R(W)=\sum_{k}\sum_{l}|W_{k,l}|

Elastic(L1+L2):

R(W)=\sum_{k}\sum_{l}\beta W_{k,l}^2+|W_{k,l}|

上面这几种不仅深度学习里面出现，一般的机器学习也很常见。当然常见的regularization除此之外，还有 Max Norm Regularization 和 Dropout ，以及 Fancier:Batch normalization 。

那么看看我们最终的损失函数吧：

L=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j\neq y_{i}}[\max(0,f(x_{i};W)-f(x_{y_{i};W})+\Delta)]+\lambda\sum_{k}\sum_{l}W_{k,l}^2

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