三角函数在前端动画中的应用

我是个很懒的人，开发过程中经常有意无意地刻意避开数学相关的知识，你也知道解数学题非常枯燥无趣。平时写动画也尽量使用 css3 来实现，timer-function 随意选用，最多也就调一下cubic-bezier，找到看着舒服的就行。但是怎样让动画更顺滑，写出更贴近自然的动画，说实话以前我没怎么考虑过。

每次当动效设计师提出，能不能这样那样的时候，我会理所当然地予以否决。所以有很长一段时间，我非常羡慕那些能用 canvas 绘制很酷炫的动画的程序员。

先这样吧，又不是不会动。

今天来分享一下三角函数相关的内容， 如果刚学前端的时候有人教我这些，我会很开心。

三角函数

三角函数已经是老生常谈了（街舞圈称之为 Old School），它伴随我们从初中到大学，太多的公式定理，光是应付考试就花了不少时间。先简单回顾一下，确保你还记得基础知识。

勾股定理

最开始学三角函数的时候就是从背勾三股四弦五开始，勾股定理描述的是对于直角三角形，直角两条边的平方和等于斜边的平方，

常用三角函数

印象中教科书里面只保留了 sin, cos, tan，其他可以通过变换得到。

sinθ = a / h
cosθ = b / h
tanθ = a / b

极坐标系和单位圆

在笛卡尔直角坐标系中，任一点 (x, y) 都可以转化成极坐标表示 (r, θ)，其中

r = Math.sqrt(x^2 + y^2)
θ = Math.atan2(y, x)

单位圆的定义是半径为单位长度的圆，圆上任意一点的横坐标就是对应角度的余弦值，任意点的纵坐标就是对应角度的正弦值。

简单的图像变换

以正弦曲线为例，对函数进行简单的变换，得到不一样的结果。

正弦曲线公式： y = A sin(Bx + C) + D

A 控制振幅，A 值越大，波峰和波谷越大，A 值越小，波峰和波谷越小；

B 值会影响周期，B 值越大，那么周期越短，B 值越小，周期越长。

C 值会影响图像左右移动，C 值为正数，图像右移，C 值为负数，图像左移。

D 值控制上下移动。

这个公式非常有用，如果下文的代码让你不解，记得回来查看注解。

简单得回顾一下之后，确保你还记得这些基础知识，那么这些曾经被得滚瓜烂熟的内容，和前端代码结合会变成什么样？

常见的应用场景

图像应用

最直观的应用是使用三角函数来绘制 Wave 曲线

for (let x = 0; x < width; x++) {
  const y = Math.sin(x * a) * amplitude
}

再结合三角函数偏移让左右成为波谷，中间成为波峰，就能得到曼妙的波纹。

for (let x = 0; x < width; x++) {
  const radians = x / width * Math.PI * 2
  const scale = (Math.sin(radians - Math.PI * 0.5) + 1) * 0.5
  const y = Math.sin(x * 0.02 + xSpeed) * amplitude * scale
}

之前掘金上很火的 一篇文章 ，也是同样的道理，使用两层正弦函数绘制曲线，fill 之后加上 stagger 动画，就能得到非常酷炫的:ocean:效果。

如果再结合鼠标位置 + lerp 动画，就能实现 坚果首页 同款的动画。

这篇文章大部分代码都可以在我的 Codepen 主页看到。

SlowInSlowOut

正余弦曲线有很自然地缓入缓出的特性，并且在一个周期里面从 -1 到 1 再回到 -1，非常适合用来模拟一些物理效果。因为真实世界里面，汽车都是缓慢启动，加速，减速，再缓慢减速直到速度变为 0 的，突变会让人很难受。左边的摆球是线性匀速摆动，右边是用了三角函数优化的结果。显然左边的效果设计师会打人。

只需使用 sin 或 cos 乘以最大角度，就可以得到在摆动最大角度之间的 SlowInSlowOut。

ctx.rotate(Math.cos(t / 180 * Math.PI) * Math.PI * 0.25)

角度控制

在开发过程中，我们常常需要跟角度打交道，比如在头像左上角（45deg）显示 Notification 红点，用鼠标控制 rotation 等等。

前端 JS 里面 Math.atan2(y, x) 可以用来计算 (x, y) 和 x 轴正方向的夹角弧度值。

function getCurrentDegree () {
  const deltaX = mouse.x - window.innerWidth * 0.5
  const deltaY = mouse.y - window.innerHeight * 0.5
  return Math.atan2(deltaY, deltaX) * 180 / Math.PI
}

插一句，三角函数相关的动画并不一定需要用 js 来写，比如下面的 DEMO，使用 compass 依赖，同样可以做到灵活控制在特定角度的动画（千万不要手写各个点的坐标！！！后期没办法维护）

@import "compass";

.checkbox:checked {
  ~ button {
    $per: 180 / 4;
    @for $i from 1 through 6 {
      &:nth-of-type(#{$i}) {
        $angle: $per * ($i - 1) * 1deg + 180deg;
        $x: cos($angle) * $d;
        $y: sin($angle) * $d;

        transform: translate($x, $y) rotate(0deg) ;
      }
    }
  }
}

源码

Case Study

经常用到的场景大概就这些吧，再以一个案例分析来复习一下。

前两天在 Codepen 首页看到热门推荐，作者用存 css 动画来实现一个行走的动画，挺新颖的，然而仔细一看，脚步的动画真心觉得别扭，于是想用三角函数优化一下。

绘制头部：

drawHead (t) {
  ctx.save()
  ctx.beginPath()
  ctx.translate(0, Math.sin(t) * 4)
  ctx.arc(80, -35, 35, 0, 2 * Math.PI)
  ctx.fill()
  ctx.closePath()
  ctx.restore()
}

我会给每个方法传入周期参数 t， t 从 0 到 2 PI , 这样能保证所有的周期运动时间同步。

身体和阴影的绘制都差不多，直接跳过看脚步动画。

脚有两只，按道理应该是抬脚到落脚的动作完成时，其他部位都完成了一个完整的周期，所以在绘制脚的时候，t 需要除以 2。然后第一只脚和第二只脚相差半个脚自身的周期，可以直接将 t 替换成 t + Math.PI 就是第二脚的动画。

drawFeet (t) {
t = t / 2
  ctx.translate(Math.cos(t) * -50, 0)

  // 另一只脚
  ctx.translate(Math.cos(t + Math.PI) * -50, 0)
}

脚步动画自身周期的一半是在地面上的，可以通过判断一下 sin 值，小于 0 则不做 y 纵轴方向上的变化。

ctx.translate(Math.cos(t) * -50, Math.sin(t) > 0 ? Math.sin(t) * -35 : 0)

还没完，为了让脚更加逼真，同样在前半个周期做一下 rotate 。

if (t < Math.PI) {
  ctx.rotate(Math.sin(t) * Math.PI / 180 * -5)
}

最终得到的效果是这样的：

源码

总结

现如今前端发展速度非常迅速，刚入门的同学刚学完 jQuery 就被告知，You Dont Need jQuery。追新的脚本根本停不下来，在学习新框架新技能的同时，也别忘了基础知识的重要性。

好了，今天就分享到这里，希望一次汇集这么多效果，能让你下次使用三角函数更得心应手。

以上大部分代码都可以在我的 Codepen 主页看到。