内容简介:前面两篇我们讲解了01背包问题和最少硬币找零问题。这篇将介绍另一个经典的动态规划问题--最长公共子序列。如果没看过前两篇,可点击下面链接。
前面两篇我们讲解了01背包问题和最少硬币找零问题。这篇将介绍另一个经典的动态规划问题--最长公共子序列。如果没看过前两篇,可点击下面链接。
问题
给定两个字符串序列 abcadf , acbad ,求这两个字符串的最长公共子序列
分析
最长公共子序列问题,有三个点需要注意
- 两个序列长度不一定相同
- 最长子序列是指,在两个字符串序列中以相同顺序出现
- 所求的子序列不需要连续
在进行填表分析之前,根据上面提到的三个点,我们可以很容易地先直接得出答案,最长公共子序列应为 acad
1. 建表
我们给两个子序列前面都加一个空字符,即
input1 = ["","a","c","b","a","d"], input2 = ["","a","b","c","a","d","f"],
然后构建如下表格
为什么填一堆0呢?表示字符串无法匹配,你可以理解这是一种辅助的计算方式, 在分析具体子序列时,不把构建的空字符纳入考虑范围 。在后面也会按照前面2篇的思路,使用 T[i][j]
表示组合的子序列长度。
下面将从左往右,从上往下开始填表。我们在填写某一个表格的时候,只需要考虑小于等于i 和小于等于j的情况。比如我们要填写T[2][2]时,那么此时等同于求字符串 ac , ab 的最长公共子序列,填写T[4][5]时,那么此时等同于求 acba , abcad 的最长公共子序列长度。
如果你看过前两篇,对于这种填表应该会很熟悉。 下面基于这个表格,开始填表。
2. i =1
我们从第一行开始。
i=1 j=1
:此时等同于求字符串 a 和 a 的最长公共子序列长度,很显然结果为1。
i=1 j=2
:此时等同于求字符串 a 和 ab 的最长公共子序列长度,结果为1。
i=1 j=3
:此时等同于求字符串 a 和 abc 的最长公共子序列长度,结果为1。
只要一个序列只有一个字符,那么另一个序列无论多长,它们的最长公共子序列长度最多只能为1。所以 i=1 行剩余空格都填1。
3. i = 2
i=2 j=1
:此时等同于求字符串 ac 和 a 的最长公共子序列长度,结果为1。
i=2 j=2
:此时等同于求字符串 ac 和 ab 的最长公共子序列长度,结果为1。
i=2 j=3
:此时等同于求字符串 ac 和 abc 的最长公共子序列长度。这时就有意思了。因为根据一开始的分析,求最长公共子序列时,子序列是可以不连续的,因此这两个序列的最长公共子序列应该是 ac ,所以这里表格应该填2。
好了,停下,先不用急着继续填,我们需要先分析一下通用思路。
4.填表思路
我们从T[2][3]=2 这一个格分析。很显然去除 c 这个公共字符后,两个字符串还剩下 a , ab 。是不是有点熟悉?这个其实就是填写 T[1][2] 时的组合,也就是我们可以假设当 input1[i] == input2[j]
时, T[i][j]=T[i-1][j-1]
。 当 input1[i] != input2[j]
时, T[i][j]
的值,取它上方或左边的较大值,即 [i][j] = max(T[i-1][j],T[i][j-1])
。
用一句通俗的话来描述这种 T[i][j]
规律,就是 相等左上角加一,不等取上或左最大值,如果上左一样大,优先取左。
好了,不看下面内容,你带着这种规律,把表格剩余内容自己填写完毕。
5.最终表格
理解了这种规律,我们没必要把每一格该怎么填重复叙述了。下面就是最终表格。
我们举个例子,比如 i=5 j=4,此时 input1[i] !=input2[j]
,我们取它左边(2)或者上方(3)的较大值,所以填写3。
i=5 j=5,此时 input1[i] ==input2[j]
,我们直接取左上角值加1,左上角的值为T[4][4]=3,所以T[5][5]=4 。
如果还不太理解,可以自己再练习画一次。
6.寻找子串
我们完成填表后,只能求出最长公共子序列的长度,但是无法得知它的具体构成。我们可以参照上一篇硬币问题,从填表的反向角度来寻找子序列。
我们子序列保存在名为 s的数组中,从表格中反向搜索,找到目标字符后,每次都把目标字符插入到数组最前面。
根据前面提供的填表口诀,我们可以反向得出寻找子序列的口诀: 如果T[i][j]来自左上角加一,则是子序列,否则向左或上回退。如果上左一样大,优先取左。
1.从右下角开始分析,T[5][6]=4,它并不是来自左上角。它左边的值比上方大,所以它来自左边,向左回退,如下图箭头。
2.接着就定位到 T[5][5],显然他来自左上角加1,它是子序列。插入数组中,有
s = ['d']
3.扣除掉 T[5][5],可以定位到它的左上角 T[4][4],如图:
T[4][4]也是来自左上角加1,它也是子序列,把它插入到数组最前面,此时 s 应该是
s = ['a','d']
4.按照前面的思路,继续定位分析,最终如下图:
最终箭头指向0,搜索结束。
s = ['a','b','a','d']
伪代码
整个分析过程已经完成了。下面提供代码逻辑,即使不懂 JavaScript,也不会影响你理解,因为没有涉及语言特性。
填表
if(input1[i] == input2[j]){ T[i][j] = T[i-1][j-1] + 1; }else{ T[i][j] = max(T[i-1][j],T[i][j-1]) }
寻找子串
if(input1[i] == input2[j]){ s.insertToIndexZero(input1[i]); //插入到数组最前面 i--; j--; }else{ //向左或向上回退 if(T[i-1][j]>T[i][j-1]){ //向上回退 i--; }else{ //向左回退 j--; } }
完整代码
最终代码使用 JavaScript 实现,如果你的 Sublime 支持纯 JavaScript,你可以直接复制黏贴代码,command + b 直接运行查看结果,然后修改输入变量,查看更多情况下的输出结果。
//动态规划 -- 最长公共子序列 //!!!! T[i][j] 计算,记住口诀:相等左上角加一,不等取上或左最大值 function longestSeq(input1,input2,n1,n2){ var T = []; // T[i][j]表示 公共子序列长度 for(let i=0;i<n1;i++){ T[i] = []; for(let j= 0;j<n2;j++){ if(j==0 ||i==0){ T[i][j] = 0; continue; } if(input1[i] == input2[j]){ T[i][j] = T[i-1][j-1] + 1; }else{ T[i][j] = Math.max(T[i-1][j],T[i][j-1]) } } } findValue(input1,input2,n1,n2,T); return T; } //!!!如果它来自左上角加一,则是子序列,否则向左或上回退。 //findValue过程,其实就是和 就是把T[i][j]的计算反过来。 function findValue(input1,input2,n1,n2,T){ var i = n1-1,j=n2-1; var result = [];//结果保存在数组中 console.log(i); console.log(j); while(i>0 && j>0){ if(input1[i] == input2[j]){ result.unshift(input1[i]); i--; j--; }else{ //向左或向上回退 if(T[i-1][j]>T[i][j-1]){ //向上回退 i--; }else{ //向左回退 j--; } } } console.log(result); } //两个序列,长度不一定相等, 从计算表格考虑,把input1和input2首位都补一个用于占位的空字符串 var input2 = ["","a","b","c","a","d","f"], input1 = ["","a","c","b","a","d"], n1 = input1.length, n2 = input2.length; console.log(longestSeq(input1,input2,n1,n2));
以上就是本文的全部内容,希望对大家的学习有所帮助,也希望大家多多支持 码农网
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