内容简介:给定{ 1, 2, 3, , , n },其全排列为$n!$个,这是最基础的高中组合数学知识。我们以n=4为例,其全部排列如下图(以字典序树形式来呈现):我们很容易想到用递归来求出它的所有全排列。
给定{ 1, 2, 3, , , n },其全排列为$n!$个,这是最基础的高中组合数学知识。我们以n=4为例,其全部排列如下图(以字典序树形式来呈现):
我们很容易想到用递归来求出它的所有全排列。
仔细观察上图,
- 以1开头,下面跟着{ 2, 3, 4 }的全排列;
- 以2开头,下面跟着{ 1, 3, 4 }的全排列;
- 以3开头,下面跟着{ 1, 2, 4 }的全排列;
- 以4开头,下面跟着{ 1, 2, 3 }的全排列。
代码如下:
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; void FullPermutation(int array[], int left, int right) { if (left == right) { for (int i = 0; i < 4; i++) cout << array[i] << " "; cout << endl; } else { for (int i = left; i <= right; i++) { swap(array[i], array[left]); FullPermutation(array, left + 1, right); swap(array[i], array[left]); } } } int main() { int array[4] = { 1,2,3,4 }; FullPermutation(array, 0, 3); return 0; }
运行如下:
咦~递归写出的全排列有点不完美,它并不严格遵循字典序。但是熟悉C++的朋友肯定知道另一种更简单,更完美的全排列方法。
定义于文件 <algorithm>
内的两个算法函数:
next_permutation prev_permutation
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; void FullPermutation(int array[]) { do { for (int i = 0; i < 4; i++) cout << array[i] << " "; cout << endl; } while (next_permutation(array, array + 4)); } int main() { int array[4] = { 1,2,3,4 }; FullPermutation(array); return 0; }
运行结果省略。输出结果正好符合字典序。
那么这个“轮子”是怎么做到的呢?(摘自侯捷的《STL源码剖析》)
-
next_permutation
,首先,从最尾端开始往前寻找两个相邻元素,令第一元素为*i
,第二元素为*ii
,且满足*i < *ii
,找到这样一组相邻元素后,再从最尾端开始往前检验,找出第一个大于*i
的元素,令为*j
,将i,j元素对调,再将ii之后的所有元素颠倒排列,此即所求之“下一个”排列组合。 -
prev_permutation
,首先,从最尾端开始往前寻找两个相邻元素,令第一元素为*i
,第二元素为*ii
,且满足*i > *ii
,找到这样一组相邻元素后,再从最尾端开始往前检验,找出第一个小于*i
的元素,令为*j
,将i,j元素对调,再将ii之后的所有元素颠倒排列,此即所求之“上一个”排列组合。
代码如下:
bool next_permutation(int * first, int * last) { if (first == last) return false; // 空区间 int * i = first; ++i; if (i == last) return false; // 只有一个元素 i = last; --i; for (;;) { int * ii = i; --i; if (*i < *ii) { int * j = last; while (!(*i < *--j)) // 由尾端往前找,直到遇上比 *i 大的元素 ; swap(*i, *j); reverse(ii, last); return true; } } if (i == first) // 当前排列为字典序的最后一个排列 { reverse(first, last); // 全部逆向排列,即为升序 return false; } } bool prev_premutation(int * first, int * last) { if (first == last) return false; // 空区间 int * i = first; ++i; if (i == last) return false; // 只有一个元素 i = last; --i; for (;;) { int * ii = i; --i; if (*i > *ii) { int * j = last; while (!(*i > *--j)) // 由尾端往前找,直到遇上比 *i 大的元素 ; swap(*i, *j); reverse(ii, last); return true; } } if (i == first) // 当前排列为字典序的第一个排列 { reverse(first, last); // 全部逆向排列,即为降序 return false; } }
刚才主要介绍了解决不重复序列的全排列问题的两个方法:递归和字典序法。
那如果是 重复序列 的全排列呢?该如何求解?举个例子,对于一个重复序列{ 1, 2, 2 },其全排列只有三个:{ 1, 2, 2 },{ 2, 1, 2 },{ 2, 2, 1 }。
我们依旧先用递归来求解。
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; bool IsEqual(int array[], int left, int right) { for (int i = left; i < right; i++) if (array[i] == array[right]) return true; return false; } void FullPermutation(int array[], int left, int right) { if (left == right) { for (int i = 0; i < 3; i++) cout << array[i] << " "; cout << endl; } else { for (int i = left; i <= right; i++) { if (!IsEqual(array, left, i)) { swap(array[i], array[left]); FullPermutation(array, left + 1, right); swap(array[i], array[left]); } } } } int main() { int array[4] = { 1,2,2 }; FullPermutation(array, 0, 2); return 0; }
输出如下:
简单说下 IsEqual()
为什么那么写。
考虑重复序列1abc2xyz2,
- 交换1与第一个2,变成了2abc1xyz2,按照程序,接下来对 abc1xyz2 进行全排列;
- 假若1与第二个2交换,变成了2abc2xyz1,按照程序,接下来对 abc2xyz1 进行全排列。
那么问题来了,注意我加粗的两个地方,这两个全排列进行的都是同样的工作,所以必然会造成重复输出。
下面再来看下STL里的 next_permutation
对重复序列的反应。
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; void FullPermutation(int array[]) { do { for (int i = 0; i < 3; i++) cout << array[i] << " "; cout << endl; } while (next_permutation(array, array + 3)); } int main() { int array[3] = { 1,2,2 }; FullPermutation(array); return 0; }
运行如下:
从结果来看, next_permutation
的适应性更强,不管是不重复序列还是重复序列,它都可以输出正确的结果。其实这很好理解, next_permutation
的本质是字典序原理,而字典序是严格的大于或者小于,没有等于。
以上就是本文的全部内容,希望对大家的学习有所帮助,也希望大家多多支持 码农网
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