内容简介:$$C_n^m\%p=C_{n/p}^{m/p}*C_{n\%p}^{m\%p}\%p~~(p为素数)$$解析:m个相同的豆子,放到n个不同的树里,有多少种方法。有$C_{n+m}^m$种。具体详解请看下面的扩展中的插板法。
公式
$$C_n^m\%p=C_{n/p}^{m/p}*C_{n\%p}^{m\%p}\%p~~(p为素数)$$
代码如下
typedef long long ll; ll mod_pow(ll x, ll n, ll mod) { ll res = 1; while (n > 0) { if (n & 1) res = res * x % mod; x = x * x % mod; n >>= 1; } return res; } ll comb(ll n, ll m, ll p) { if (m > n) return 0; ll a = 1, b = 1; m = min(n - m, m); while(m) { a = (a * n--) % p; b = (b * m--) % p; } return a * mod_pow(b, p - 2, p) % p; } ll Lucas(ll n, ll m, ll p) { if (m == 0) return 1; return comb(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p; }
例题
解析:m个相同的豆子,放到n个不同的树里,有多少种方法。有$C_{n+m}^m$种。具体详解请看下面的扩展中的插板法。
代码如下:
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; ll mod_pow(ll x, ll n, ll mod) { ll res = 1; while (n > 0) { if (n & 1) res = res * x % mod; x = x * x % mod; n >>= 1; } return res; } ll comb(ll n, ll m, ll p) { if (m > n) return 0; ll a = 1, b = 1; m = min(n - m, m); while(m) { a = (a * n--) % p; b = (b * m--) % p; } return a * mod_pow(b, p - 2, p) % p; } ll Lucas(ll n, ll m, ll p) { if (m == 0) return 1; return comb(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p; } int main(int argc, char* argv[]) { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); ll T, n, m, p; cin >> T; while (T--) { cin >> n >> m >> p; cout << Lucas(n + m, m, p) << endl; } return 0; }
扩展
插板法
适用类型
一组相同的元素,分成若干不同的组,每组至少一个元素。
例题1
将8个相同的小球放到3个不同的盒子,每个盒子至少放一个球,一共有多少种方法。
解:8个盒子,有7个空,分到3个盒子,需要插2块板,$C_7^2=21$种。
对于不满足 每组至少一个元素 条件的,应该先 转化为标准形式。
例题2
将8个相同的小球放到3个不同的盒子,每个盒子至少放两个球,一共有多少种方法。
解析:先往每一个盒子里放一个小球。转化为:5个相同的小球放到不同的盒子,每个盒子至少放1个小球,一共有多少种方法。$C_4^2=6$种。
例题3
将8个相同的小球放到3个不同的盒子,有多少种方法。
解析:我们先让每个盒子吐出1个球,使得每个盒子至少一个球,分球的时候再让盒子吃回去。转化为:11个相同的球放到3个不同的盒子中,每个盒子至少一个,有多少种方法。$C_{10}^2=45$种。
例题4
$a+b+c=10$有多少组正整数解。
解析:转化为:10个相同的小球,放到不同的3个盒子中,每个盒子至少一个,有多少方法。$C_9^2=36$种。
例题5
$a+b+c=10$有多少组非负整数解。
解析:转化为:13个相同的小球,放到不同的3个盒子中,有多少方法。$C_{12}^2=66$种。
例题6
$a+b+c\leqslant 10$有多少组非负整数解。
解析1:转化为$a+b+c+d =10$,即10个相同的球,放到4个不同的盒子中,有多少方法。$C_{13}^3=286$种。
解析2:列举所有情况:$a+b+c=0(C_2^2)$,$a+b+c=1(C_3^2)$,$\cdots$,$a+b+c=10(C_{12}^2)$,$\sum\limits_{i=2}^{12}C_i^2=C_{13}^3=286$种。
注:$\sum\limits_{i=m}^nC_i^m=C_{n+1}^{m+1}$。
杨辉三角性质之一:斜线上数字的和等于其向左(从左上方到右下方的斜线)或向右拐弯(从右上方到左下方的斜线),拐角上的数字。
以上所述就是小编给大家介绍的《Lucas(卢卡斯)定理》,希望对大家有所帮助,如果大家有任何疑问请给我留言,小编会及时回复大家的。在此也非常感谢大家对 码农网 的支持!
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