使用matlab进行傅里叶分析和滤波

傅里叶分析

公式法

下例 是将振幅为1的5Hz正弦波和振幅为0.5的10Hz正弦波相加之后进行傅里叶分析。

clear all
N=512;
dt=0.02;
n=0:N-1;
t=n*dt;
x=sin(2*pi*5*t)+0.5*sin(2*pi*10*t);%生成和信号

%傅里叶变换
m = floor(N/2)+1;
a=zeros(1,m);
b=zeros(1,m);

for k=0:m-1
    for ii=0:N-1
        a(k+1) = a(k+1)+2/N*x(ii+1)*cos(2*pi*k*ii/N);
        b(k+1) = b(k+1)+2/N*x(ii+1)*sin(2*pi*k*ii/N);
    end
    c(k+1)=sqrt(a(k+1).^2+b(k+1).^2);
end

%傅里叶逆变换
if(mod(N,2) ~=1)
    a(m)=a(m)/2;
end
for ii=0:N-1
    xx(ii+1)=a(1)/2;
    for k=1:m-1
        xx(ii+1)=xx(ii+1)+a(k+1)*cos(2*pi*k*ii/N)+b(k+1)*sin(2*pi*k*ii/N);
    end
end

%绘图
subplot(3,1,1),plot(t,x,'LineWidth',2);title('原始信号'),xlabel('时间/s');
subplot(3,1,2),plot((0:m-1)/(N*dt),c,'LineWidth',2);title('傅里叶变换'),xlabel('频率/Hz');
subplot(3,1,3),plot((0:N-1)*dt,xx,'LineWidth',2);title('合成信号'),xlabel('时间/s');

运行结果如下所示：

快速傅里叶

matlab中的快速傅里叶有两种调用形式：

y=fft(x)
y=fft(x,N)

对应的逆变换有两种，分别为 x=ifft(y) 和 x=ifft(y.N) 。

一般而言，N点fft的结果y，在$n=N/2+1$处对应的频率为最高采样率的一半，y的后一半与前一半对称。

下例 是将振幅为1的5Hz正弦波和振幅为0.5的10Hz正弦波相加之后进行傅里叶分析。

clc;clear;
fs=30;
N=512;
n=0:N-1;
t=n/fs;
x=sin(2*pi*5*t)+0.5*sin(2*pi*10*t);

%快速傅里叶
y=fft(x,N);
mag = abs(y);%振幅
ang = angle(y);%相位
f = n*fs/N;%横轴各点对应的频率值

%逆变换
xx = ifft(y);
xx = real(xx);%计算误差使得xx可能是复数，对其取实部得到信号
tt = [0:length(xx)-1]/fs;%横轴各点对应的时间

结果图省略。

滤波

利用快速傅里叶简单滤波

下例是将振幅为1的5Hz正弦波和振幅为0.5的10Hz正弦波相加之后，滤除8Hz以上的信号。

clc;clear;
fs=30;%采样率
N=256;
n=0:N-1;
t=n/fs;
dt=1/fs;
x=sin(2*pi*5*t)+0.5*sin(2*pi*10*t);

%快速傅里叶
y=fft(x,N);
mag = abs(y)*2/N;%振幅
ang = angle(y);%相位
f = n*fs/N;%横轴各点对应的频率值

%滤波
nn=length(y);
yy = zeros(1,nn);
for m=0:nn-1
    if(m/(nn*dt)>8)&(m/(N*dt)<(1/dt-8))
        yy(m+1)=0;
    else
        yy(m+1)=y(m+1);
    end
end

%逆变换
xx = ifft(yy);
xx = real(xx);%计算误差使得xx可能是复数，对其取实部得到信号
tt = [0:length(xx)-1]/fs;%横轴各点对应的时间

%绘图
subplot(2,1,1),plot(t,x,'LineWidth',2);title('原始信号'),xlabel('时间/s');
subplot(2,1,2),plot(tt,xx,'LineWidth',2);title('滤波后的信号'),xlabel('时间/s');

结果如下图

几个简单的函数

• xi=filtic(B,A,ys) 。B、A分别为系统 z变换 后的传递函数的分子和分母多项式的系数向量，ys是系统的初始输出状态，xi为对应的初始条件下输入序列。
• yn0=filter(B,A,xn) 。B、A定义同上，xn是系统的输入信号，yn0为系统的零状态响应。
• yn=filter(B,A,xn,xi) 。B、A、xn、xi定义同上，yn为系统全响应。

模拟滤波器

以巴特沃斯低通滤波器为例，说明调用方法。

[btt1,ctt1] = butter(N,wn,'s');%1.调用函数生成滤波器系数
H = [tf(btt1,ctt1)];%滤波器的传递函数
t = (0:n-1)./fs;%时域信号横轴的坐标，n为长度，fs为采样率
s1 = lsim(H,a1,t);%2.滤波

说明：

1. [btt1,ctt1] = butter(N,wn,'s'); 。N是滤波器的阶数，wn是截止频率（是弧度值，如果截止频率要求为500Hz，则$wn=500*2*\pi$）。可以直接给定，亦可以根据参数由buttord`函数计算得到。's'表示模拟滤波器。btt1、ctt1分别表示滤波器在 拉普拉斯域 中传递函数的分子、分母多项式的系数。
2. s1 = lsim(H,a1,t) 。H是模拟滤波器的传递函数，a1表示待滤波信号，t是信号的横坐标，s1是滤波后的信号。

其他说明：

• 这里仅以低通滤波器为例，其他巴特沃斯滤波器如高通、带通、带阻调用方式类似，只是函数 butter 的参数略有不同，请参看matlab关于butter函数的介绍。（在matlab中执行 help butter )
• 其他滤波器，如椭圆滤波器等，使用方式类似，只是函数名称不同。

数字滤波器

以巴特沃斯低通滤波器为例，说明调用方法。

%方式一：直接设计
[btt,ctt] = butter(N,wn);%1.生成数字滤波器
Signal_Filter=filter(btt,ctt,a1);%2.滤波

%方式二：模拟滤波器转数字滤波器
[btt1,ctt1] = butter(N,Wn,'s');
[btt1,ctt1]=bilinear(btt1,ctt1,Fs);%3.模拟滤波器转数字滤波器
Signal_Filter=filter(btt,ctt,a1);

说明:

1. [btt,ctt] = butter(N,wn) 。N是滤波器阶数，wn是相对截止频率，比如最高采样率为Fs，要求的截止频率为fs，则$wn=fs/Fs$ 。可以直接给定，亦可以根据参数由 buttord 函数计算得到。注意，这里 没有 参数's'。btt、ctt分别表示滤波器在 z域 中传递函数的分子、分母多项式的系数。
2. Signal_Filter=filter(btt,ctt,a1) 。btt、ctt与之前定义相同，a1是待滤波信号，Signal_Filter是滤波之后的信号。
3. [btt1,ctt1]=bilinear(btt1,ctt1,Fs) 。是使用双线性法将模拟滤波器在 拉普拉斯域 中的系数转换成数字滤波器在 z域 中的系数，Fs是采样率。

其他说明：

• 这里仅以低通滤波器为例，其他巴特沃斯滤波器如高通、带通、带阻调用方式类似，只是函数 butter 的参数略有不同，请参看matlab关于butter函数的介绍。（在matlab中执行 help butter )
• 其他滤波器，如椭圆滤波器等，使用方式类似，只是函数名称不同。