一道快手的算法面试题，没想到对数学要求还蛮高的！

本文约1500字，阅读大概需要8分钟

今天分享的题目来源于 LeetCode 上的剑指 Offer 系列 面试题14.I 剪绳子。根据统计，近期出现在快手的算法面试环节，属于中等难度，需要一定的数学功底。

题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof/

题目描述

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。请问可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例1

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例2

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

题目解析

一、数学推导法

设绳子长度为，总共拆分为段，每一段的长度均为，请问 每一段的长度为多少时，乘积最大呢？

设绳子的长度为，且切分为段，则得到的乘积为（这里我们假设每一段的长度均为，则这道题目就转化为一个求函数  关于的一个最大值问题，稍微翻一下大学课本里的高等数学书中求导相关的内容，接着看；

对函数两边同时取对数：

上式两边对求导，注意，得：

于是

令，则，则;

即，当每一段绳子的长度取时，乘积取得最大值，但是每一段绳子的长度只能取整数，到底是取 2 好 还是取 3 好呢？

当时，等分的话，可以是，也可以是  ，乘积则分别对应和，显然  ，所以当然是取 3 好了。

也就是说对于长度为的绳子，我们尽可能以每一段为 3 进行分割，得到的乘积最大。

当绳子的长度时，也就两种情况（因为题目中绳子的长度要求是：

1. ，只能拆为，乘积为 1 ；

2. ，只能拆为，乘积为 2 ；

当绳子的长度时，我们就可以直接用对 3 进行求余运算，设商数为，余数为，即，其中余数又分为三种情况进行处理：

1. 余数，此时直接返回即为最大的乘积，比如是，最大乘积为；时，最大乘积为；整除的情况都是如此。

2. 余数，此时直接返回是不对的，为什么呢？因为

   所以当时，而是返回. 比如，最大乘积为；当，最大乘积为;

3. 余数， 此时直接返回即可。比如，最大乘积为；当，最大乘积为。

实现代码

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        if(n <= 3){
            return n-1;
        }
        int a = n / 3;
        int b = n % 3;
        if(0 == b){
            return (int)Math.pow(3,a);
        }else if(1 == b){
            return (int)Math.pow(3,a-1) * 4;
        }else{
            return (int)Math.pow(3,a) * 2;
        }
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：，实现中仅涉及取整、求余和求幂运算。

• 空间复杂度：保存商数的变量 a 和保存余数的变量 b 仅使用常量空间。

二、动态规划

当时，就分为两种情况：

1. 时，绳子只能剪为两个长度 1 的绳子，最大乘积为 1；

2. 时，绳子只能剪为长度为 2 和 1 的两段，最大乘积为 2；直接返回。

当 n > 3 时，就可以按照动态规划的逻辑进行处理了：

1. 初始值为：

为什么这么设置呢？

因为对于的绳子而言，我们完全可以拆分得到长度为 3、2 和 1 的绳子，拆分得到长度为 3 的绳子不必再拆分，算入乘积的话最大就是 3本身，2 和 1 同理。在举个栗子，比如，我们可以拆分为、和，而 3 、2 和 1 都是最终直接作为计算乘积时的因子出现的，所以.

2. 递推公式为：

对于长度为的绳子而言，要取得最大乘积，就需要知道它的前 3 个状态和，而相应的最大乘积分别为：、和，的最大乘积则取三者中的最大值。

动态规划的递推公式为：

动画演示

实现代码

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
         if(n <= 3){
             return n-1;
         }
         int dp[] = {1,2,3};
         for(int i = 3; i < n; i++) {
          int tmp = Math.max(3 * dp[0],Math.max(2 * dp[1], 1 * dp[2]));
          dp[0] = dp[1];
          dp[1] = dp[2];
          dp[2] = tmp;
         }
         return dp[2];
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度

• 空间复杂度，使用的是长度为 3 的定长数组。

三、贪心方法

按照贪心策略来剪绳子，当时，我们尽可能多地剪长度为 3 的绳子；当剩下的绳子长度为 4 时，把绳子剪成长度为 2 的两段绳子，因。

实现代码

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
      if (n <= 3) {
       return n-1;
      }

      int NumOf3 = n / 3;
      if (n - NumOf3 * 3 == 1) {
       NumOf3--;
      }
      
      int NumOf2 = (n - NumOf3 * 3) / 2;
      
      return (int)Math.pow(3, NumOf3) * (int)Math.pow(2, NumOf2);
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：

• 空间复杂度：

知识点

贪心思想、动态规划、数学推导

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End

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