【优质信源】计划02--多用户通信中总速率优化问题的一些凸优化模式

Reviewed by ： @刘大 @D.Han；
前置知识：矩阵论/矩阵分析，概率论，通信原理，凸优化。

自从第一代移动通信系统（大哥大）出现以来，移动通信的爆发式发展带来了无线通信系统使用人群的暴增。从此之后，通信和信号处理领域的关注重点，也从传统的点对点通信场景，逐步拓展到多用户通信场景。

时至今日，多用户场景已经成为通信和信号处理领域最重要的基础场景之一，它的数学结构和特征也是事实上的、很多新兴研究方向的参考基础。从干扰对齐（Interference Alignment）到近期新兴的智能反射面（Intelligent Reflecting Surface），再到跨领域的雷达通信一体化（Radar-Communication Co-design）和雷达通信共存（Radar-Communication Co-existence），多用户通信模型和基于其上的凸优化算法都经久不衰。这些用户间是可能协作也可能非协作，亦或存在恶意；这些用户的目标可能是能量有效、单用户传输速率最大、亦或希望总信道容量最大，不论如何，上述问题每年都有数十篇文章发表。

对于一个通信科研/学术问题，重点并不是研究人员是否知道某些特性，而是是否能够通过一种合理的简化/假设，抓住主要矛盾，把现实问题数学化，也就是是否能够建立或者找到合适的模型 。比如，如果你想要做MU-MIMO的研究，那么同样是MIMO场景，MU-MIMO和SU-MIMO的数学差异到底是什么？

为了解决这个问题，在这篇文章里，我将基于我自己的一些经验，尽量用人话介绍：

1) 多用户通信中的数学模型、

2)以干扰信道模型为基础，所产生的一类特殊的优化问题---信道容量优化

3) 以及该场景下一些常见的优化约束条件 。

希望本文能够作为研究生/低年级博士生入门此领域的概要介绍。

1. 多用户通信和数学模型

多用户通信，如果我们细究下去，「多址信道（Multiple Access Channel，MAC）」和「广播信道（Broadcast Channel，BC）」是其中最简单的两种信道模型。当然即使如此，这两种简单信道的应用也包罗万象，包括卫星广播（卫星单一发射，多个地面站接收）、基站多址接入（多终端发射，单基站接收）等等。

通常，当多个通信 用户 共享同一个无线电（信道）资源、同时、各自独立地传输信息时，我们称这种方式为 多用户通信 。多用户通信目前活跃的场景有很多，大范围上可以分为MAC、BC和干扰信道(Interference Channel）。

让我们从基础的MAC信道开始。

1. MAC信道模型 。MAC信道模型通常适合基站上行/下行链路建模，目前在多用户MIMO（MU-MIMO）研究中应用广泛。如上所述， MAC信道的特点是对于每个用户，发送/接收的信息不同。

有人说多址和常用的复用（multiplexing）技术体系近似，因为都需要通过考虑信道资源的正交性（可以是空间/时间/频率），在同样的信道资源下划分子信道，从而完成对不同用户不同信息的收发。也正因为如此，MAC信道模型非常适合MU-MIMO/or OFDM技术体系。此外逻辑上需要考虑到每个用户都会经历不同的信道衰落。

那么我们如何把这个特点提现在数学模型里呢？对于 K个上行用户来说，等价基带数学模型可以简化为：

其中， 是基站接收到的M维信号向量；因为存在K个用户，那么每个用户所发送的信息可能长度不同，对k个用户，我们记为 。 这样，第k个用户发送的信息 会经过各自的信道 才能到达基站端 ，我们用 来表示基站所接收到的高斯白噪声。

特别强调，对于重点不是信道优化的MAC场景模型来说，我们通常需要假设信道是慢衰落或者块衰落，并假设完美的信道估计算法，以保证所有的信道 都是确定值，不然会显著增加该模型里优化问题的数学计算难度。这个强调也适用于下边的广播信道(BC)模型和干扰信道(IC)模型。

2. BC信道模型 。BC信道通常适合卫星通信建模，它的特点是对于每个用户，都会收发相同的信息，这同样需要在逻辑上考虑各个用户所经历的不同信道衰落。对于 K个 广播 用户来说，等价基带数学模型可以简化为：

因为发送的信息相同，接收方不有多个，所以我们获得了K个联立方程组。其中， 是第K个用户接收到的 维接收信号向量，而 是一个M维的发送信号向量。为了和MAC信道模型统一，从而简化模型，我们不重新定义符号，而是对 进行Hermitian变换，得到了BC信道中的对第k个用户的信道矩阵 。

针对不同场景，BC信道同样有很多变种。 比如，因为信息x带有相同的信息，但是接收用户可能会因为一些原因被分组（比如用户簇），这时候BC信道会进化为多播信道(multicast），或者更进一步，如果这个用户簇里只有一个用户，那么它被称做unicast。

3.IC信道模型 。上述MAC、BC信道模型是一些比较简单的多用户信道模型，这些信道模型之所以实用，是因为存在一些基础设施假设，我们称它们为Infrastructure-specified场景，如上所述，基站、卫星通信等等。它们利用Infrastructure假设，避免了一些对于特定问题很trivial的数学假设。

但是，如果我们不知道当前网络基础结构，或者网络结构是自组织的话，比如Ad-hoc网络，那么这时候常用的信道模型需要更加泛化，即是干扰信道（Interference Channel，IC）模型。

在IC信道模型中，我们去除了MAC信道中的子信道正交化前提，去掉了BC信道中的相同信息假设，同样，我们不限制场景中所有用户的收发。这时候，对于K个用户共存的场景，信道就变成了：

这同样是K个方程组联立的形式，我在这里强烈各位对比MAC和BC信道模型，找到区别。其中 代表第k个用户发射机到接收机的直连信道(direct link)，传输的是它自己想要的信息，而 代表着从第i个用户到第k个用户的接收机链路(cross-user link)，传输的信息是干扰，所以被称作干扰信道模型。

这里其它符号都有解释过，我就不再赘述。

这也是基础的信道模型，还有很多同类的数学模型，比如信息安全中的wiretap channel，雷达通信中的Mutual Interference Channel，比如刚才提到的Intelligent Reflecting Surface，或者cell-free的通信模型，或者One-bit问题。

目前通信领域挖大坑，（除了机器学习以外）基本都是找到了一个比较practical的问题，简化出了新的数学模型。这也助长了比较高端的灌水方式，就是传说中的大杂烩灌水法，这里不展开说了。

（当然我也没资格评价这种挖坑和大杂烩的好坏，毕竟我还是个菜鸡，说不定也还指望这种灌水法跟大牛混口饭吃。）

2.干扰信道模型下的总速率优化

我们现在有了一个最基本的信道模型，稍加改动它就可以被应用在空/时/频域场景中，并通过某些凸优化模式，对空/时/频域中的 可控自由度 进行修改，从而求得一类或者多类凸优化问题的解。

这里的 可控自由度，

• 在空域可以是波束赋形向量（beamforming）/预编码矩阵（precoding，需要考虑时间和符号周期），这类问题被称作beamforming/precoding design。
• 在频域可以是OFDM信号的抽头权重分配/或者功率分配来补偿信道，这类问题被称作OFDM中的Power Allocation Problem。
• 在时域可以是信号码本（当然码本设计不止是时域）。

您可以看到，可控自由度有很多，优化问题自然也有很多。

以空间域优化为例，它可以是天线的beam-pattern，可以是3dB波束宽度，可以是SINR，可以是点对点的信道容量，可以是outage capacity，可以是检测概率（detection probability），可以是平均误码率（Mean Error Rate），更可以是各种跨层指标，比如能量利用率。当然也可以是多用户场景中的一个比较重要的指标，就是下文我主要描述的这类比较foundamental的问题，总速率优化问题（Sum-Rate Optimization Problem）。

那么，什么是Sum-Rate Optimization Problem？

众所周知，自从香农祖师爷以来，通信中最关键的指标就是信道容量（Channel Capacity），信道容量的计算方式有很多种，但是在涉及矩阵的、比较优雅的信道容量计算中，都离不开信号的协方差矩阵（covariance matrix）。

一个well-known的结论是（当然也欢迎各位自己推导一下试试看）。

很多人都知道的定理 1： 在点对点单用户信道中，如果我们已知发送信号的协方差矩阵 ，假设干扰加噪声协方差矩阵是单位矩阵，那么单用户的信道容量就是 。

这个结论可以扩展到多用户IC信道，此时干扰加噪声协方差矩阵（interference-plus-noise covariance matrix）就不会再成为单位矩阵，它是 多用户信道容量就变成了：

。

我们考虑它更广义的形式，对于第 个用户，加入效用因子 。当效用因子都是1时，就和上式等价，问题就变成了：

，这里我们标记为 问题1 。

其中，为了便于大家和传统的香农公式比较， 这部分可以理解为有用信号能量， 是干扰信号能量。这就是在多用户IC信道中，非常非常常见的一个优化问题 Sum-Rate Optimization的目标函数。

我们要优化的目标有了，那么优化的可控自由度在哪儿体现呢？

关键依然在协方差矩阵。我们分为两种主流的优化问题来介绍：

1. Power Allocation问题。PA问题通常 可控自由度是子载波的功率分配 。 因为OFDM信号存在子载波正交性，那么因此，在数学上， 、 和 就都是典型的对角矩阵（这里可以自己推算一下） 。问题1的矩阵形式（ ）就可以被拆解开来，降维成其子载波所形成的正交信道容量之和。

拆解后，假如OFDM信号中共有L个子载波可用，那么问题1就可以写作 ，其中 是 的第l个对角元素,q, r 的符号标记同理。这是一个比较典型的log形式的凹问题，其中需要优化求解的变量是K+L个q因子。这个问题的正统求解方式比较简单，在一些弱约束条件下可以直接用KKT方法求得解析解。强约束条件下，需要自己寻找计算途径。

2. Beamforming/Precoding问题。Beamformer/Precoder通过修改各个天线的相位/功率分配来改变波束指向（形状)，而对于Beamformer/Precoder，通常需要一个复矩阵来描述其可控参数和波束指向角度 ，这里我们记为 (这里我没有标注维度，它可以使一个beamforming vector or precoding matrix，维度请自行思考，很简单）。

此时实际上，发送信号的协方差矩阵也因此发生了变化， 。

这里需要特别强调一下， 是一种非常重要的数学/凸优化表示形式，你们能看到的很多论文，包括大多beamforming论文，都离不开这种数学表达。实际上，为了更简单的表达，或者为了解决其他的一些细分问题，

存在很多变种。

在通信里，我们更倾向于采用Precoding定义，因为通信用户往往更倾向于获得多个互不相关数据流，而向量形式的beamformer 仅能提供单空间流输出，主要目的是为了调整波束角度和形状，矩阵形式的precoder

可以提供多流输出。当然我这里表述并不严谨，precoder 和beamformer的区别物理意义不仅仅是这样的，感兴趣的同学可以自行查阅论文。事实上两种数学表述都有道理，向量形式的数学计算更简单一点。但这里我们为了下文表述方便，把它写成矩阵形式。

此时，问题的重心是寻找最优矩阵 ，发送信号的协方差矩阵变成了次要因素，我们可以认为 已知。 更进一步，我们可以假设 是一个单位矩阵。 问题1就变成了：

,

这里其它用户所造成干扰的数学表达形式也发生了变化， 这就是比较典型的总速率优化问题的目标函数了。这个问题的实际解法和问题1类似，因为可以通过一些数学符号代入，转换回问题1。

当然，如我们这里取消 是一个单位矩阵的假设，这个问题的数学构型就发生了变化，需要更多数学变换才能求解，我这里不赘述。

3. 一些约束

凸优化算法在通信中的应用，基本是优化目标和约束条件两者一起发展。目前来看，学术领域中优化目标发展接近停滞，因为衡量系统参数的方式其实目前已经比较确定了。大多常见构型都存在套路解法，所以寻找多样的实际约束（大多是非凸的），并把这些约束数学化，relax解决这些约束，是常见的Top论文思路。

这里我们列举一些在通信领域比较常用的约束。

• 峰值传输功率约束（Peak Transmit Power Constraint）：这是最基本的约束，因为器件发射功率限制，所以我们需要约束峰值发射功率： , 是峰值功率。
• 平均传输功率约束（Average transmit power constraint）：有时候，需要约束用户各个天线的平均发射功率，来优化系统能量： , 是对第l个天线的发射功率。
• 峰值干扰功率约束（Peak interference power constraint）：信号需要经历信道才能到达用户接收机，所以如果我们知道了干扰信道的信道矩阵，那么可以直接以接收的干扰信号能量作为约束：
• 用户信噪比约束：如上述，既然我们已经知道干扰信道状态，那么如果我们也知道全局所有用户的信道矩阵，我们就可以考虑采用用户的信噪比作为约束，约定用户的接收信噪比不能低于某个下限： ,其中 遵从上文定义。
• 用户信道容量约束：同上，既然我们可以知道全局所有用户的信道矩阵，那么我们就能够用用户的信道容量作为约束，约定用户的信道容量不能低于某个下限， 。当然，这一条里下限需要谨慎选取，因为可能会存在和目标函数的冲突。

其它约束有很多，比如单天线功率约束...等等等等。上述约束在实际应用中的选取，也会引入一些非凸性质，需要根据实际情况自行判断。

完。

参考

1. Z.-Q. Luo and S. Zhang, “Dynamic spectrum management: complexity and duality,” IEEE J. Select. Topics Signal Processing, vol. 2, no. 1, pp. 57–73, Feb. 2008.
2. R. Zhang, “On peak versus average interference power constraints for protecting primary users in cognitive radio networks,” IEEE Trans. Wireless Commun., vol. 8, no. 4, pp. 2112–2120, Apr. 2009.
3. S. Hayashi and Z.-Q. Luo, “Spectrum management for interference-limited multiuser communication systems,” IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 55, no. 3, pp. 1153–1175, Mar. 2009.
4. M. Schubert and H. Boche, “Solution of the multiuser downlink beamforming problem with individual SINR constraints,” IEEE Trans. Veh. Technol., vol. 53, no. 1, pp. 18–28, Jan. 2004.
5. W. Yu and T. Lan, “Transmitter optimization for the multi-antenna downlink with per-antenna power constraints,” IEEE Trans. Signal Processing, vol. 55, no. 6, pp. 2646–2660, June 2007.