内容简介:作者:小一,Datawhale优秀学习者寄语:本文介绍了SVM的理论,细致说明了“间隔”和“超平面
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作者:小一,Datawhale优秀学习者
寄语:本文介绍了SVM的理论,细致说明了“间隔”和“超平面 ” 两个概念;随后, 阐述 了 如何最大化间隔并区分了软硬间隔SVM;同时,介绍了SVC问题的应用。最后,用SVM 乳腺癌诊断 经典数据集,对SVM进行了深入的理解。
支持向量机(support vector machines, SVM)是一种二分类模型,它的基本模型是定义在特征空间上的间隔最大的线性分类器,间隔最大使它有别于感知机。
SVM的的学习策略就是间隔最大化,可形式化为一个求解凸二次规划的问题,也等价于正则化的合页损失函数的最小化问题。SVM的的学习算法就是求解凸二次规划的最优化算法。
下图为SVM的分类效果显示,可以发现,不管是线性还是非线性,SVM均表现良好。
学习框架
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SVM理论
支持向量机(Support Vector Machine:SVM)的目的是用训练数据集的间隔最大化找到一个最优分离超平面。
下边用一个例子来理解下间隔和分离超平面两个概念。现在有一些人的身高和体重数据,将它们绘制成散点图,是这样的:
如果现在给你一个未知男女的身高和体重,你能分辨出性别吗?直接将已知的点划分为两部分,这个点落在哪一部分就对应相应的性别。那就可以画一条直线,直线以上是男生,直线以下是女生。
问题来了,现在这个是一个二维平面,可以画直线,如果是三维的呢?该怎么画?我们知道一维平面是点,二维平面是线,三维平面是面。
对的,那么注意,今天的第一个概念:超平面是平面的一般化:
-
在一维的平面中,它是点
-
在二维的平面中,它是线
-
在三维的平面中,它是面
-
在更高的维度中,我们称之为超平面
注意:后面的直线、平面都直接叫超平面了。
继续刚才的问题,我们刚才是通过一个分离超平面分出了男和女,这个超平面唯一吗?很明显,并不唯一,这样的超平面有若干个。
那么问题来了,既然有若干个,那肯定要最好的,这里最好的叫最优分离超平面。如何在众多分离超平面中选择一个最优分离超平面?下面这两个分离超平面,你选哪个?绿色的还是黑色的?
对,当然是黑色的,可是原理是什么?很简单,原理有两个,分别是:
-
正确的对训练数据进行分类
-
对未知数据也能很好的分类
黑色的分离超平面能够对训练数据很好的分类,当新增未知数据时,黑色的分离超平面泛化能力也强于绿色。深究一下,为什么黑色的要强于绿色?原理又是什么?
其实很简单:最优分离超平面其实是和两侧样本点有关,而且只和这些点有关。怎么理解这句话呢,我们看张图:
其中当间隔达到最大,两侧样本点的距离相等的超平面为最优分离超平面。注意,今天的第二个概念:对应上图,Margin对应的就是最优分离超平面的间隔,此时的间隔达到最大。
一般来说,间隔中间是无点区域,里面不会有任何点(理想状态下)。给定一个超平面,我们可以就算出这个超平面与和它最接近的数据点之间的距离。那么间隔(Margin)就是二倍的这个距离。
如果还是不理解为什么这个分离超平面就是最优分离超平面,那你在看这张图。
在这张图里面间隔MarginB小于上张图的MarginA。当出现新的未知点,MarginB分离超平面的泛化能力不如MarginA,用MarginB的分离超平面去分类,错误率大于MarginA
总结一下
支持向量机是为了通过间隔最大化找到一个最优分离超平面。在决定分离超平面的时候,只有极限位置的那两个点有用,其他点根本没有大作用,因为只要极限位置离得超平面的距离最大,就是最优的分离超平面了。
如何确定最大化间隔
如果我们能够确定两个平行超平面,那么两个超平面之间的最大距离就是最大化间隔。 看个 图你就都明白了:
左右两个平行超平面将数据完美的分开,我们只需要计算上述两个平行超平面的距离即可。所以,我们找到最大化间隔:
-
找到两个平行超平面,可以划分数据集并且两平面之间没有数据点
-
最大化上述两个超平面
1. 确定两个平行超平面
怎么确定两个平行超平面?我们知道一条直线的数学方程是:y-ax+b=0,而超平面会被定义成类似的形式:
推广到n维空间,则超平面方程中的w、x分别为:
如何确保两超平面之间没有数据点?我们的目的是通过两个平行超平面对数据进行分类,那我们可以这样定义两个超平面。
对于每一个向量x i :满足:
或者
也就是这张图:所有的红点都是1类,所有的蓝点都是−1类。
整理一下上面的两个超平面:
不等式两边同时乘以 yi,-1类的超平面yi=-1,要改变不等式符号,合并后得
ok,记住上面的约束条件。
2. 确定间隔
如何 求两个平行超平面的间隔呢?我们可以先做这样一个假设:
-
是满足约束 的超平面
-
是满足约束 的超平面
-
是 上的一点
则 到平面 的垂直距离 就是我们要的间隔。
这个间隔是可以通过计算出来的,推导还需要一些步骤,直接放结果了就:
其中||w||表示w的二范数,求所有元素的平方和,然后在开方。比如,二维平面下:
可以发现,w 的模越小,间隔m 越大
3. 确定目标
我们的间隔最大化,最后就成了这样一个问题:
了其中w和b,我们的最优分离超平面就确定了,目的也就达到了。
上面的最优超平面问题是一个凸优化问题,可以转换成了拉格朗日的对偶问题,判断是否满足KKT条件,然后求解。 上一句话包含的知识是整个SVM的核心,涉及到大量的公式推导。
此处 略过 推导的步骤,若想了解推导过程可直接百度。你只需要知道它的目的就是为了找出一个最优分离超平面。 就假设我们已经解出了最大间隔,找到了最优分离超平面,它是这样的:
除去上面我们对最大间隔的推导计算,剩下的部分其实是不难理解的。 从上面过程,我们可以发现,其实最终分类超平面的确定依赖于部分极限位置的样本点,这叫做支持向量。
由于支持向量在确定分离超平面中起着决定性作用,所有将这类模型叫做支持向量机。
我们在上面图中的点都是线性可分的,也就是一条线(或一个超平面)可以很容易的分开的。 但是实际情况不都是这样,比如有的女生身高比男生高,有的男生体重比女生都轻, 像这种存在噪声点分类,应该怎么处理?
针对样本的SVM
1. 硬间隔线性SVM
上面例子中提到的样本点都是线性可分的,我们就可以通过分类将样本点完全分类准确,不存在分类错误的情况,这种叫硬间隔,这类模型叫做硬间隔线性SVM。
2. 软间隔线性SVM
同样的,可以通过分类将样本点不完全分类准确,存在少部分分类错误的情况,这叫软间隔,这类模型叫做软间隔线性SVM。
不一样的是,因为有分类错误的样本点,但我们仍需要将错误降至最低,所有需要添加一个惩罚项来进行浮动,所有此时求解的最大间隔就变成了这样:
硬间隔和软间隔都是对线性可分的样本点进行分类,那如果样本点本身就不线性可分? 举个例子: 下面这幅图
样本点并不是线性可分的,这种问题应该怎么处理呢? 解决这个问题之前,先看一下这个小短视频:
视频中是将平面中的样本点映射到三维空间中,使用一个平面将样本线性可分。
所以 我们需要一种方法,可以将样本从原始空间映射到一个更高纬的空间中,使得样本在新的空间中线性可分,即: 核函数。 在非线性SVM中,核函数的选择关系到SVM的分类效果。
幸好的是,我们有多种核函数:线性核函数、多项式核函数、高斯核函数、sigmoid核函数等等,甚至你还可以将这些核函数进行组合,以达到最优线性可分的效果
核函数了解到应该就差不多了,具体的实现我们在下一节的实战再说。
多分类SVM
前面提到的所有例子最终都指向了二分类,现实中可不止有二分类,更多的是多分类问题。 那么多 分类应该怎么分呢? 有两种方法: 一对多和一对一。
1. 一对多法
一对多法讲究的是将所有的分类分成两类:一类只包含一个分类,另一类包含剩下的所有分类
举个例子:现在有A、B、C、D四种分类,根据一对多法可以这样分:
-
①:样本A作为正集,B、C、D为负集
-
②:样本B作为正集,A、C、D为负集
-
③:样本C作为正集,A、B、D为负集
-
④:样本D作为正集,A、B、C为负集
该方法分类速度较快,但训练速度较慢,添加新的分类,需要重新构造分 类器。
2. 一对一法
一对一法讲究的是从所有分类中只取出两类,一个为正类一个为父类
再举个例子:现在有A、B、C三种分类,根据一对一法可以这样分:
-
①分类器:样本A、B
-
②分类器:样本A、C
-
③分类器:样本B、C
该方法的优点是:当新增一类时,只需要训练与该类相关的分类器即可,训练速度较快。缺点是:当类的种类K很多时,分类器个数K(K-1)/2会很多,训练和测试时间较慢。
SVC,Support Vector Classification
我们知道针对样本有线性SVM和非线性SVM。 同样的在sklearn 中提供的这两种的实现,分别是: LinearSVC和SVC。
SVC : Support Vector Classification 用支持向量机处理分类问题
SV R : Support Vector R egressi on 用支持向量机 处理回归问题
1. SVC和LinearSVC
LinearSVC是线性分类器,用于处理线性分类的数据,且只能使用线性核函数。 SVC是非线性分类器,即可以 使用线性核函数进行线性划分,也可以使用高维核函数 进行非线性划分。
2. SVM的使用
在sklearn 中,一句话调用SVM,
from sklearn import svm
主要说一下SVC的创建,因为它的参数比较重要
model = svm.SVC(kernel='rbf', C=1.0, gamma=0.001)
分别解释一下三个重要参数:
-
kernel代表核函数的选择,有四种选择,默认rbf(即高斯核函数)
-
参数C代表目标函数的惩罚系数,默认情况下为 1.0
-
参数gamma代表核函数的系数,默认为样本特征数的倒数
其中kernel代表的四种核函数分别是:
-
linear:线性核函数,在数据线性可分的情况下使用的
-
poly:多项式核函数,可以将数据从低维空间映射到高维空间
-
rbf:高斯核函数,同样可以将样本映射到高维空间,但所需的参数较少,通常性能不错
-
sigmoid:sigmoid核函数,常用在神经网络的映射中
SVM的使用就介绍这么多,来实战测试一下。
经典数据集实战
1. 数据集
SVM的经典数据集:乳腺癌诊断。 医疗人员采集了患者乳腺肿块经过细针穿刺 (FNA) 后的数字化图像,并且对这些数字图像进行了特征提取,这些特征可以描述图像中的细胞核呈现。 通过这些特征可以将肿瘤分成良性和恶性。
本次数据一共569条 、32个字段,先来看一下具体数据字段吧 :
其中mean结尾的代表平均值、se结尾的代表标准差、worst结尾代表最坏值(这里具体指肿瘤的特征最大值)。 所有其实主要有10个特征字段,一个id字段,一个预测类别字段。 我们的目的是通过给出的特征字段来预测肿瘤是良性还是恶性。
2. 数据EDA
EDA:Exploratory Data Analysis探索性数据分析, 先 来看数据的 分布情况:
df_data.info()
一共569条、32个字段。 32个字段中1个object类型,一个int型id,剩下的都是float 类型。 另外: 数据中不存在缺失值。
大胆猜测一下,object类型可能是类别型数据,即最终的预测类型,需要进行处理,先记下 。 再来看连续型数据的统计数据:
df_data.describe()
好像也没啥问题(其实因为这个数据本身比较规整),可 直接开始特征工程吧。
3. 特征工程
首先就是将类别数据连续化
"""2. 类别特征向量化"""
le = preprocessing.LabelEncoder()
le.fit(df_data['diagnosis'])
df_data['diagnosis'] = le.transform(df_data['diagnosis'])
再来观察每一个特征的三个指标:均值、标准差和最大值。 优先选择均值,最能体现该指特征的整体情况。
"""3. 提取特征"""
# 提取所有mean 字段和label字段
df_data_X = df_data.filter(regex='_mean')
df_data_y = df_data['diagnosis']
现在还有十个特征,我们通过热力图来看一下特征之间的关系 。
#热力图查看特征之间的关系
sns.heatmap(df_data[df_data_X.columns].corr(), linewidths=0.1, vmax=1.0, square=True,
cmap=sns.color_palette('RdBu', n_colors=256),
linecolor='white', annot=True)
plt.title('the feature of corr')
plt.show()
热力图是这样的:
我们发现radius_mean、perimeter_mean和area_mean这三个特征强相关,那我们只保留一个就行了。 这里保留热力图里面得分最高的perimeter_mean。
最后一步, 因为是连续数值,最好对其进行标准化。 标准化之后的数据是这样的:
df_data_X = df_data_X.drop(['radius_mean', 'area_mean'], axis=1)
"""5. 进行特征归一化/缩放"""
scaler = preprocessing.StandardScaler()
df_data_X = scaler.fit_transform(df_data_X)
return df_data_X, df_data_y
4. 训练模型
上面已经做好了特征工程,直接塞进模型看看效果怎么样。 因为并不知道数据样本到底是否线性可分,所有我们都来试一下两种算法。 先来看看LinearSVC 的效果
"""1.1. 第一种模型验证方法"""
# 切分数据集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(data_X, data_y, test_size=0.2)
# 创建SVM分类器
model = svm.LinearSVC()
# 用训练集做训练
model.fit(X_train, y_train)
# 用测试集做预测
pred_label = model.predict(X_test)
print('准确率: ', metrics.accuracy_score(pred_label, y_test))
效果很好,简直好的不行,在此,并没有考虑 准确率。
ok,还有SVC的效果。 因为SVC需要设置参数,直接通过网格搜索让机器自己找到最优参数, 效果更好。
"""2. 通过网格搜索寻找最优参数"""
parameters = {
'gamma': np.linspace(0.0001, 0.1),
'kernel': ['linear', 'poly', 'rbf', 'sigmoid'],
}
model = svm.SVC()
grid_model = GridSearchCV(model, parameters, cv=10, return_train_score=True)
grid_model.fit(X_train, y_train)
# 用测试集做预测
pred_label = grid_model.predict(X_test)
print('准确率: ', metrics.accuracy_score(pred_label, y_test))
# 输出模型的最优参数
print(grid_model.best_params_)
可以看出,最终模型还是选择rbf高斯核函数,果然实至名归。 主要是通过数据EDA+特征工程完成了数据方面的工作,然后通过交叉验证+网格搜索确定了最优模型和最优参数。
延伸阅读
【1】模型评估: 一文详尽系列之模型评估指标
【2】逻辑回归: 一文详尽系列之逻辑回归
【3】K-means: 一文详尽系列之K-means算法
【4】EM算法: 一文详尽系列之EM算法
【5】CatBoost: 一文详尽系列之CatBoost
后台回复 SVM 可下载SVM学习框架高清导图
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