敲黑板，定积分也有换元和分部积分法

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今天是 高等数学的第14篇 文章，我们一起来看看定积分的换元法和分部积分法。

我们之前在不定积分的内容当中曾经介绍过 换元法和分部积分法 这两种求解不定积分的方法，今天我们来探索将这两种方法应用在定积分上。有一点需要注意，虽然不定积分和定积分只有一字之差，但是在数学上其实它们是 两个完全不同的概念 。不定积分求解的是函数的原函数，而定积分则是求解的曲形的面积，也就是一个具体的值。

我们用 Python 来举例的话，不定积分有些像是高阶函数，我们传入一个函数，得到一个函数。而定积分则就是一个计算的函数，我们传入一个函数，得到一个值。由于有了牛顿-莱布尼茨公式，我们求解定积分的时候也需要求解原函数，但这只是计算过程相似，并不是它的定义。所以不要把两者弄混淆了。

换元法

在我们写出换元法的公式之前，我们 先写清楚它的作用区间 。这个是数学的惯例，我们写一个公式或者是定理或者是式子，都需要标明适用范围。我们假设函数f(x)在区间[a, b]上连续。

函数 \(x=\phi(t)\) 满足：

1. \(\phi(\alpha) = a, \phi(\beta) = b\)
2. \(\phi(t)\) 在区间 \([\alpha, \beta]\) ，或者 \([\beta, \alpha]\) 上具有连续导数，值域是[a, b]，那么：

\[\int_a^bf(x)dx = \int_\alpha^\beta f[\phi(t)]\phi'(t)dt \]

这个式子成立非常明显，但为了严谨，我们还是来证明一遍。

等式的左边很简单就是我们常见的积分函数，我们假设f(x)在区间[a, b]上的原函数是F(x)，那么等式左边根据牛顿-莱布尼茨公式，可以得到：

\[\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) \]

所以我们重点关注的是等式右边，等式右边也做类似处理，我们假设 \(\Phi(t) = F(\phi(t))\) 。

我们对 \(\Phi(t)\) 求导，可以得到：

\[\Phi'(t) = \frac{dF}{d\phi}\cdot \frac{d\phi}{dt} = f(x)\cdot \phi'(t) = f[\phi(t)]\cdot \phi'(t) \]

通过求导我们可以发现， \(\Phi(t)\) 是 \(f[\phi(t)]\cdot \phi'(t)\) 的原函数。所以：

\[\begin{aligned} \int_\alpha^\beta f[\phi(t)]\phi'(t)dt &= \Phi(\beta) - \Phi(\alpha)\\ &= F[\phi(\beta)] - F[\phi(\alpha)] \\ &= F(b) - F(a) \end{aligned} \]

所以我们就证明完了，整个证明过程并不难，比较困难的点在于我们在处理等式右边的时候是怎么想到令 \(\Phi(t) = F(\phi(t))\) 的呢？这是一个非常巧妙的点。想到这个不太容易，如果是我从头开始证明，我可能会往 \(\phi(t)\) 的原函数上想，估计不太容易想到将F(x)引入进来。

我们理解了换元求解定积分的方法之后，我们一起来看一道例题来熟悉一下。这个例题还是经典的三角换元：

\[\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}dx \quad (a>0) \]

我们很容易想到我们可以令 \(x = a\sin t\) ，这样的话 \(dx = a\cos t dt\) 。当x=0时，t=0，当x=a时，t= \(\frac{\pi}{2}\) ，我们代入原式可以得到：

\[\begin{aligned} \int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}dx &= a^2 \int_0^\frac{\pi}{2} \cos ^2 tdt \\ &= \frac{a^2}{2}\int_0^\frac{\pi}{2} (1 + \cos 2t)dt \\ &= \frac{a^2}{2}[t + \frac{1}{2}\sin 2t]_0 ^\frac{\pi}{2}\\ &= \frac{\pi a^2}{4} \end{aligned} \]

明白了原理之后，我们也可以将换元公式反过来用。也就是说当我们凑到 \(t = \phi(x)\) 的情况时，也一样可以使用换元公式。

我们再来看一个例子：

\[\int_0^\frac{\pi}{2}\cos ^5 x \sin x dx \]

我们很容易凑到 \(t = \cos x\) 时， \(dt = -\sin x dx\) ，当x=0时，t=1， 当x= \(\frac{\pi}{2}\) 时，t=0。我们代入原式，可以得到：

\[\begin{aligned} \int_0^\frac{\pi}{2}\cos ^5 x \sin x dx &= -\int_1^0 t^5 dt\\ &= \int_0^1 t^5 dt = [\frac{t}{6}]_0^1 = \frac{1}{6} \end{aligned} \]

分部积分法

不定积分的分部积分法是根据求导公式推导得出的，它在定积分当中同样适用，我们只需要稍作变形就可以推导出来：

\[\begin{aligned} \int_a^b u(x)v'(x)dx &= [\int u(x)v'(x)dx]_a^b\\ &= [u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)dx]_a^b\\ &= [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b v(x)u'(x) dx \end{aligned} \]

我们把上面的式子可以简写成： \(\int_a^b uv' dx = [uv]_a^b - \int_a^b vu' dx\)

来看个例子：$\int_0^\pi x\cos x dx $

我们令u = x, dv = \(\cos x\) ，那么v = \(\sin x\) ，我们代入就可以得到：

\[\begin{aligned} \int_0^\pi x\cos x dx &= [x \sin x]_0^\pi - \int_0^\pi \sin x dx \\ &= 0 + [\cos x]_0^\pi \\ &= -2 \end{aligned} \]

和不定积分一样，分部积分法和换元法可以结合使用，得到更强大的效果。我们来看个例子：$$\int_0^1 e^{\sqrt{x}} dx$$

我们令 \(t = \sqrt{x}\) ，于是 \(x = t^2, dx = 2tdt\) ，并且当x=0时，t=0，当x=1时，t=1。我们代入可得：

\[\int_0^1 e^{\sqrt{x}} dx = 2\int_0^1 t e^t dt = 2\int_0^1 td(e^t) \]

我们使用分部积分法，令u=t, dv = \(e^t\) ，所以 \(v = e^t\) ，代入可以得到：

\[\begin{aligned} 2\int_0^1 td(e^t) &= 2([te^t]_0^1 - \int_0^1 e^t dt) \\ &= 2(e - e + 1) = 2 \end{aligned} \]

总结

换元法和分部积分法是求解定积分和不定积分的 两大最重要的方法 ，这两个方法说起来容易，理解起来也不难，但是很容易遗忘。尤其是我们长时间不使用的情况下，经常会忘记，而在用的时候又经常会想不起来，典型的书到用时方恨少问题。所以我们经常拿出来复习回顾一下，还是很有必要的。

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