图解B树

B树

B树即平衡查找树，一般理解为平衡多路查找树，也称为B-树、B_树。是一种自平衡树状数据结构，能对存储的数据进行O(log n)的时间复杂度进行查找、插入和删除。B树一般较多用在存储系统上，比如数据库或文件系统。

B树特点

• B树可以定义一个m值作为预定范围，即m路(阶)B树。

• 每个节点最多有m个孩子。

• 每个节点至少有ceil(m/2)个孩子，除了根节点和叶子节点外。

• 对于根节点，子树个数范围为[2,m]，节点内项的个数范围为[1,m-1]。

• 对于非根节点，节点内的项个数范围为[ceil(m/2)-1,m-1]。

• 根节点(非叶子节点)至少有两个孩子。

• 一个有k个孩子的非叶子节点包含k-1个项。

• 所有叶子节点在同一层。

• 节点内的项按照从小到大排列。

• 父节点的若干项作为分离项分成多个子树，左子树小于对应分离项，对应分离项小于右子树。

以下是一个四阶B树，

插入操作

假设现在要构建一棵四阶B树，我们开始插入“A”，直接作为根节点。

继续插入“B”，因为大于“A”，所以放右边。

继续插入“C”，按顺序将其排到最后。

继续插入“D”，假如直接添加则结果如下图，此时超过了节点可以存放容量。对于四阶B树每个节点最多存放3个项，因此此时需要执行分裂操作。

分裂操作为：先选取待分裂节点的中间位置的项，这里为“B”。然后将“B”项放到父节点中，因为这里还没有父节点，那么直接创建一个新的父节点存放“B”。而原来小于“B”的那些项作为左子树，原来大于“B”的那些项作为右子树。

继续插入“E”，因为"E"大于“B”，所以往右子节点。

分别于“C”和“D”比较，因为大于它们，所以放到最右边。

继续插入“F”，因为“F”大于“B”，所以往右子树。

“F”分别与“C”"D""E"比较，由于大于它们，于是放到最右边，此时触发分裂操作。

选取待分裂节点中间位置的项“D”，然后将“D”项放到父节点中。由于父节点中的“B”小于“D”，于是放到“B”右边。而原来小于“D”的那些项作为左子树，原来大于“D”的那些项作为右子树。

继续插入“M”，结果如下。

继续插入“L’，由于大于“B”“D”，所以往右子树。

由于“L”大于“E”“F”小于“M”，于是放到第三个位置，此时触发分裂操作。

选取待分裂节点中间位置的项“F”，然后将“F”项放到父节点中。由于父节点中的“B”“D”都小于“F”，于是放到最右边。而原来小于“F”的那些项作为左子树，原来大于“F”的那些项作为右子树。

继续插入“K”，结果如下。

继续插入“J”，由于大于“B”“D”“F”，所以往右子树。

由于“J”小于“K”“L”“M”，于是放到第一个位置，此时触发分裂操作。

选取待分裂节点中间项“K”，然后将“K”项放到父节点中。由于父节点中的“B”“D”“F”都小于“K”，于是放到最右边。而原来小于“K”的那些项作为左子树，原来大于“K”的那些项作为右子树。此时父节点也触发分裂操作。

选取待分裂节点中间位置的项“D”，然后将“D”项放到父节点中。由于还没有父节点，那么直接创建一个新的父节点存放“D”。而原来小于“D”的那些项作为左子树，原来大于“D”的那些项作为右子树。

继续插入“I”，由于大于“D”，所以往右子树。

右子树不是叶子节点，继续往下。这时“I”大于“F”而小于“K”，所以往第二个分支。

由于“I”小于“J”，于是放到左边。

类似地，插入“H”，结果如下。

继续插入“G”，往左子树。

然后再往中间分支。

接着触发分裂操作。

选取待分裂节点中间位置的项“H”，然后将“H”项放到父节点中。由于"H"大于父节点中的“F”而小于“K”，于是放到中间。而原来小于“H”的那些项作为左子树，原来大于“H”的那些项作为右子树。

综上所述，插入操作的核心是分裂操作。无需分裂的情况比较简单，直接插入即可。如果插入后超过节点容量，这个容量可预先自定义，则需要进行分裂操作，需要注意的是分裂可能引起父节点需要继续分裂。

查找操作

对B树进行查找就比较简单，查找过程有点类似二叉搜索树。从根节点开始查找，通过比较项的值找到对应的分支，继续往子树上查找。

比如要查找“I”，因为"I"大于“D”，所以往第二个分支。

“I”分别与节点内项的值比较，由于大于“F”“H”而小于“K”，于是往第三个分支。

逐一比较节点内的项的值，于是找到了“I”。

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